高考数学100个热点题型秒解技巧之利用几何意义与三角不等式速解含有绝对值的不等式

1、化 难 为 易化 繁 为 简 2019 年 4 月版 秒秒解解高高考考数数学学 1 10 00 0 招招 选择、填空篇 例（例（20162016 山东理山东理 7 7）函数f (x) ( 3sinxcosx)( 3cosxsinx)的最小正周期是( ) 3 A. B. C. D.2 22 【秒解】【秒解】根据口诀：和差不变,积商减半,易知3sinxcosx以及3cosxsinx的周期 均为2,则f (x) ( 3sinxcosx)( 3cosxsinx)的周期为,选B. 四大特色助快速解题 100 个秒解技巧 80 个精妙二级结论 10 年高考真题为例 700 个例题深入剖析 1 目录 CON

2、TENTS 1、集合 利用特值逆代法速解集合运算题2 2、集合 利用对条件具体化巧解集合运算题 3、集合 运用补集运算公式简化集合计算 4、简易逻辑 利用韦恩图巧解集合与数量关系题 5、简易逻辑 借助数轴法巧解充要条件问题 6、复数 利用逆代法、特值法速解含参型复数题 7、复数 利用公式速解有关复数的模的问题 8、复数 利用结论快速判断复数的商为实数或虚数 9、复数 利用公式快速解决一类复数问题 10、三视图 柱体和锥体的三视图快速还原技巧 11、三视图 利用“三线交点”法巧妙还原直线型三视图 12、不等式 利用逆代法巧解求不等式解集问题 13、不等式 利用特值法速解比较大小问题 14、不等式

3、 利用数轴标根法速解高次不等式 15、不等式 用代入法速解 f 型不等式选择题 16、不等式 利用几何意义与三角不等式速解含有绝对值的不等式 17、不等式 利用结论速解含双绝对值函数的最值问题 18、不等式 利用“1 的代换”巧解不等式中的最值问题 19、不等式 利用“对称思想”速解不等式最值问题 20、不等式 利用柯西不等式速解最值问题 21、线性规划 利用特殊法巧解线性规划问题 22、线性规划 高考中常见的线性规划题型完整汇总 23、程序框图 程序框图高效格式化解题模式 24、排列组合 排列组合 21 种常见题型解题技巧汇总 25、排列组合 利用公式法速解相间涂色问题 26、排列组合 速解

4、排列组合之最短路径技巧 27、二项式定理 二项式定理常见题型大汇总 28、二项式定理 利用公式速解三项型二项式指定项问题 29、平面向量 特殊化法速解平面向量问题 30、平面向量 利用三个法则作图法速求平面向量问题 31、平面向量 三点共线定理及其推论的妙用 32、平面向量 平面向量等和线定理的妙用 33、平面向量 向量中的“奔驰定理”的妙用 34、平面向量 三角形四心的向量表示及妙用 35、平面向量 利用极化恒等式速解向量内积范围问题 36、空间几何 利用折叠角公式速求线线角 37、空间几何 求体积的万能公式：拟柱体公式 38、空间几何 空间坐标系中的平面的方程与点到平面的距离公式的妙用 3

5、9、空间几何 利用空间余弦定理速求异面直线所成角 40、空间几何 利用公式速解空间几何体的外接球半径 41、函数 用特值法速解分段函数求范围问题 42、函数 数形结合法速解函数的零点与交点问题 2 43、函数 数型结合法巧解带 f 的函数型不等式 44、函数 函数的周期性的重要结论的运用 45、函数 利用特值法巧解函数图像与性质问题 46、函数 通过解析式判断图像常用解题技巧 47、函数 利用结论 速解“奇函数C”模型问题 48、函数 利用特值法速解与指数、对数有关的大小比较问题 49、函数 巧用耐克函数求解函数与不等式问题 50、函数 利用对数函数绝对值性质速解范围问题 51、函数 巧用原型

6、函数解决抽象函数问题 52、函数 构造特殊函数巧解函数问题 53、导数 特殊化与构造方法巧解导数型抽象函数问题 54、导数 极端估算法速解与导数有关选择题 55、导数 用母函数代入法巧解函数、导数中求范围问题 56、导数 隐函数求导在函数与圆锥曲线切线问题中的妙用 57、三角函数 利用口诀巧记诱导公式及其运用 58、三角函数 利用结论速求三角函数周期问题 59、三角函数 巧用特值法、估算法解三角函数图像问题 60、三角函数 海伦公式及其推论在求面积中的妙用 61、三角函数 借助直角三角形巧妙转换弦与切 62、三角函数 特殊技巧在三角变换与解三角形问题中的运用 63、三角函数 齐次式中弦切互化技

7、巧 64、三角函数 利用射影定理秒解解三角形问题 65、三角函数 三角形角平分线定理的妙用 66、三角函数 三角形角平分线长公式的妙用 67、三角函数 三角形中线定理及其推论的妙用 68、三角函数 利用测量法估算法速解三角形选择题 69、三角函数 利用公式法速解三角函数平移问题 70、数列 利用公式法速解等差数列an与Sn 71、数列 利用列举法速解数列最值型压轴题 72、数列 用特殊化法巧解单条件等差数列问题 73、数列 等差数列性质及其推论的妙用 74、数列 观察法速解一类数列求和选择题 75、数列 巧用不完全归纳法与猜想法求通项公式 76、数列 代入法速解数列选项含 n 型选择题 77、

8、数列 一些数列选择填空题的解题技巧 78、统计与概率 估算法速解几何概型选择题 79、直线与圆 利用相交弦定理巧解有关圆的问题 80、直线与圆 利用精准作图估算法速解直线与圆选择题 81、直线与圆 利用两圆方程作差的几何意义速解有问题 82、圆锥曲线 利用“阿波罗尼圆”速解一类距离比问题 83、圆锥曲线 用点差法速解有关中点弦问题 84、圆锥曲线 用垂径定理速解中点弦问题 85、圆锥曲线 用中心弦公式定理速解中心弦问题 86、圆锥曲线 焦点弦垂直平分线结论的妙用 87、圆锥曲线 利用二次曲线的极点与极线结论速求切线和中点弦方程 88、圆锥曲线 用公式速解过定点弦中点轨迹问题 89、圆锥曲线 巧

9、用通径公式速解离心率等问题 90、圆锥曲线 巧用三角形关系速求离心率 91、圆锥曲线 构造相似三角形速解离心率 92、圆锥曲线 用平面几何原理巧解圆锥曲线问题 93、圆锥曲线 利用焦点弦公式速解焦点弦比例问题 94、圆锥曲线 利用焦点弦公式速解焦半径与弦长问题 95、圆锥曲线 椭圆焦点三角形面积公式的妙用 96、圆锥曲线 双曲线焦点三角形面积公式的妙用 97、圆锥曲线 离心率与焦点三角形底角公式的妙用 98、圆锥曲线 用离心率与焦点三角形顶角公式速求离心率范围 99、圆锥曲线 用特值法巧解圆锥曲线选填题 100、圆锥曲线 用对称思想速解圆锥曲线问题 1 16 6、不不等等式式 利利用用几几何何

10、意意义义与与三三角角不不等等式式速速解解含含有有绝绝对对值值的的不不等等式式 (1)(1) 数形结合法（几何意义）数形结合法（几何意义） 利用绝对值的几何意义、数形结合,画出数轴,把绝对值问题化为数轴上两点间距离问题来求解数形结合 直观、形象,化繁为简,多数适用于| xa| xb| m或| xa| xb| m(mR) 型不等式.数形结合的方法又可以分为两种,结合数轴和结合函数图像,有的同一道题两种方法都可用,根据问 题的特点和学生的喜好选择最适当的方法. 例例 1 1（20142014 广东理广东理 9 9）不等式 x1 x2 5 的解集为 . 【秒解】【秒解】绝对值的几何意义是距离, x1

11、的几何意义为在数轴上x到 1 的距离, x2 的几何意义为在数轴上x到-2 的距离, x2 那么 x1 x2 5的几何意义为在数轴上x到 1 与x到-2 的距离和大于等于5 . 当x在-2 和 1 之间时,x到 1 与x到-2 之间的 距离为 3,即 x1 x2 3; x 12 当x在 1 的右边时,取x 2,x到 1 与x到-2 之间的距离为 5,即 x1 x2 5. 所以当x 2时,原不等式成立. 4 x 12 1 x 3 1 2 3 同理当x在-2 的左边,取x 3时,x到 1 与 x到-2 之间的距离为 5,即x1 x2 5, 所以当x 3时原不等式成立. 4 x3 2 1 综上可得

12、x x 3或x 2 1 原不等式成立. x x3221 例例 2 2 不等式| x2| x1| 7的解集为 . 【秒解】 | x2| x1|表示数轴上x到1 和 2 的距离之和,则| x2| x1| 7的解集为数轴上到1 和 2 的距离之和小于 7 的点的集合. 结合图像： 3 12 4 取x 3和x 4时,x到1 与x到 4 之间的距离为 7,则| x2| x1| 7的解集为(3,4). 例例 3 3 对任意实数x,若不等式| x1| x2| h恒成立,则h的取值范围为 . 【秒解】【秒解】由绝对值的几何意义,令实数x、 1、 2对应在实数上的点分别是P、M、N,结合图像： NP M x1

13、2 原不等式恒成立等价于求|PM|PN|h恒成立 h 小于| PM | PN |的最小值 又因为| MN | 3,点P在点M的左边时| PM | PN |的值最小,最小值为-3,如图： NP M x1 2 | x1| x2| 3,当h 3时原不等式成立. 例例 4 4（20112011 江西文江西文 1515）对于xR,不等式x10 x2 8的解集为_._. 【秒解】【秒解】用绝对值的几何意义,可以看成到两点-10 和 2 的距离差大于等于 8 的所有点的集合,画出数轴线,找 到 0 到-10 的距离为d110,到 2 的距离为d2 2,d 1 d 2 8,并当x往右移动,距离差会大于 8,所

14、以满足条 件的x的范围是x 0,原不等式的解集为0,). 10 10 0 2 2 4 练习练习 (2011 (2011 广东理广东理 9)9)不等式 x1 x3 0的解集是_. _. 【答案】【答案】1,) (2)(2) 三角不等式三角不等式 【结论】三角不等式（绝对值不等式）【结论】三角不等式（绝对值不等式） 对于a、bR,有|a|b|ab|a|b| 其等号成立当且仅当： 对于|a|b|ab|a|b|,第一个等号有ab 0且|a|b|,第二个等号有ab 0 对于|a|b|ab|a|b|,第一个等号有ab 0且|a|b|,第二个等号有ab 0. 例例 6 6 若不等式| x4|3 x| a的解集,则a的取值范围为_._. 【秒解】【秒解】如果按照一般的方法去绝对值讨论计算量庞大 ,且容易出错.观察不等式左面结构不难想到不等式的 性质|ab|a|b|,使不等式的求解过程更具简单化.| x4|3 x| a, | x4|3 x| x43 x|1 xx a有解 当a 时， 从而当 a 1时,解为空集. 所以a的取值范围为a 0 a 1 例例 7 7（20142014 全国全国 IIII 理理 2424）设函数f (x) x 1 xa (a 0),证明 f (x) 2. a 【秒解】【秒解】此函数可以看成是关于两个含有绝对值符号的函数相加的问