实验二 数值积分实验

1、实验二 数值积分实验一. 实验目的（1）熟悉数值积分与数值微分方法的基本思想，加深对数值积分与数值微分方法的理解。（2）熟悉Matlab编程环境，利用Matlab实现具体的数值积分与数值微分方法。二. 实验要求 用Matlab软件实现复化梯形方法、复化辛甫生方法、龙贝格方法和高斯公式的相应算法，并用实例在计算机上计算。三. 实验内容1. 实验题目 x0.000.250.500.751.00f(x)1.000001.655341.551521.066660.72159已知的数据表分别编写用复化梯形法、复化辛甫生公法、龙贝格法、三点高斯法求积分近似值的计算机程序。2. 设计思想1. 复化Simps

2、on公式：设计Simpson公式，即为设计含有3个节点（即为3阶精度）的Newton-Cotes公式。将区间划分为3等份，选取等分点作为求积节点构造求积公式，具有三阶精度的Simpson公式。将区间a,b划分为n等分，步长为h=(b-a)/n，等分点xi=a+i*h,i=0,1,2,3。设计复化求积法，先用低阶求积公式求得每个子段上的积分值，然后再将它们累加求和，用各段积分之和作为所求积分的近似值。即设计出复化Simpson公式。2. 复化梯形公式：将区间a,b划分为n等分，步长为h=(b-a)/n，等分点xi=a+i*h,i=0,1,2,3。设计复化求积法，先用低阶求积公式求得每个子段上的积

3、分值，然后再将它们累加求和，用各段积分之和作为所求积分的近似值。再根据梯形公式即可设计出复化梯形公式。3. Romberg公式：再加工Cotes值。将积分区间a,b划分为8等份，等分点xi=a+i*(b-a)/8，i=0,1,2,8,则二分前后的Cotes值可求，再对求得的Cotes公式进行松弛，提高精度，设计出Romberg公式。4. 三点Gauss公式：根据Newton-Cotes公式，但对求积节点自由选择，适当选取待定参数使公式具有高精度，即设计出Gauss公式。而设计出具有5阶精度即为3点Gauss公式。3. 对应程序1.复化Simpson公式：Simpson.m:function S

4、=FSimpson(f,a,b,N)%f表示被积函数句柄%a，b表示被积区间a,b的端点%N表示区间个数%S用复化Simpson公式求得的积分值h=(b-a)/N;fa=feval(f,a);fb=feval(f,b);S=fa+fb;x=a;for i=1:N x=x+h/2; fx=feval(f,x); S=S+4*fx; x=x+h/2; fx=feval(f,x); S=S+2*fx;endS=h*S/6;f1.m:function f=f1(x)f=1+exp(-x)*sin(4*x);2.复化梯形公式：function T,n=fhtx(f,a,b,eps)%f表示被积函数句柄%

5、a,b表示被积区间a,b的端点%eps表示精度%T是用变步长梯形法求得的积分值%n表示二分区间的次数h=b-a;fa=feval(f,a);fb=feval(f,b);T1=h*(fa+fb)/2;T2=T1/2+h*feval(f,a+h/2)/2;n=1;while abs(T2-T1)=eps; h=h/2; T1=T2; S=0; x=a+h/2; while xeps J=J+1; h=h/2; S=0; for p=1:M x=a+h*(2*p-1); S=S+feval(f,x); end R(J+1,1)=R(J,1)/2+h*S; M=2*M; for k=1:J R(J+1

6、,k+1)=R(J+1,k)+(R(J+1,k)-R(J,k)/(4k-1); end err=abs(R(J+1,J)-R(J+1,J+1);endquad=R(J+1,J+1);f1.m:function f=f1(x)f=1+exp(-x)*sin(4*x);4.三点Gauss公式：function G=TGauss(f,a,b)%f表示被积函数句柄%a,b表示被积区间a,b的端点%G是用三点Gauss公式求得的积分值x1=(a+b)/2-sqrt(3/5)*(b-a)/2;x2=(a+b)/2+sqrt(3/5)*(b-a)/2;G=(b-a)*(5*feval(f,x1)/9+8*f

7、eval(f,(a+b)/2)/9+5*feval(f,x2)/9)/2;f1.m:function f=f1(x)f=1+exp(-x)*sin(4*x);4. 实验结果1.复化Simpson公式： 2.复化梯形公式：3.Romberg公式：4.三点Gauss公式：四. 实验体会通过这次数值积分实验，我更加深入的掌握了复化Simpson公式、复化梯形公式、Romberg公式以及三点Gauss公式，知道了每种算法的关键设计要点，了解了每种算法设计的注意事项。并且更加熟练的应用matlab进行编程，同时对上述各种算法的精度有了很深刻的认识。对于每种算法的具体设计方法在前面已有详细记述，在此主要对比每种算法的精度。复化Simpson公式求积，区间越小，求得的精度越高，但整体的效果并不是太好，有待进一步改进。复化梯形公式求解积分效果较好，算法简单，但精度低，收敛速度慢，绝对误差较小，复合梯形公式的误差限的系数为-（b-a）/12，而且后面是h平方级还有f的二次导数，而辛普森的系数是-（b-a）/（180*16），后面h是四次方级的，f的导数为四次导数，显然辛普森的误差限更加小而复化梯形公式