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文档简介

1、2010年河北省大学生数学竞赛试题解析,（非数学类）,一、求极限,【解】,，,所以，,二、请问 何值时下式成立,【解】,因此要想极限存在，分子必,时使用洛必达法则得到,由上式可知：当,时，若,，则此极限,，则,存在，且其值为0；若,综上所述，得到如下结论：,三、计算定积分 。,【解】,作变换,，则,，,四、求数列,中的最小项。,【解】,时的数列。,又,且令,，,所以，,有唯一极小值,。而,，因此数列,的最小项 。,。,五、求,【解】,当,时，,收敛；,。,考虑幂级数,其收敛半径为1，,收敛区间为,时，,当,发散，,设其和函数为,则,，,于是，,故，,。,【解】,（*）,原方程可写为,，,即,这

2、是一个二阶线性常系数非齐次方程，,，由（*）式知,特征方程为,，,齐次通解为,由原方程知,则非齐次方程通解为,中，求一条曲线L，使沿该曲线从o到A的积分,的值最小。,【解】,；,令,，得,;,且 是 在(0,+)内的唯一极值点，故,时, 取最小值，则所求曲线为,八、设f (x)在1,1上有二阶导数，且,，,证明：,，x1,1。,。,1,2. f (x) = x在1,1上有且只有一个实根。,【证明】,1. 由泰勒公式,，,两式相减并整理得,于是,由于,，,因此，,。,，,。,但F(x)在1,1上连续,由介值定理知,F(x)在 1,1上至少有一个零点。 又由1可知,，故,这样F(x)在1,1上有且只有一个零点，即,在1,1上严格单调，从而至多有一个零点。,f (x) = x 在1,1 上有且只有一个实根。,九、设,在,为连续函数,则,【解】令,则,，则,所以,。,即,c为常数。而,，,特别地,即,十

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