网络名师小班辅导教案-初中数学二次函数第4讲二次函数与其它代数综合教师版

1、第四讲二次函数与其它代数综合中考要求内容基本要求略高要求较高要求二次函数1.能根据实际情境了解二次函数的意义；2.会利用描点法画出二次函数的图像；1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式；2.能从函数图像上认识函数的性质；3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向；4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解；1.能用二次函数解决简单的实际问题； 2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题；知识点睛一、二次函数与一次函数的联系一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时与有两个交点; 方程组只有一组解时与只有一个交点；方程组无解时与没有交点.二

2、、二次函数与方程、不等式的联系1.二次函数与一元二次方程的联系：1.直线与抛物线的交点: （1）轴与抛物线得交点为(0, ). （2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,). （3）抛物线与轴的交点:二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 有两个交点抛物线与轴相交； 有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切； 没有交点抛物线与轴相离.（4）平行于轴的直线与抛物线的交点 同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.（5）抛

3、物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故2.二次函数常用解题方法 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数中，的符号，或由二次函数中，的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：抛物线与轴有两个

4、交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根抛物线与轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根抛物线与轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.3.二次函数与一元二次方程之根的分布（选讲）所谓一元二次方程，实质就是其相应二次函数的零点（图象与轴的交点问题，因此，二次方程的实根分布问题，即二次方程的实根在什么区间内的问题，借助于二次函数及其图象利用数形结合的方法来研究是非常有益的设的二实根为，且是预先给定的两个实数 当两根都在区间内，方程系数所满足的充要条件：，对应的二次函数的图象有下列两种情形：当时的充要条件是：，当时的充要条件是：，两种情形合并

5、后的充要条件是： 当两根中有且仅有一根在区间内，方程系数所满足的充要条件；或，对应的函数的图象有下列四种情形：从四种情形得充要条件是： 当两根都不在区间内方程系数所满足的充要条件：当两根分别在区间的两旁时；对应的函数的图象有下列两种情形：当时的充要条件是：，当时充要条件是：，两种情形合并后的充要条件是：， 当两根分别在区间之外的同侧时：或，对应函数的图象有下列四种情形：当时的充要条件是：， 当时的充要条件是：， 4区间根定理如果在区间上有，则至少存在一个，使得此定理即为区间根定理，又称作勘根定理，它在判断根的位置的时候会发挥巨大的威力重、难点重点：使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等

6、式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题是教学的重点。难点：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点例题精讲板块一 二次函数与一次函数的综合【例1】 （09湖北省荆门市）函数y=ax1与y=ax2bx1（a0）的图象可能是（ ）【解析】 本题考查函数图象与性质，当时，直线从左向右是上升的，抛物线开口向上，D是错的，函数与的图象必过（0，1），所以C是正确的，故选C【巩固】（09年嘉兴市）已知，在同一直角坐标系中，函数与的图象有可能是（ ）【解析】 考察系数与函数图像的关系。A 选项：一次函数，二次函数； B 选项：一次函数， 二次函数； C 选项：一次函数，

7、 二次函数； D 选项：一次函数， 二次函数.【解析】 所以选 C【例2】 （08泰州市）如图，已知二次函数的图像经过三点A，B，C， 它的顶点为M，又正比例函数的图像于二次函数相交于两点D、E，且P是线段DE的中点。1 该二次函数的解析式，并求函数顶点M的坐标；2 知点E，且二次函数的函数值大于正比例函数时，试根据函数图像求出符合条件的自变量 的取值范围；3 时，求四边形PCMB的面积的最小值。【参考公式：已知两点，则线段DE的中点坐标为【解析】 由，则得，解得故函数解析式是：。由 知，点M（1，4）。（2）由点E在正比例函数的图像上得，故，由解得D点坐标为（），由图象可知，当二次函数的函数

8、值大于正比例函数时，自变量的取值范围是。（3）解得，点D、E坐标为D（）、E（），则点P坐标为P（）由，知点P在第一象限。由点B，C，M（1，4），得，则整理，配方得：。故当时，四边形PCMB的面积值最小，最小值是。 板块二 二次函数与反比例函数的联系【例3】 （2009烟台市）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例 函数在同一坐标系内的图象大致为（ ）【解析】 考察函数图像与系数之间的关系。由二次函数图像可知，所以。当x=1时，y0，所以a+b+c0. 所以选 D。【例4】 (2009年义乌)已知点A、B分别是轴、轴上的动点，点C、D是某个函数图像上的点，当四边形 ABCD（A、B、C、

9、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图像的伴侣正方形。例如：如图，正方形ABCD是一次函数图像的其中一个伴侣正方形。（1）若某函数是一次函数，求它的图像的所有伴侣正方形的边长；（2）若某函数是反比例函数，他的图像的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m 2）在反比例函数图像上，求m的值及反比例函数解析式；（3）若某函数是二次函数，它的图像的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4）.写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标 ，写出符合题意的其中一条抛物线解析式，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数？(本小题只需直接写出答案)【解析】 （1）如图1，当点

10、在轴正半轴，点在轴负半轴上时，正方形的边长为； 当点在轴负半轴、点在轴正半轴上时，设正方形的边长为，易得解得，所以正方形边长为 OxyDCBA图1OxyCDABF321123图2E（2）如图2，作分别垂直于轴，易知 此时，点坐标为，解得反比例函数的解析式为（3）；对应的抛物线分别为；所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数板块三 二次函数与方程与不等式的联系1.二次函数与不等式的联系【例5】 （09辽宁本溪）如图所示，抛物线与轴的两个交点分别为和 ，当时，的取值范围是 【解析】 由图可得或【巩固】（09山东德城）如下右图是抛物线的一部分，其对称轴为直线，若其与轴交点为，则由图象可知，不等式的解

11、集是 【解析】 由对称轴和可得：抛物线与轴的另外一个交点的坐标为，所以不等式的解集为或【例6】 解不等式：【解析】 原不等式化为，解得，原不等式的解集为【例7】 （09福建漳州）阅读材料，解答问题例 用图象法解一元二次不等式：解：设，则是的二次函数，抛物线开口向上又当时，解得由此得抛物线的大致图象如图所示观察函数图象可知：当或时，的解集是或 观察图象，直接写出一元二次不等式：的解集是_； 仿照上例，用图象法解一元二次不等式：【解析】 解：设，则是的二次函数，抛物线开口向上又当时，解得由此得抛物线的大致图象（图象略）观察函数图象可知：当或时，的解集是：或【例8】 （08内江）阅读下列内容后，解答

12、下列各题：几个不等于的数相乘，积的符号由负因数的个数决定例如：考查代数式的值与的大小当时，当时，当时，综上：当时，；当或时， 填写下表：（用“”或“”填入空格处） 由上表可知，当满足 时，；(3) 运用你发现的规律，直接写出当满足 时，【解析】 （1）略（2）或； 或【例9】 对于满足的所有实数，求使不等式成立的的取值范围【解析】 设，由题意知当时，要使，只需，即，得或【例10】 （07日照）已知二次函数，当自变量取时，其相应的函数值小于，那么下列结论中正确的是( ). 的函数值小于 . 的函数值大于. 的函数值等于 . 的函数值与的大小关系不确定【解析】 由题意得：此二次函数与轴有两交点，两

13、交点横坐标为，两交点的距离为，当取时，函数值小于，当取时，函数值大于选2.二次函数与一元二次方程的联系【例11】 设二次函数的图象如图所示，若，求的取值范围.【解析】 设点的坐标为，则的坐标为，于是且，即，.，由图知，对称轴在轴右侧，故，两边同时乘以负数，即得【例12】 设二次函数图像如图所示，试判断的符号【解析】 由图像可知，于是【例13】 二次函数的图象如下左图所示，判断， 的符号. （07福州）如下右图所示，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，其中，下列结论：；其中正确的有（ ）个 个 个 个【解析】 （1）由图知：图象开口向上，所以；函数的对称轴，所以；同时，所以；函数图象

14、与轴的交点小于，所以；函数图象与轴有两个不同的交点，所以；所对应的函数小于，所以；所对应的函数大于，所以. O1212xy（2）由二次函数的图象的位置可知，当时，即有；同时，再结合，可知，则，再由图象过点，可知，结合，可知；由于不是函数的最大值，所以，整理可得综上可知题目提供的四个式子都正确，故应选.【例14】 （2009广东肇庆）已知一元二次方程的一根为 求关于的解析式； 求证：抛物线与轴有两个交点； 设抛物线的顶点为，且与轴相交于两点，求使面积最小时的抛物线的解析式【解析】 一元二次方程的一根为，则 一元二次方程的判别式， 由得，一元二次方程有两个不相等的实根抛物线与轴有两个交点 抛物线顶

15、点的坐标为，是方程的两个根，要使最小，只须使最小而由得，所以当时，有最小值，此时故抛物线的解析式为【例15】 （2009天津）已知函数，为方程的两个根，点在函数的图象上 若，求函数的解析式； 在的条件下，若函数与的图象的两个交点为，当的面积为时，求的值； 若，当时，试确定三者之间的大小关系，并说明理由【解析】 ，将分别代入，得，解得，函数的解析式为 由已知，得，设的高为，即根据题意，由，得当时，解得；当时，解得，的值为 由已知，得，化简得，得，则有又，当时，；当时，；当时， 3.选讲题【例16】 已知方程的两个实根一个小于，一个大于，求的取值范围【解析】 设，因为方程的两个实数根一个小于，一个

16、大于，所以有即，解得所以【巩固】已知方程有两个实数根，并且证明： ； 【解析】 由韦达定理知 设，则的图像是开口向上的抛物线，且与轴的两交点在与之间，所以，即，所以，故【例17】 已知方程有两个大于的实根，求的取值范围【解析】 因为有两个大于的实数根，即若设，则该二次函数与轴的两个交点都位于的右边，开口向上，所以有，解得【例18】 方程有两实根，且两根都大于，证明【解析】 设，因为方程的两根都大于，所以有，即解得【巩固】已知方程的两根均大于，求的关系式【解析】 设，因为方程的两根均大于，所以，解得故的关系式为，【例19】 若的二次方程，因为方程的解都位于的范围中，求正整数的 值【解析】 设，因

17、为方程的两个解都位于中，所以，满足条件由得，符合条件的值为由得把各值代入，得，把各值代入，得，符合条件的，的值是，【例20】 设是实数，二次方程的一个根属于区间，另一个根属于区间，求的取值范围 已知、均为正整数，若关于的方程的两个实数根都大于且小于，求、的值【解析】 由于二次函数与轴的交点横坐标，是方程的根，于是与轴的两个交点必在两点，和两点，之间令，因为，所以在点左侧，函数值大于，又，所以在点右侧，点左侧，函数值小于，所以同理，三式联立得：，所以，所以于是的取值范围是 令，要使方程的两实数根都大于且小于，由函数的图象可知，要满足，即已知、都为正整数，则由知、当时，由得，故，又由得，矛盾；当时

18、，由得，又由，的制约式得，故；当时，由得，即，又由，的制约式得，矛盾综合可得【附加题】已知方程有两个不同实根，求证：方程至少有一个根，在前一个方程的两根之间（此处）【解析】 设方程的两根为，则有，且，令，则，所以抛物线上的两点，在轴的两侧，则方程至少有一根在前一方程两根之间【附加题】试证：若实数满足条件，这里时正数，那么方程有一个根介于和之间【解析】 只需对证明本题即可，因为当时，将与两端同时乘，即可化为的情形现在分两种情况证明 若 如果，则方程有根由可知，因而显然 如果，则由可知，这时任何都满足，自然包括和之间的数 若令，注意到：由可知： 若，则由不等式和可知，当时，方程由一根在区间中，而这

19、个区间包含在中 若，则利用条件可得：由于，故得由不等式和可知，当时，方程有一根在区间中，而这个区间包含在之中家庭作业【习题1】 （09年兰州）在同一直角坐标系中，函数和函数（是常数，且 ）的图象可能是（ ）【解析】 考察函数图像与系数的关系。由一次函数的图像判断出m的取值范围，再由m的取值范围判断二次函数的图像的位置。答案选：D.【习题2】 已知二次函数 求证：不论为任何实数，这个函数的图象与轴总有交点， 为何实数时，这两个交点间的距离最小?这个最小距离是多少？【解析】 当时，不论为任何实数，方程都有两个不等的实数根.不论为任何实数，这个函数的图象与轴总有交点. 设是方程的两个根，且，是这个函

20、数图象与轴交点的横坐标，这两个交点间的距离为.当时，的值最小，最小值为.【习题3】 （09深圳）先阅读理解下面的例题，再按要求解答：例题：解一元二次不等式解：，由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 解不等式组，得，解不等式组，得，故的解集为或，即一元二次不等式的解集为或问题：求分式不等式的解集【解析】 由有理数的除法法则“两数相除，异号得负”，有 解不等式组，得，解不等式组，得或，则不等式组无解，故不等式的解集为 【习题4】 （07烟台）小明、小亮、小梅、小花四人共同探究代数式的值的情况他们作了如下分工：小明负责找值为时的值，小亮负责找值为时的值，小梅负责找最小值，小花负责找最大值几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是（ ）小明认为只有当时，的值为.小亮认为找不到实数，使的值为.小梅发现的值随的变化而变化，因此认为没有最小值小花发现当取大于的实数时，的值随的增大而增大，因此认为没有最大值.