第1讲 三角函数的图象与性质、三角恒等变换

1、第1讲三角函数的图象与性质、三角恒等变换三角函数的概念、诱导公式及恒等变换1.(2015贵阳高三适应性监测)已知(0,2),且的终边上一点的坐标为（sin56,cos56）,则等于(B)(A)23(B)53(C)56(D)76解析:由已知可得,的终边上一点的坐标为（12,-32）,且(0,2),故（32,2）,根据三角函数的定义可得tan =-3,所以=53.故选B.2.(2015太原市模拟)已知sin +cos =2,（-2,2）,则tan 等于(D)(A)-1(B)-22(C)22(D)1解析:因为sin +cos =2,（-2,2）,所以2sin（+4）=2,所以sin（+4）=1,所以

2、+4=2,所以=4,所以tan =tan4=1,选D.3.(2015呼伦贝尔一模)已知sin +cos =13,则sin2（4-）等于(B)(A)118(B)1718(C)89(D)29解析:因为sin +cos =13,则1+2sin cos =19,2sin cos=-89,sin2（4-）=（22cos -22sin ）2=12(1-2sin cos )=12（1+89）=1718,故选B.4.(2015衢州一模)若cos（+3）=-45,则sin（-6）=.解析:sin（-6）=sin(+3)-2=-sin2-(+3)=-cos(+3)=45.答案:45函数y=Asin(x+)+B的解

3、析式5.(2015许昌一模)函数f(x)=Asin(x+)(其中A0,|0,|2)的图象,过(3,0)点,（712,-1）点,易得,A=1,T=4（712-3）=,即=2,即f(x)=sin(2x+),将（712,-1）点代入得76+=32+2k,kZ又| 0,0,|2）与坐标轴的三个交点P,Q,R满足P(1,0),PQR=4,M(2,-2)为线段QR的中点,则A的值为(C) (A)23(B)733(C)833(D)43解析:因为M(2,-2)为QR的中点,所以可知R(0,-4),Q(0,4)所以函数的周期T=6,所以=26=3,所以f(x)=Asin（3x+）,把P(1,0)代入f(x)可得

4、,sin（3+）=0,又|2,所以=-3,所以f(x)=Asin（3x-3）,把R(0,-4)代入f(x)可得Asin（-3）=-4,所以A=833,故选C.8.(2015株洲一模)如图为函数f(x)=3sin(x+)(0)的部分图象,B,C分别为图象的最高点和最低点,若ABBC=|AB|2,则等于(C) (A)3(B)4(C)6(D)12解析:由题意知|BC|=2|AB|,由ABBC=|AB|2知-|AB|BC|cosABC=|AB|2,得cosABC=-12,则ABC=120,过B作BD垂直于x轴于D,则|AD|=3,所以T4=3,则T=12,=2T=6,故选C.三角函数的图象和性质9.(

5、2015开封二模)若函数f(x)=(1+3tan x)cos x,0x2,则f(x)的最大值是(B)(A)1(B)2(C)3+1(D)3+2解析:f(x)=(1+3tan x)cos x=cos x+3sin x=2sin（x+6）,因为0x2,所以6x+60)在区间0,3上单调递增,在区间3,2上单调递减,则等于(C)(A)3(B)2(C)32(D)23解析:因为y=sin x(0)过原点,所以当0x2,即0x2时,y=sin x是增函数;当2x32,即2x32时,y=sin x是减函数.由y=sin x(0)在0,3上单调递增,在3,2上单调递减知,2=3,所以=32.11.(2015衢州

6、二模)设函数f(x)=2cos(12x+6),则该函数的最小正周期为,值域为,单调递增区间为.解析:函数的最小正周期为T=212=4,值域为 -2,2,由2k-12x+62k(kZ),可得其单调递增区间为4k-73x4k-3(kZ).答案:4-2,24k-73,4k-3(kZ).12.(2015洛阳一模)将函数y=sin(2x)sin(2x+3)的图象向右平移6个单位,所得图象关于y轴对称,则正数的最小值为.解析:因为y=sin(12x)sin(12x+3)=12sin212x+34 sin x=1-cosx+3sinx4=12sin(x-6)+14,所以将函数的图象向右平移6个单位,所得解析

7、式为y=12sin(x-6)-6+14=12sin(x-6-6)+14,因为所得图象关于y轴对称,所以-6-6=k+2,kZ,可解得=-6k-4,kZ,所以k=-1时,正数的最小值为2,答案:2一、选择题1.设P(x,2)为角终边上的一点,且sin =2x,则tan 等于(A)(A)1(B)-1(C)1(D)2解析:因为角终边上一点P(x,2),所以|OP|=x2+4(O为坐标原点),由sin =2x=2x2+4,得x=2,所以tan =22=1,故选A.2.(2015江南二模)若3sin =cos ,则cos 2+sin 2的值等于(B)(A)-75(B)75(C)-35(D)35解析:因为

8、3sin =cos ,所以tan =13,所以cos 2+sin 2=cos2-sin2+2sincoscos2+sin2=1-tan2+2tan1+tan2=1-19+231+19=75,故选B.3.在下面给出的函数中,既是区间(0,2)上的增函数又是以为周期的偶函数的是(B)(A)y=x2(xR) (B)y=|sin x|(xR)(C)y=cos 2x(xR)(D)y=esin 2x(xR)解析:y=x2(xR)不是周期函数,故排除A.因为y=|sin x|(xR)周期为,且根据正弦图象知在区间(0,2)上是增函数.故选B.4.(2015桐城市一模)函数y=sin(2x-3)在区间-2,的

9、简图是(B)解析:当x=-2时,y=sin2(-2)-3=-sin(+3)=sin3=320,排除A,D;当x=6时,y=sin(26-3)=sin 0=0,排除C.故选B.5.(2015惠州模拟)函数f(x)=2sin(x+)(xR,0,|2)的部分图象如图所示,则,的值分别是(A)(A)2,-3(B)2,-6(C)4,-6(D)4,3解析:由题图知34T=512-(-3)=34,所以T=,即2=,解得=2.由图象过(512,2)可知,2512+=2+2k,kZ,即=-3+2k,kZ,因为|0,|2)的最小正周期是,若其图象向右平移3个单位后得到的函数为奇函数,则函数y=f(x)的图象(D)

10、(A)关于点(12,0)对称(B)关于直线x=12对称(C)关于点(512,0)对称(D)关于直线x=512对称解析:由题意可得2=,解得=2,故函数f(x)=sin(2x+),其图象向右平移3个单位后得到的图象对应的函数为y=sin2(x-3)+=sin(2x-23+)是奇函数,又|0,|2)的最小正周期为,且f(-x)=f(x),则(A)(A)f(x)在(0,2)上单调递减(B)f(x)在(4,34)上单调递减(C)f(x)在（0,2）上单调递增(D)f(x)在（4,34）上单调递增解析:由于f(x)=sin(x+)+cos(x+)=2sin（x+4）,由于该函数的最小正周期为=2,得出=

11、2,又f(-x)=f(x),得+4=2+k(kZ),以及|0,0,|2)的部分图象如图所示,则将y=f(x)的图象向右平移6个单位后,得到的图象解析式为.解析:由题图知,A=1,34T=34,所以T=,=2T=2,又62+=2+2k(kZ),所以=2k+6(kZ),又|0,0).若f(x)在区间6,2上具有单调性,且f(2)=f(23)=-f(6),则f(x)的最小正周期为.解析:因为f(x)在6,2上具有单调性,所以T22-6,所以T23.因为f(2)=f(23),所以f(x)的一条对称轴为x=2+232=712.又因为f(2)=-f(6),所以f(x)的一个对称中心的横坐标为2+62=3.

12、所以14T=712-3=4,所以T=.答案:三、解答题14.(2015淄博模拟)已知函数f(x)=2sin xcos x+23sin2x-3(0)的最小正周期是.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)将函数f(x)的图象向左平移3个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象,求y=g(x)的解析式及其在0,2上的值域.解:(1)由题意,得函数f(x)=2sin xcos x+23sin2x-3=sin 2x-3cos 2x=2sin(2x-3),因为f(x)的最小正周期是,所以22=,所以=1.所以f(x)=2sin(2x-3).由-2+2k2x-32+2k,kZ,解得k-12x