第一章函数第二章极限与连续

1、微积分教案微积分教案 第一章第一章 函数函数 教学目的与要求：教学目的与要求：理解函数的概念，掌握函数的初等函数的性质及其图形，并会建立 简单应用问题中的函数关系式。 教学重点（难点）：教学重点（难点）：理解复合函数及分段函数，反函数及隐函数的概念，基本初等函 数的性质及其图形。 一、集合一、集合 1、 集合概念集合概念 具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素。 表示方法：用 A，B，C，D 表示集合；用 a，b，c，d 表示集合中的元素。 1) , 321 aaaA 2) PxxA的性质 元素与集合的关系： Aa ， Aa 一个集合，若它只含有有限个元素，则

2、称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。 常见的数集：N，Z，Q，R，N+ 元素与集合的关系：A、B 是两个集合，如果集合 A 的元素都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，记作BA 。 如果集合 A 与集合 B 互为子集，则称 A 与 B 相等，记作BA 若作BA 且BA 则称 A 是 B 的真子集。 全集 I：AiI（I=1，2，3，.） 。 空集： A 。 2、 集合的运算集合的运算 并集BA： Ax|xBABx或 交集BA： Ax|xBABx且 差集 BA ： |BxAxxBA且 补集（余集） C A：IA 集合的并、交、余运算满足下列法则： 交换律：ABBA ABBA 结合律

3、： )()(CBACBA ， )()(CBACBA 分配律： )()()(CBCACBA ， )()()(CBCACBA 对偶律： ( ccc BABA) ccc BABA)( 笛卡儿积： AB | ),(ByAxyx且 3、区间和邻域、区间和邻域 1）有限区间：开区间 ),(ba ，闭区间 ba, ，半开半闭区间 baba, 。 2）无限区间：（） ，。,a,a, a , a , 3）邻域： ),(axaxaU 注：a 邻域的中心，邻域的半径；去心邻域记为 ),(aU 。 二、映射二、映射 定义定义 设 X，Y 是两个非空集合，如果存在一个法则 f ，使得对 X 中的每一个元素 x，按法则f

4、，在 Y 中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从 X 到 Y 的映射，记作 YXf： 其中y称为元素x的像，并记作 )(xf ，即 )(xfy 。 注意：每个 X 有唯一的像；每个 Y 的原像不唯一。 三、函数三、函数 1、 函数的概念函数的概念 定义 设数集RD ，则称映射 RDf: 为定义在 D 上的函数，记为 Dxxfy, )( 。 注：函数相等：定义域、对应法则相等。 2、 函数的几种特性函数的几种特性 1）函数的有界性（上界、下界；有界、无界） ，有界的充要条件：既有上界又有下界。 2）函数的单调性（单增、单减） ，在 x1、x2点比较函数值 )( 1 xf 与 )( 2 xf 的

5、大小（注： 与区间有关） 。 3）函数的奇偶性(定义域对称、 )(xf 与 )( xf 关系决定)，图形特点 (关于原点、Y 轴对称)。 4)函数的周期性(定义域中成立： )()(xflxf ) 3、 函数与复合函数函数与复合函数 1）反函数：函数 )(:DfDf 是单射，则有逆映射 xyf )( 1 ，称此映射 1 f 为 f 函数的反函数。 函数与反函数的图像关 xy 于对称。 2）复合函数：函数 )(ygu 定义域为 D1，函数 )(xfy 在 D 上有定义、且 1 )(DDf 。则 )()(xfgxfgu 为复合函数。 3）分段函数：分段函数的统一表达式。 结论：对于分段函数 f（x）

6、= 1 2 ( )() ( )() f xxa fxxa 若初等数函 f1（x）和 f2（x）满足 f1（a）= f2（a） ，则 f（x）= f1（x+a-）+ f1（x+a+）- f1（a） 1 2 2 ()xa 1 2 2 ()xa 4、初等函数、初等函数 1）幂函数： a xy 2)指数函数： x ay 3)对数函数： )(logxy a 4)三角函数： )cot(),tan(),cos(),sin(xyxyxyxy 5)反三角函数： )arcsin(xy ， )arccos(xy )cot()arctan(xarcyxy 以上五种函数为基本初等函数。 例 1已知分段函数 2 2 ,

7、10, ( )1,0, 2,01. xx f xx xx 1）求其定义域并作图；2）求函数值 11 22 (),(0),( ).fff 例 2求由所给函数复合的函数，并求各复合函数的定义域： y=10u，u=1+x2, y=arctanu2, u=tanv, v=a2+x2. 例 3求函数的反函数及反函数的定义域： y=x2,（0 x0 为生产一个单位产品所需的可变成本。 5. 总收益总收益(总收入总收入)函数函数 总收益 R 是指产品出售后，所得到的全部收入。它是销量 Q 的函数，记为 R(Q)。(通 常假设产销平衡) 若产品的单位售价 p 不变， 则 R(Q)=pQ 若价格 p 是产量 Q

8、 的单调减少函数 p(Q), 则 R(Q)=p(Q)Q 6. 总利润函数总利润函数 利润是生产中获得的总收益与投入的总成本之差。即 产销平衡时， L(Q) = R(Q) - C(Q) 7. 库存润函数库存润函数 设某企业在计划期 T 内，对某种物品总需求量为 Q ，由于库存费用及资金占用等因素， 显然一次进货是不划算的，考虑均匀的分 n 次进货，每次进货批量为 ，进货周期 Q q n 为 . 假定每件物品的贮存单位时间费用为 ，每次进货费用为 ，每次进货量相 T t n 1 C 2 C 同，进货间隔时间不变，以匀速消耗贮存物品，则平均库存为，在时间 T 内的总费用 2 q E 为 12 1 2

9、 Q ECTqC q 为储存费为进货费用。 1 1 2 CTq一一一 2 Q C q 一 第二章第二章 极限与连续极限与连续 第一节第一节 数列的极限数列的极限 教学目的与要求：教学目的与要求：理解极限的概念，性质。 教学重点（难点）：教学重点（难点）：极限的概念的理解及应用。 一、数列一、数列 数列就是由数组成的序列。 1）这个序列中的每个数都编了号。 2）序列中有无限多个成员。 一般写成： n xxxx 321 缩写为 n x 例 1 数列是这样一个数列，其中 n 1 n x n xn 1 ， 5 , 4 , 3 , 2 , 1n 也可写为： 5 1 4 1 3 1 2 1 1 可发现：这

10、个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近 0，记为。0 1 lim n n 极限的极限的 N 定义定义 ，当时，恒成立，则称数列的极限为a，记成 0N Nn axn n x axn n lim 极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。 二、收敛数列的性质收敛数列的性质 定理 1 如果数列收敛，那么它的极限是唯一。 n x 定理 2 如果数列收敛，那么数列一定有界。 n x n x 定理 3 如果且 a0(a0，当 nN 时，axn x lim )0(0 nn xx 。 例 2证明数列的极限是 1。 1 n n 例 3作出数列图形，讨论其极限值。 1 ( 1)nn n 第

11、二节第二节 函数的极限函数的极限 教学目的与要求：教学目的与要求：理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间 的关系。 教学重点（难点）：教学重点（难点）：理解函数左极限与右极限，极限性质。 极限的定义极限的定义 一、在一、在点的极限点的极限 0 x 1）可在函数的定义域内，也可不在，不涉及f在有没有定义，以及函数值 0 x 0 x 的大小。只要满足：存在某个 0 使：)( 0 xf Dxxxx),(),( 0000 。 2）如果自变量x趋于 0 x 时，相应的函数值有一个总趋势以某个实数A为极)(xf 限 ，则记为 ：。Axf xx )(lim 0 形式定义为： ，当时，恒成

12、立。 00 0 0 xx Axf)( ccxx xxfxf xxxx xx 00 0 limlim lim 0 0 一 一一一 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 左极限与右极限 重点强调：AxfAxf xxxx 一一一一一 00 limlim 结论：AxfxfAxf xxxx xx 一一一一一一一一一一一 00 0 limlimlim 二、二、 x 的极限的极限 设 ),()(xxfy ，如果当时函数值有一个总趋势-该曲线有一条水)(xf 平渐近线 Ay -则称函数在无限远点有极限。记为：。Axf x )(lim 在无穷远点的左右极限： )(lim)(xff x ， )(lim)(x

13、ff x 关系为： )(lim)(lim)(limxfAxfAxf xxx 例 1 讨论函数在 x的极限。 x x y 0 例 2求下面函数极限： ， 。 lim n 2 21 n n ) 1 3 1 1 (lim 3 1 xx x 三、函数极限的性质三、函数极限的性质 定理 1（函数极限的唯一性） 如果存在，则这个极限唯一。 0 lim( ) xx f x 定理 2（函数极限的局部有界性） 如果存在，那么存在常数和，使得当时时，有 0 lim( ) xx f x 0M 0 0 0 |xx 。|( )|f xM 定理 3 (函数极限的局部保号性) 则存在常数，使得当时 0 lim( ),0(0

14、), xx f xAAA 一一一0 0 0 xx 。( )0 ( )0)f xf x一 定理 3 ，则邻当时， 0 lim( )0 xx f xA 一 0 x一一一一一一一 0 (,),U x 一 0 (,)xU x 。( ) 2 A f x 一一 推论 当时， 0 lim( ),0, xx f xA 一一 0 0 (, )xU x( )0( )0),f xf x一 0(0).AA一 例 1 证明。 0 1 limsin x x 一一一 证： 1 , n x n 一 lim0, n n x 0; n x 一 1 , 41 2 n x n 一lim0, n n x 0; n x 一 =0， 1

15、limsinlimsin nn n n x 一 141 limsinlimsin 2 nn n n x 二者不相等, 。 0 1 limsin x x 一一一一 第三节第三节 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量 教学目的与要求：教学目的与要求：掌握无穷小与无穷大概念。 教学重点（难点）：教学重点（难点）：理解无穷小与无穷大的关系。 一、无穷小定义一、无穷小定义 定义 对一个数列，如果成立如下的命题： n x ，当时，恒成立，则称它为无穷小量，即 0N Nn n x 0lim n x x 注：1） 的意义； 2） n x 可写成 0 n x ； ), 0( n x ； 3）上述命题可翻译成：对

16、于任意小的正数，存在一个号码 N，使在这个号码以后 的所有的号码n，相应的与极限 0 的距离比这个给定的还小。它是我们在直观上对于 n x 一个数列趋于 0 的认识。 定理 1 在自变量的同一变化过程 0 xx （或 )x 中，函数具有极限 A 的充)(xf 分必要条件是，其中是无穷小。 Axf)( 二、无穷小的性质二、无穷小的性质 设 n x 和 n y 是无穷小量于是： 5） 两个无穷小量的和差也是无穷小量： 0)(lim0lim0lim nn x n x n x yxyx 2）对于任意常数 C，数列也是无穷小量： n xc 0)(lim0lim n x n x xcx 3）也是无穷小量，

17、两个无穷小量的积是一个无穷小量。 nn yx 0)(lim0lim0lim nn x n x n x yxyx 4）也是无穷小量： n x 0lim0lim 0 0 n xx n xx xx 5）无穷小与有界函数的积为无穷小。 三、无穷大定义三、无穷大定义 一个数列，如果成立： n x ，当时，恒成立，那么称它为无穷大量。记成： 0GN Nn Gxn 。 n x xlim 特别地，如果，当时，恒成立，则称为正无穷大，记成 0GN Nn Gxn 。 n x xlim 特别地，如果，当时，恒成立， ，则称为负无穷大，记 0GN Nn Gxn 成。 n x xlim 注：无法区分正负无穷大时就笼统地

18、称之为无穷大量。 四、无穷小和无穷大的关系四、无穷小和无穷大的关系 定理 2 在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小；反之，)(xf )( 1 xf 如果为无穷小，且则为无穷大。)(xf0)(xf )( 1 xf 即非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系：当时：有 0 n x ； n x n x x x 1 lim0lim0 1 limlim n x n x x x 注意是在自变量的同一个变化过程中。 第四节第四节 极限的四则运算极限的四则运算 教学目的与要求：教学目的与要求：掌握极限的四则运算法则。 教学重点（难点）：教学重点（难点）：会用四则运算法则求极限。 1）若函数 f 和g在

19、点 0 x 有极限，则 )(lim)(lim)()(lim 000 xgxfxgxf xxxxxx 2）函数 f 在点 0 x 有极限，则对任何常数a成立 )(lim)(lim 00 xfaxfa xxxx 3）若函数 f 和g在点 0 x 有极限，则 )(lim)(lim)()(lim 000 xgxfxgxf xxxxxx 4）函数 f 和g在点 0 x 有极限，并且，则 0)(lim 0 xg xx )(lim )(lim )( )( lim 0 0 0 xg xf xg xf xx xx xx 极限的四则运算成立的条件是若函数 f 和 g在点 0 x 有极限。 定理 3 设函数 )(x

20、gfy 是由函数 )(ufy 与 )(xgu 复合而成， )(xgf 在点 0 x 的某去心邻域内有定义，若，且存在，当 0 )(lim 0 uxg xx Auf uu )(lim 0 0 0 ),( 00 0 xu x 时，有 0 )(uxg ，则 例 1下面函数在 x 趋向什么时是无穷小，又当 x 趋向什么时是无穷大： 。21,x sin 1 cos x x 例 2 求下面函数极限： 第五节第五节极极限存在准则限存在准则 两个重要极限两个重要极限 第六节第六节连续复利连续复利 教学目的与要求：教学目的与要求：掌握极限存在准则，透彻理解两个重要极限。 教学重点（难点）：教学重点（难点）：极限

21、存在准则，两个重要极限的应用，熟练应用等价无穷小求极 限。 定理 1（夹逼定理） 三数列、和，如果从某个号码起成立： n x n y n z 1） nnn zyx ，并且已知和收敛， n x n z 2） n x n x zax limlim ，则有结论： ayn x lim 定理 2 单调有界数列一定收敛。 单调增加有上界的数列一定收敛；单调减少有下界的数列一定收敛。 一、一、 极限极限1 sin lim 0 x x x 该极限的证明，关键是证不等式:sinxxtanx (0x/2). 如图.设单位圆O 的渐开线为 .若记TOAx，并过作轴于，AB C 切且交及轴分别于、，则AB Sinx

22、=THAT =（x）= TB1- 1/n=（2(1/2)+（n-2） ）/n （1/2）21n-2=（1/4）1/n 则 4 （n+1）/ n= （1+1/n）n 即数列An有上界。 于是，极限存在，并记为数 e。 例 1 。 2 0 1 cos lim x x x 一 解： 2 2 0 2sin 2 lim x x x 一一 2 0 2 sin 1 2 lim 2 ( ) 2 x x x 2 0 sin 1 2 lim() 2 2 x x x 2 1 1 2 1 . 2 例 2 1 lim(1) . x x x 一 解： 2 24 11 lim(1) (1) 22 x x xx 一一 2.

23、e 三、连续复利三、连续复利 设一笔贷款（称为本金） ，年利率为 r，则 0 A 一年后本利和 10(1 )AAr 两年后本利和 2 210 (1)(1)AArAr k 年后本利和 0(1 )k k AAr 计息，年利率为仍为 r，则每期利率为，为n一一一一一一 r n 一一一一一一一一一 10(1 )n r AA n k 年后本利和 0(1 )nk k r AA n 如果计息期数即每时每刻计算复利（称为连续复利） ，则 k 年后本利和n 一 第六节第六节 无穷小的比较无穷小的比较 教学重点（难点）：教学重点（难点）：掌握无穷小的比较方法；掌握等价无穷小代换方法。 一、无穷小的比较一、无穷小的

24、比较 定义 若 , 为无穷小，且 1lim 0lim 0lim lim 0lim c c K 则与的关系，依次是高阶、低阶、同阶、k 阶、等价（） 例 1证明下面各无穷小量之间的关系： 与 x（x +） tanx-sinx 与 sinx（x ） 。sinxx00 二、等价无穷小量代换二、等价无穷小量代换 1）若为等价无穷小，则 )( 。 , 2）若、且存在，则：= lim lim lim 例 1 求下面函数极限： 000 1 lim(1)lim1 rk n r nkrk k nn r AAAA e n n r x x x tan lim 0 ， 2 0 cos1 lim x x x ，x x

25、x arcsin lim 0 例 2证明有界，并求 的极限。 x x x ) 1 1 (lim x x x ) 1 1 (lim 例 3求下面函数极限 x x x 5sin 2tan lim 0 ， xx x x 3 sin lim 3 0 ， 1cos 1)1 ( lim 3 1 2 0 x x x 。 第七节第七节 函数的连续性函数的连续性 教学目的与要求：教学目的与要求：利用定义判断连续或间断点，理解连续函数的性质和初等函数的连 续性，并会利用函数的连续性求函数极限。 教学重点（难点）：教学重点（难点）：判断函数连续。 一、函数在一点的连续性一、函数在一点的连续性 函数 f 在点 0 x

26、 连续，当且仅当该点的函数值 )( 0 xf 、左极限 )0( 0 xf 与右极限 )0( 0 xf 三者相等： )0()()0( 000 xfxfxf 或者：当且仅当函数 f 在点 0 x 有极限且此极限等于该点的函数值 。 )()(lim 0 0 xfxf xx 其形式定义如下： )()()(0 00 xfxfxxx 函数在区间（a,b）连续指：区间中每一点都连续，函数在区间a,b连续时包括端点。 注：1）左右连续，在区间上连续(注意端点)； 2）连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线。 二、间断点二、间断点 若： )0()()0( 000 xfxfxf 中有某一个等式不成立，就间断，分为

27、： 1、第一类间断点、第一类间断点 )0()0( 00 xfxf 即函数在点的左右极限皆存在但不相等，曲线段上出现一个跳跃。 2、第二类间断点、第二类间断点 0 x 左极限 )0( 0 xf 与右极限 )0( 0 xf 两者之中至少有一个不存在。 三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性 1、连续函数的四则运算、连续函数的四则运算 1） )()(lim 0 0 xfxf xx 且 )()(lim 0 0 xgxg xx ， )()()()(lim 00 0 xgxfxgxf xx 2） )()(lim 0 0 xfxf xx 且 )()(lim 0 0 xgxg xx ， )()()()(li

28、m 00 0 xgxfxgxf xx 3） )()(lim 0 0 xfxf xx 且 0)()(lim 0 0 xgxg xx ， )( )( )( )( lim 0 0 0 xg xf xg xf xx 2、反函数连续定理、反函数连续定理 如果函数 f Dxxfyf)(: 是严格单调增加（减少）且连续的，则存在它的反 函数 1 f ： f Dyyfx )( 1 也是严格单调增加（减少）并且连续。 注：1）反函数的定义域就是原来的值域。 2）通常惯用 X 表示自变量，Y 表示因变量。反函数也可表成 1 )( 1 f Dxxfy 3、复合函数的连续性定理：、复合函数的连续性定理： 设函数和满足复合条件，若函数在点 x0连续；，又若fg g Z f Dg 00) (uxg 函数在点连续，则复合函数在点连续。f 0 u)(xgf 0 x 注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换： )(lim()(lim 00 xgfxgf xxxx 从这些基本初等函数出,通过若干次四则运算以及复合，得到的种种函数统称为初等函 数，并且初等函数在其定义区间内连续。 例 1讨论函数在 x=0 处的连续性： ,0, ( ) 1,0. x x f x x 例 2求下面函数的间断点，判断其类型： 。 1 (1) , x yx 1 cos x yx 例 3 求下面函数的连