高中数学数列(二)习题及答案

1、数列（二）9.151.若两个等差数列an和bn的前n项和分别是Sn和Tn，已知，则=（）A7BCD2.已知数列an的首项为2，且数列an满足，设数列an的前n项和为Sn，则S2017=（）A586B588C590D5043.若数列an是正项数列，且+=n2+n，则a1+等于（）A2n2+2nBn2+2nC2n2+nD2（n2+2n）4.设Sn是等差数列an的前n项和，若=（）A1B1C2D5.等差数列an中，已知S15=90，那么a8=（）A12B4C3D66.已知数列an满足，前n项的和为Sn，关于an，Sn叙述正确的是（）Aan，Sn都有最小值Ban，Sn都没有最小值Can，Sn都有最大值

2、Dan，Sn都没有最大值7.已知数列an中，a1=2，an+1=2an+32n，则数列an的通项公式an=8.数列an的a1=，an+1=，an的通项公式是10.已知正项数列an的前n项的和为Sn，且满足：，（nN+）（1）求a1，a2，a3的值（2）求数列an的通项公式11.设正项数列an的前n项和为Sn，满足Sn+1=a2Sn+a1，S3=14（）求数列an的通项公式；（）设bn=an1，求+12.已知数列an，a1=1，满足（1）求证：数列是等差数列，并求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足b1+2b2+nbn=an，对一切nN*都成立，求数列bn的通项公式13.（12分）已知数列a

3、n、bn中，对任何正整数n都有：a1bn+a2bn1+a3bn2+an1b2+anb1=2n+1n2（1）若数列an是首项和公差都是1的等差数列，求b1，b2，并证明数列bn是等比数列；（2）若数列bn是等比数列，数列an是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由；（3）若数列an是等差数列，数列bn是等比数列，求证：+14.已知数列an的首项a1=1，前n项和为Sn，且an+1=2an+1，nN*（1）证明数列an+1是等比数列并求数列an的通项公式；（2）证明：15.设Tn是数列an的前n项之积，并满足：Tn=1an（nN*）（）求a1，a2，a3（）证明数列等差数列；（）令bn

4、=，证明bn前n项和Sn16已知数列an的前n项和，令bn=log9an+1（1）求数列bn的通项公式；（2）若数列bn的前n项和为Tn，数列的前n项和为Hn，求H201717.已知数列an中，（1）求数列an的通项公式an；（2）求数列n2an的前n项和Tn；（3）若存在nN*，使关于n的不等式an（n+1）成立，求常数的最小值18.已知数列an的前n项和Sn满足：Sn=t（Snan+1）（t为常数，且t0，t1）（1）证明：an成等比数列；（2）设，若数列bn为等比数列，求t的值；（3）在满足条件（2）的情形下，设cn=4an+1，数列cn的前n项和为Tn，若不等式2n7对任意的nN*恒成

5、立，求实数k的取值范围19.已知数列an的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项，数列bn中，b1=1，点P（bn，bn+1）在直线xy+2=0上，nN*（1）求数列an，bn的通项an和bn；（2）求证：；（3）设cn=anbn，求数列cn的前n项和Tn20.已知数列an满足：，anan+10（n1），数列bn满足：bn=an+12an2（n1）（）求数列an，bn的通项公式（）证明：数列bn中的任意三项不可能成等差数列试卷答案1.D【考点】等差数列的性质【分析】由已知，根据等差数列的性质，把转化为求解【解答】解：故选：D2.A【考点】8E：数列的求和【分析】a1=2， ，可得数列an是

6、周期为4的周期数列，即可求解【解答】解：a1=2，可得数列an是周期为4的周期数列S2017=，故选：A3.A【考点】8H：数列递推式【分析】利用数列递推关系可得an，再利用等差数列的求和公式即可得出【解答】解： +=n2+n，n=1时， =2，解得a1=4n2时， +=（n1）2+n1，相减可得： =2n，an=4n2n=1时也成立=4n则a1+=4（1+2+n）=4=2n2+2n故选：A4.A【考点】等差数列的性质【分析】充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题【解答】解：设等差数列an的首项为a1，由等差数列的性质可得a1+a9=2a5，a1+a5=2a3，=1，故选A【点评】

7、本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用，已知等差数列an的前n项和为Sn，则有如下关系S2n1=（2n1）an5.D【考点】等差数列的性质【分析】由题意可得：S15=（a1+a15）=90，由等差数列的性质可得a1+a15=2a8，代入可得答案【解答】解：因为数列an是等差数列，所以，a1+a15=2a8，则S15=（a1+a15）=15a8，又S15=90，所以，15a8=90，则a8=6故选：D【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题6.A【考点】数列的函数特性【分析】利用数列通项的单调性和正负即可判断出答案【解答】解：，当n5时，an0且单调递

8、减；当n6时，an0，且单调递减故当n=5时，a5=3为最小值；由的分析可知：当n5时，an0；当n6时，an0故可得S5最小综上可知：an，Sn都有最小值故选A【点评】正确分析数列通项的单调性和正负是解题的关键7.（3n1）2n1【考点】数列递推式【分析】把已知等式两边同时除以2n+1，可得数列是以1为首项，以为公差的等差数列，再由等差数列的通项公式求得答案【解答】解：由an+1=2an+32n，得，即，又，数列是以1为首项，以为公差的等差数列，则，故答案为：（3n1）2n18.an=【考点】8H：数列递推式【分析】由an+1=，两边取倒数可得： =+，变形为：1=（1），利用等比数列的通项

9、公式即可得出【解答】解：由an+1=，两边取倒数可得： =+，变形为：1=（1），数列1是等比数列，首项为，公比为1=an=故答案为：an=【点评】本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9.【考点】数列的求和；数列的概念及简单表示法【分析】（1）由题得an2+an=2Sn，an+12+an+1=2Sn+1，两式子相减得an是首项为1，公差为1的等差数列，即可求数列an的通项公式；（2）若bn=，利用错位相减法，求数列bn的前n项和Tn【解答】解：（1）由题得an2+an=2Sn，an+12+an+1=2Sn+1，两式子相减得：结合an0得an+1an=

10、1 .令n=1得a12+a1=2S1，即a1=1，所以an是首项为1，公差为1的等差数列，即an=n.（2）因为bn=（n2）所以Tn=+Tn=+.（8分）得Tn=1+=，所以数列bn的前n项和Tn=3.（12分）【点评】本题考查数列的通项与求和，考查错位相减法的运用，属于中档题10.【考点】数列递推式【分析】（1）分别在已知数列递推式中取n=1、2、3，结合an0求得a1，a2，a3的值；（2）由+an，得，两式作差后，可得an是首项为1，公差为1的等差数列，再由等差数列的通项公式得答案【解答】解：（1）由，取n=1，得，an0，得a1=1，取n=2，得，解得a2=2，取n=3，得，解a3=

11、3；（2）+an，得 （an+1+an）（an+1an1）=0，an0，an+1+an0，则an+1an=1，an是首项为1，公差为1的等差数列，an=1+（n1）1=n【点评】本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列通项公式的求法，是中档题11.【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（I）Sn+1=a2Sn+a1，S3=14可得n=1时，a1+a2=+a1，a20，解得a1n=2时，2+a2+a3=+2=14，解得a2，可得Sn+1=2Sn+2，利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出（II）bn=an1=2n1，可得=利用“裂项求和”方法即可得出【解答】解：（I）Sn+1=

12、a2Sn+a1，S3=14n=1时，a1+a2=+a1，a20，解得a1=2n=2时，2+a2+a3=+2=14，解得a2=4，Sn+1=2Sn+2，n2时，Sn=2Sn1+2，可得：an+1=2an（n=1时也成立）数列an是等比数列，首项与公比都为2，an=2n（II）bn=an1=2n1，=+=+=112.【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【分析】（1）将已知等式两边同除以2n+1，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；（2）运用数列的递推式，n=1时，求得b1，n2时，n换为n1，相减可得所求，注意检验n=1的情况【解答】（1）证明：，数列构成以为首项，为公差的等差数列，即（

13、2）解：b1+2b2+nbn=an，即，n=1时，由b1+2b2+3b3+nbn=an，得b1=a1=1n2时，由b1+2b2+3b3+nbn=an，b1+2b2+3b3+（n1）bn1=an1，得：，检验n=1时满足上式【点评】本题考查等差数列的定义和通项公式的运用，考查数列递推式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题13.【考点】数列与不等式的综合【分析】（1）利用递推关系式得出bn+2bn1+3bn2+（n1）b2+nb1=2n+1n2，bn1+2bn2+3bn3+（n2）b2+（n1）b1=2nn1，（n2），相减得出bn+bn1+b2+b1=2n1，利用前n项的和Sn求解bn=2

14、n1，证明即可（2）bqn1a1+bqn2a2+bqn3a3+bqan1+ban=2n+1n2，又bqn2a1+bqn3a2+bqn4a3+ban1=2nn1（n2），an=2nn，讨论求解即可（3）求解+=+求解为和的形式，放缩即可【解答】解：（1）b1=1，b2=2，依题意数列an的通项公式是an=n，故等式即为bn+2bn1+3bn2+（n1）b2+nb1=2n+1n2，bn1+2bn2+3bn3+（n2）b2+（n1）b1=2nn1，（n2），两式相减可得bn+bn1+b2+b1=2n1，得bn=2n1，数列bn是首项为1，公比为2的等比数列 （2）设等比数列bn的首项为b，公比为q，

15、则bn=bqn1，从而有：bqn1a1+bqn2a2+bqn3a3+bqan1+ban=2n+1n2，又bqn2a1+bqn3a2+bqn4a3+ban1=2nn1（n2），故（2nn1）q+ban=2n+1n2，an=2nn，要使an+1an是与n无关的常数，必需q=2，即当等比数列bn的公比q=2时，数列an是等差数列，其通项公式是an=；当等比数列bn的公比不是2时，数列an不是等差数列 （3）由（2）知anbn=n2n1，显然n=1，2时+，当n3时+=+=1=【点评】本题考查了数列的综合应用，递推关系式的运用，不等式，放缩法求解证明不等式，属于综合题目，难度较大，化简较麻烦14.【考

16、点】8K：数列与不等式的综合；88：等比数列的通项公式【分析】（1）由an+1=2an+1，得an+1+1=2（an+1），由a1=1，得a1+1=2，由此能证明数列an+1是首项为2，公比为2的等比数列，从而能求出数列an的通项公式（2）由，利用放缩法和等比数列前n项和公式能证明【解答】解：（1）an+1=2an+1，an+1+1=2（an+1），又a1=1，a1+1=2， =2，数列an+1是首项为2，公比为2的等比数列an+1=2n，数列an的通项公式an=2n1，证明：（2），15.【考点】8K：数列与不等式的综合；8C：等差关系的确定【分析】（）分别令n=1，2，3代入计算，即可得到

17、所求值；（）当n2时，an=，代入等式，再由等差数列的定义，即可得证；（）运用等差数列的通项公式可得=n+1，可得an=，bn=（），运用数列的求和方法：裂项相消求和，以及不等式的性质，即可得证【解答】解：（）数列an的前n项积为Tn，且Tn=1an，当n=1时，a1=1a1，解得a1=，当n=2时，a1a2=1a2，解得a2=，当n=3时，a1a2a3=1a3，解得a3=；（）证明：当n2时，an=，Tn=1an（nN*），即为Tn=1，可得=1，则数列为首项为2，1为公差的等差数列；（）证明：由（）可得=2+n1=n+1，则Tn=1an=，可得an=，bn=（），则bn前n项和Sn=b1+

18、b2+b3+bn1+bn（1+）=（1+）=（+），故Sn16.【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）由数列的前n项和求出数列通项公式，代入bn=log9an+1，利用对数的运算性质求得数列bn的通项公式；（2）求出数列bn的前n项和为Tn，利用裂项相消法求得数列的前n项和为Hn，则H2017可求【解答】解：（1）当n=1时，；当n2时，a1=1适合上式，则bn=log9an+1=，即数列bn的通项公式；（2）由，得则于是=，则17.【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和【分析】（1）再写一式，两式相减，可得数列nan从第二项起，是以2为首项，以3为公比的等比数列，从而可求数列an的

19、通项公式an；（2）利用错位相减法，可求数列n2an的前n项和Tn；（3）分离参数，求出相应的最值，即可求常数的最小值【解答】解：（1）因为所以两式相减得所以因此数列nan从第二项起，是以2为首项，以3为公比的等比数列所以故（2）由（1）可知当n2当n2时，两式相减得又T1=a1=1也满足上式，所以（3）an（n+1）等价于，由（1）可知当n2时，设，则，又及，所求实数的取值范围为，18.【考点】数列递推式；数列的求和【分析】（1）由Sn=t（Snan+1）求出数列首项，且得到n2时，Sn=t（Snan+1），与原递推式联立可得an成等比数列； （2）由（1）求出an的通项和前n项和Sn，代入

20、，由数列bn为等比数列，得，即可求得t值；（3）由（2）中的t值，可得数列cn的前n项和为Tn，代入2n7，分离参数k，在由数列的单调性求得最值得答案【解答】（1）证明：由Sn=t（Snan+1），当n=1时，S1=t（S1a1+1），得a1=t，当n2时，Sn=t（Snan+1），即（1t）Sn=tan+t，（1t）Sn1=tan1+t，an=tan1，故an成等比数列； （2）由（1）知an成等比数列且公比是t，故，即，若数列bn是等比数列，则有，而故t3（2t+1）2=（2t2）t4（2t2+t+1），解得，再将代入bn得：由知bn为等比数列，；（3）由，知，由不等式2n7对任意的nN*恒成立，得，令，由，当n4时，dn+1dn，当n4时，dn+1dn，而，d4d5，则，得19.【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）利用an=snsn1，可得，由点P（bn，bn+1）在直线xy+2=0上，可得bn+1bn=2，（2）利用裂项求和，（3）利用错位相减求和【解答】解：（1）an是Sn与