大学物理(华中科技版)第12章习题解答

1、第12章电磁感应电磁场与电磁波121 如习题121图所示，有一个空心螺绕环，单位长度匝数为1000匝，环的横截面，若在环上绕一线圈A，其匝数匝，线圈A的电阻，它的电流可由一变阻器调节，使电流每秒减少10。求： （1）线圈A中的感应电动势、感应电流；（2）2 s内通过线圈A的感应电量。习题121图解：（1）螺绕环内的磁感强度为 因为磁场完全集中于环内，所以通过线圈A的磁通量为 这样，线圈A中感生电动势的量值为将已知数值代入，得（V）感应电流为（A ）（2）在2秒内通过线圈A的感应电量为 （C） OOBABL/5习题122图122 一条铜棒长为L = 0.5m，水平放置，可绕距离A端为L/5处和棒

2、垂直的轴OO在水平面内旋转，每秒转动一周。铜棒置于竖直向上的匀强磁场中，如习题图122所示，磁感应强度B = 1.010-4T。求：（1）A、B两端的电势差；（2）A、B两端哪一点电势高？解：设想一个半径为R的金属棒绕一端做匀速圆周运动，角速度为，经过时间dt后转过的角度为d = dt扫过的面积为 dS = R2d/2dLoRl切割的磁通量为 d = BdS = BR2d/2动生电动势的大小为 = d/dt = BR2/2根据右手螺旋法则，圆周上端点的电势高。AO和BO段的动生电动势大小分别为由于BO AO，所以B端的电势比A端更高，A和B端的电势差为= 4.7110-4(V)讨论：如果棒上两

3、点到o的距离分别为L和l，则两点间的电势差为123 一长直导线载有的稳恒电流，附近有一个与它共面的矩形绕圈。如习题图123所示，已知，线圈共有匝，以的速度水平离开直导线。试求线圈里的感应电动势的大小和方向。解：用法拉第电磁感应定律求解。长直载流导线附近一点的磁感应强度的大小为习题123图根据电流的方向应用右手螺旋法则确定的方向（如图示）。若取线圈平面法向与的方向一致，任意时刻，线圈向右运动的距离是，穿过线圈的磁通量为因此，线圈中的电动势为由于线圈平面向右移的过程中，通过线圈平面的磁通量逐渐减少，根据法拉第电磁感应定律，可知回路中的感应电动势为顺时针方向，即方向。解：用动生电动势求解对于线圈中的

4、每一匝可将其分为四段来计算由于 （因为与垂直）因此有：实际上，某时刻线簇内的电动势就等于和两段导线在:时刻切割磁力线产生的电动势之差，因此也可以直接写出这与上面的计算结果一致。对于N匝线圈，产生的电动势为电动势的方向可作如下判断，由于处磁感应强度大于处磁感应强度，在段产生的感应电动势较段大，而和段感应电动势为零，因此沿顺时针方向，即方向。令，并代入数据，则线圈刚离开直导线时的感应电动势为 （V）124一导线ac弯成如图所示形状，且abbc10cm，若使导线在磁感应强度BT的均匀磁场中，以速度 cms1向右运动。问ac间电势差多大？哪一端电势高？解： 习题124图 1.8810-5 （V）C端电

5、势高。124BABRv0 如习题125图所示，平行导轨上放置一金属杆AB，质量为m，长为L。在导轨一端接有电阻R。匀强磁场垂直导轨平面向里当AB杆以初速度水平向右运动时，求：（1）AB杆能够移动的距离；（2）在移动过程中电阻R上放出的焦耳热。习题125图解：当杆运动时会产生动生电动势，在电路中形成电流；这时杆又变成通电导体，所受的安培力与速度方向相反，所以杆将做减速运动随着杆的速度变小，动生电动势也会变小，因而电流也会变小，所受的安培力也会变小，所以杆做加速度不断减小的减速运动，最后缓慢地停下来（1）方法一速度法：设杆运动时间t时的速度为v，则动生电动势为 = BLv电流为 I = /R所受的

6、安培力的大小为F = ILB = LB/R = (BL)2v/R，方向与速度方向相反。取速度的方向为正，根据牛顿第二定律F = ma得速度的微分方程为即： 积分得方程的通解为根据初始条件，当t = 0时，v = v0，可得常量C1 = lnv0。方程的特解为由于v = dx/dt，可得位移的微分方程方程的通解为当t = 0时，x = 0，所以常量为方程的特解为当时间t趋于无穷大时，杆运动的距离为方法二冲量法：由F = -(BL)2v/R，得右边积分得 即：杆所受的冲量等于杆的动量的变化量。左边积分后，可得（2）杆在移动过程中产生的焦耳热元为整个运动过程中产生的焦耳热为即：焦耳热是杆的动能转化而

7、来的。125 如习题126图所示，直角三角形金属框放在匀强磁场中，平行ac，当框绕ac边以角速度转动时，求框中各边的动生电动势及回路中的动生电动势。设，。解：利用法拉第电磁感应定律 由于磁场、线圈面积均不随时间变化，虽然，线圈绕ac边转动，但线圈平面法线与的夹角始终为，因此整个回路的动生电动势是零。习题126图解：先计算各边的动生电动势，然后相加。由于ac边不切割磁力线，对于cb边有在cb上取一小段，它距c点的距离为，这一小段运动速度为 ，且的方向与同向，有 （b点电势较c点高）ab边的电动势为 在ab上取一小段，它距转轴的距离为，其运动速度为，仍有。而的方向与的夹角为， ，有 ，因此 （b点

8、电势较a点高）由于， 整个回路的电动势习题127图raaBt127电磁涡流制动器是一个电导率为，厚度为t的圆盘，此盘绕通过其中心的垂直轴旋转，且有一覆盖小面积为a2的均匀磁场垂直于圆盘，小面积离轴r（ra）。如图所示，当圆盘角速度为时，此圆盘受到一阻碍其转动的磁力矩。试证该磁力矩的大小。 解：电导率是电阻率的倒数 = 1/。不妨将圆盘与磁场相对的部分当成长、宽和高分别为a、a和t的小导体，其横截面积为 S = at，电流将从横截面中流过，长度为a，因此其电阻为aatSI宽为a的边扫过磁场中，速度大小为 v = r产生的感生电动势为 = Bav = Bar圆盘其他部分的电阻远小于小导体的电阻，因

9、此通过小导体的电流强度为I = /R = Bart所受的安培力为 F = IaB = B2a2rt其方向与速度方向相反。产生的磁力矩为M = Fr = B2a2r2t其方向与角速度的方向相反。128磁感应强度为的均匀磁场充满一半径为的圆柱形空间，一金属杆放在如习题128图所示的位置，杆长为，其中一半位于磁场内，另一半在磁场外。当时，求杆两端的感应电动势的大小和方向。解：根据磁场B柱对称，当时，可知为一系列同心习题128图圆，即与半径正交，故沿半径方向不会产生感生电动势，即，这样在回路oac中的电动势为 为杆为ac内的电动势，和分别为ab和bc部分内的电动势。由上面分析可知为三角形的面积，据题设

10、，为回路内磁场复盖的区域扇形面积，据题设，图中，故因为，由楞次定律可判定c端电位高。BMNOvCDx129 如习题129图所示，有一弯成角的金属架COD放在磁场中，磁感应强度的方向垂直于金属架COD所在平面，一导体杆MN垂直于OD边，并在金属架上以恒定速度向右滑动，其方向与MN垂直，初始时刻x = 0。对于下列两种情形，求时刻框架内的感应电动势。习题129图（1）磁场分布均匀，且不随时间改变；（2）磁场分布非均匀，且B = Kxcost。解：（1）经过时间t，导体杆前进的距离为 x = vt杆的有效长度为 l = xtan = v(tan)t动生电动势为 i = Blv = Bv2(tan)t

11、（2）导体杆扫过的三角形的面积为S = xl/2 = x2tan/2 = v2t2tan/2通过该面的磁通量为 感应电动势为即：1210 如习题1210图所示，匀强磁场与矩形导线回路的法线成 = 60角，B = kt（k为大于零的常数）。长为L的导体杆以速度水平向右平动，求回路中t时刻的感应电动势的大小和方向（设t = 0时，x = 0）解：经过时间t，导体杆运动的距离为 x = vt习题1210图扫过的面积为 S = Lx = Lvt通过此面积的磁通量为 = BS = BScos = Lvkt2/2感应电动势的大小为 = d/dt = Lvkt由于回路中磁通量在增加，而感应电流的磁通量阻碍原

12、磁通量增加，其磁场与原磁场的方向相反，所以感应电动势的方向是顺时针的1211 长为，宽为的矩形线圈与无限长载流直导线共面，且线圈的长边平行于长直导线，线圈以速度水平向右平动，t时刻边距离长直导线为x；且长直导线中的电流按I = I0cost规律随时间变化，如图所示。求回路中的电动势。解：电流I在r处产生的磁感应强度为穿过面积元dS = dr的磁通量为习题1211图穿过矩形线圈abcd的磁通量为 回路中的电动势为显然，第一项是由于磁场变化产生的感生电动势，第二项是由于线圈运动产生的动生电动势。1212 如习题1212图所示的两个同轴圆形导体线圈，小线圈在大线圈上面。两线圈的距离为x，设x远大于圆

13、半径R。大线圈中通有电流I时，若半径为r的小线圈以速率v = dx/dt运动。小线圈中的磁场可看作是均匀的。求x = NR时，小线圈中的感应电动势为多少？感应电流的方向如何？解：环电流在轴线上产生的磁感应强度为习题1212图当xR时，磁感应强度为 小线圈的面积为S = r2，通过的磁通量为当小线圈运动时，感应电动势为当x = NR时，感应电动势为 感应电流的磁场与原磁场的方向相同，感应电流的方向与原电流的环绕方向相同。1211 如习题1213图所示的回路，磁感应强度垂直于回路平面向里，磁通量按下述规律变化 = 3t2 + 2t + 1，式中的单位为毫韦伯，t的单位为秒求：（1）在t = 2s时

14、回路中的感生电动势为多少？（2）电阻上的电流方向如何？解：（1）将磁通量的单位化为韦伯得习题1211图 = (3t2 + 2t + 1)/103感生电动势大小为 = |d /dt| = 2(3t + 1)/103t = 2s时的感生电动势为1.410-2(V)。（2）由于原磁场在增加，根据楞次定律，感应电流所产生的磁场的方向与原磁场的方向相反，所以在线圈中感生电流的方向是逆时针的，从电阻的左边流向右边。1214 如习题1214图所示的圆面积内，匀强磁场的方向垂直于圆面积向里，圆半径R = 12cm，dB/dt = 10-2Ts-1。求图中a、b、c三点涡旋电场的场强（b为圆心）。设ab = 1

15、0cm，bc = 15cm。解：（1）当点在磁场之中时，以b为圆心，以r为半径作一圆形环中，其周长为 C = 2r，面积为 S = r2习题1214图取环路的逆时针方向为正，根据右手螺旋法则，面积的法向方向垂直纸面向外。根据安培环路定理由于磁场增加，其变化率的方向与磁场方向相同，而感应电流的磁场与磁场增加的方向的方向相反，即垂直纸面向里，根据右手螺旋法则，涡旋电场的方向与环路方向相同，所以左边等于BabRcrr而磁感应强度的方向与面积的法向方向相反，所以右边等于因此涡旋电场为 对于a点，由于r = 0.1m，所以Ek = 0.10.01/2 = 510-4(Vm-1)对于b点，由于r = 0，

16、所以Ek = 0。（2）当点在磁场之外时，以b为圆心，以r为半径作一圆形环路根据安培环路定理 左边的积分仍然为Ek2r由于半径R之外的磁感应强度及其变化率为零，所以右边的大小为R2dB/dt，因此涡旋电场为 对于c点，由于r = 0.15m，R = 0.12m，所以Ek = (0.12)20.01/20.15 = 4.810-4(Vm-1）1215 一矩形截面螺绕环，高为，共有N匝，如习题1215图所示。求：(1)此螺绕环的自感系数；(2)若导线内通有电流，环内磁能。解：如题12-15图示(1)通过横截面的磁通为 习题1215图磁链 (2) 1216如习题1216图所示，螺线管内充有两种均匀磁

17、介质，其截面分别为S1和S2，磁导率分别为1和2，两种介质的分界面为与螺线管同轴的圆柱面。螺线管长为l，匝数为N，管的直径远小于管长，设螺线管通有电流I，求螺线管的自感系数和单位长度储存的磁能。解：习题12-16图,1217 如习题1217图所示，长直导线与矩形线圈处于同一平面内，求它们之间的互感系数(设矩形线圈的边离长直导线的距离为，线圈宽为，高为)。解：设长直导线中电流为，它在与直导线距离为处的感应强度为习题1217图的方向垂直纸面向里，通过面元的磁通量为所以，通过整个矩形线圈的磁通量为由互感系数的定义，得直导线与矩形线圈的互感系数为1218长直导线与矩形单匝线圈共面放置，导线与线圈的长边

18、平行，矩形线圈的边长分别为a和b，它到直导线的距离为c，如习题1218图所示。当矩形线圈中通有电流i= I0sint时，求直导线中的感应电动势。 解：如果在直导线中通以稳恒电流I，在距离为r处产生的磁感应强度为B = 0I/2r习题1218图在矩形线圈中取一面积元dS = bdr，通过线圈的磁通量为互感系数为 当线圈中通以交变电流i = I0sint时，直导线中的感应电动势大小为1219如习题1219图所示，一圆形线圈C1由50匝表面绝缘的细导线密绕而成，圆面积S = 2cm2，将C1放在一个半径R = 20cm的大圆线圈C2的中心，两线圈共轴，C2线圈为100匝。求：I2C2C1（1）两线圈

19、的互感M；（2）C2线圈中的电流以50As-1的速率减少时，C1中的感应电动势。解：(1)设大线圈中通以电流I2，N2匝线圈形成的环电流在圆心产生的磁感应强度为习题1219图B = 0N2I2/2R小线圈中的全磁通为 12 = N1BS =0N1N2I2S/2R，互感系数为M = 12/I2 = 0N1N2S/2R= 410-750100210-4/20.2=10-6(H)(2) C1中的感应电动势的大小为 = MdI2/dt = 10-650 = 510-5(V)1220 两个共轴的螺线管A和B完全耦合，A管的自感系数L1 = 4.010-3H，通有电流I1 = 2A，B管的自感系数L2 =

20、 910-3H，通有电流I2 = 4A。求两线圈内储存的总磁能。解：A管储存的自能为B管储存的自能为 由于两线圈完全耦合，互感系数为A管和B管储存的相互作用能为Wm12 = MI1I2 = 610-324 = 4810-3(J)两线圈储存的总能量为Wm = Wm1 + Wm2 + Wm12 = 0.128(J)1221 两个线圈的自感分别为L1和L2，它们之间的互感为M。（1）将两个线圈顺串联，如习题1221图（a）所示，求1和4之间的自感；（2）将两线圈反串联，如1221图（b）所示，求1和3之间的自感。12341234ab习题1221图解：两个线圈串联时，通以电流I之后，总磁场等于两个线圈

21、分别产生的磁场的矢量和B = B1 + B2，磁场的能量为（1）当两个线圈顺串时，两磁场的方向相同， = 0，所以自感系数为 （2）当两个线圈反串时，两磁场的方向相反， = ，所以自感系数为 1222 试证：平行板电容器中的位移电流可写成的形式，式中C是电容器的电容，U是两板间的电势差。对于其他的电容器上式可以应用吗？证明：根据麦克斯韦理论：通过电场任意截面的位移电流强度等于通过该截面电位移通量的时间变化率，即Id = dD/dt在平行板电容器中，由于D = DS而电位移D等于电容器的面电荷密度，即D = 因为电容器带电量为q = S = DS = D所以 Id = dq/dt即：位移电流等于

22、极板上电量的时间变化率根据电容的定义C = q/U，可得Id = CdU/dt其他电容器可以看作由很多平等板电容器并联而成，总电容等于各电容之和，所以此式对于其他电容器也可以应用。1223圆柱形电容器内、外半径分别为R1和R2，中间充满介电常数为的介质，当内、外两极板间的电压随时间的变化率为时，求介质内距轴线为处的位移电流密度。解：根据位移电流密度的定义，在电容器内r处的位移电流密度为r处的为圆柱单位长度上所荷电量。 电容器两极间的电压电压的变化率1224 在圆形极板的平行板电容器上，加上频率为50Hz，峰值为2105V的交变电压，电容器电容C = 2pF，求极板间位移电流的最大值。解：交变电

23、压为 U = Umcos2t位移电流为Id = CdU/dt = -CUm2sin2t，电流最大值为Im = CUm2= 210-122105250 = 410-5(A)1225 板面积为S的两圆形金属板组成一平行板电容器，接在交流电源上，板上电荷随时间变化，q = qmsint。求：（1）电容器中的位移电流密度；（2）两极板间磁感应强度的分布。解：(1)平行板电容器的面电荷密度为 = q/S，位移电流密度为（2）在安培-麦克斯韦环路定律中两极板间没有传导电流，即I = 0。由于轴对称，在两板之间以轴为圆心作一个半径为r的圆，其周长为 C = 2r，使磁场的方向与环路的方向相同，左边为环路所包

24、围的面积为S = r2，右边的位移电流为因此，两极板间磁场强度的分布为磁感应强度的分布为1226 一个长直螺线管，每单位长度有n匝线圈，载有电流i，且i随时间增加，di/dt0，设螺线管横截面为圆形，求：（1）在螺线管内距轴线为r处某点的涡旋电场；（2）在该点处坡印廷矢量的大小和方向。解：（1）长直螺线管通有电流i时，在轴线上产生的磁感应强度为B = 0ni磁场是均匀的，也是轴对称的。以轴线上某点为圆心，以r为半径作一环路，环路的周长为 C = 2r，面积为 S=r2oirEBSidl根据电场的环路定理可得 2rE = -r2dB/dt因此涡旋电场为负号表示涡旋电场的方向与环路的环绕方向相反（

25、2）管中磁场强度为H = B/0 = ni坡印廷矢量为S = EH，其大小为当di/dt 0时，S的方向沿径向指向轴线；当di/dt 0时，S的方向沿径向向外。1227 在真空中，一平面电磁波的电场为(Vm-1)。求：（1）电磁波的波长和频率；（2）传播方向；（3）磁场的大小和方向解：（1）电磁波的角频率为 = 2107(rads-1)频率为 = /2 = 107(Hz)波长为 = cT = c/ = 3108/107 = 30(m)（2）电磁波的传播方向为x方向（3）磁场的方向在z方向，由于所以磁场强度为（A）磁感应强度为 （T）1228 如习题1228图所示，电荷+q以速度向O点运动（电荷

26、到O点的距离以x表示）。以O点为圆心作一半径为a的圆，圆面与垂直。试计算通过此圆面的位移电流。解：在圆面上取一半径为R的环，其面积为dS = 2RdR，环上任一面元的法线方向与场强方向之间的夹角为，场强大小为 E = q/40r2其中r = (x2 + R2)1/2，通过环的电通量为习题1228图de = EdS = EdScos其中cos = x/r，所以得，积分得电通量为OqrvxrRE 由于电位移强度D和电场强度E的关系为 D = 0E所以电位移通量和电通量之间的关系为d = 0e因此点电荷在圆面上通过的电位移通量为当电荷q以速度v向O运动时，可认为圆面以dx/dt = -v向电荷运动，

27、因此，通过此圆面的位移电流为1229有一氦氖激光管所发射的激光功率为1010-3W，设激光为圆柱形光束，圆柱横截面直径为2.010-3m，试求激光的最大电场强度和最大磁感应强度。解：圆柱面积为 S = r2坡印廷矢量的平均值为 设最大电场强度为E0和最大磁感应强度为B0，可以证明：。由于，可得所以 (Vm-1）同理， 磁感应强度的最大值为(T)L=2H,R=0C=8FRK1230 如习题1230图所示的电路，在电键K接通后，电池中的稳恒电流为10A（线圈的电阻R = 0）。（1）说明为什么当电键断开时，L-C电路中就产生振荡电流？（2）求振荡电流的频率；（3）求电容器两端的最大电势差；（4）若线圈的电阻R0，试讨论能否发生振荡？如能振荡，振荡频率为多少？ 习题1230图解：（1）当电键K接通后，由于电池中的电流是稳恒的，电流不通过电容器，只通过电感L。K断开时，L中的电流发生了变化，就会产生感应生动势，给电容器C充电；电容器充完电之后又放电。这个过程不断进行，就产生振荡电流。（2）振荡电流的频率为=37.79(Hz)（3）电量的方程为 q = qmcost电流的方程为 I = dq/dt = -qmsint其中qm = im，所以最大电量为qm = im/。电容器两端的最大电势差为(V