《工程数学》课程十二――复变函数五

1、主讲教师:冉扬强,工程数学 复变函数,辅导课程十二,第三章 复变函数的积分 5 柯西积分公式,第二篇 复变函数,5 柯西积分公式 定理(柯西积分公式)：设 c 为区域D 的边界， 在 上解析，则对于区域D内任一点 ，有 讨论： 1)柯西公式表明，对于某有界闭区域上解析的函数，它在区域内任一点的值用它在边界上的值表示出来. 或者说解析函数在边界上的值完全决定了它在区域内部各点的值.,2)对于复连通区域内的解析函数 ，只要将积分路径c 理解为该区域的全部边界(都取正方向)，则柯西积分公式仍然成立，例如：由 组成的复连通区域D ，( 的正方向如图3.9所示)， 则： 有 3)利用柯西积分公式可以计算

2、某些复 变函数沿闭曲线的积分. 例7：设c 为圆周 ，求,解：由于函数 在 内只有一个奇点 在 内解析，由柯西公式可 得,6 解析函数的高阶导数 定理：设区域D的边界为围线 c ， 在 上解析，则函数 的 n 阶导数存在，且 讨论：1)该定理说明，解析函数的任意阶导数都存在，换句话说，在某个区域上，复变函数只要处处都有一阶导数，也就有任意阶的导数.,2)可以将n 阶导数公式与柯西积分公式通称为柯西公式，其主要应用是通过求导来求积分. 例8 计算 ，其中c是由 确定的区域. 解： 所以 在 内有两个奇点 ， 分别以i, -i 为心作两个互,不相交的圆 ，使它们含 于c 内，则由柯西定理得 对于第

3、一个积分，由于 在 内解析，由柯西公式得,同理,7 解析函数与调和函数的关系 1、调和函数的定义 定义：如果实变函数 在某区域D上有二阶连续偏导数，并且满足方程 则称 为区域D上的调和函数，方程称为拉普拉斯方程.,2、解析函数的实部和虚部是调和函数 设 在区域D上解析，则C-R条件成立 ， . 我们知道，某个区域上的解析函数在该区域上必有任意阶的导数，因此可对上式求偏导数 ,两式相加可得 同理可得 即 , 都满足拉普拉斯方程，是调和函数。 注意：反过来定理不一定成立，如果 是调和函数， 不一定解析，因为解析函数必须满足C-R条件. 由C-R条件联系着的调和函数 u 与 v 称为,共轭调和函数，

4、这样上述定理可表述为： 定理：任何一个在区域D上的解析函数，其实部与虚部在该区域上互为共轭调和函数。 由上面的讨论可得，解析函数的实部与虚部互为共轭调和函数。如果已知一个调和函数，可以把它作为某解析函数的实部（或虚部），然后利用柯西黎曼条件求出它的共轭调和函数，该调和函数为解析函数的虚部(或实部)，由此得到一个解析函数。,第四章 级 数,主要内容 (1)、复数项级数的基本概念和性质 (2)、幂级数的收敛性，幂级数在收敛圆内的性质 (3)、解析函数的泰勒展式 (4)、双边幂级数，解析函数的罗朗展式,重点和难点 重点：幂级数的收敛性，收敛半径；解析函数的泰勒展式和罗朗展式 难点：解析函数的泰勒展开

5、和罗朗展开,第四章 级数 1 复数项级数 一、数项级数 1、定义：考虑各项均为复数的级数 它的每一项都可分为实部和虚部，设为 ，则级数的部分和为：,2、级数的收敛性 如果 为有限数 s，则称级数收敛，并称s为它的和，记为 不收敛的级数称为发散级数，显然 这样复数项级数的收敛问题就归结于两个实数,项级数的收敛问题，即级数 收敛于 的充要条件是两个实级数 及 分别收敛于 及 。 3、绝对收敛和条件收敛 如果由级数各项的模所构成的级数 收敛，则称 绝对收敛。 收敛而非绝对收敛的级数，称为条件收敛，显然，绝对收敛必收敛。,二、一致收敛的函数项级数 讨论各项均在区域D有定义的函数项级数 1、定义：如果对

6、于D上每一点Z，上述级数均收敛，就称级数在D上收敛，其和在D上构成一函数 ，称为级数的和函数，记为 2、性质：如果级数 在D上一致收敛于,(1)若 在D上连续，则 也在D上连续，即由连续 函数组成的一致收敛的函数项级数的和也连续。 (2)如果 在C上连续，则沿C可逐项积分，且 (3)如果 在D上解析， 则 在D上解析，并且,即 一致收敛于 3、一致且绝对收敛判别法 如果对于某区域D上所有各点z，复数项级数各项的模 ，而正的常数项级数 收敛，则复变函数项级数在D上绝对 且一致收敛。级数 称为 的强级数，即其强级数收敛的复变函数项级数一致且绝对收敛。,2 幂 级 数 一、幂级数的收敛性 1、幂级数

7、 各项均为幂函数的复变项级数 其中 ，都是复常数，这样的级数叫做以 z0 为中心的幂级数。 2、幂级数的收敛性，收敛半径 先看由上级数各项的模所组成的正项级数,应用正项级数的比值判别法可知，如果 则级数收敛，即原级数绝对收敛，可引入记号 即，如果 则原级数绝对收敛，,如果 ，则 即级数后面的项的模越来越大，不满足级数 收敛的心要条件 ，因而级数 发散，即当 时，级数(1)发散。以 为圆心作一半径为R的圆周 ，原幂级数在圆的内部（即 ）绝对收敛，在圆外发散，这个圆叫幂级数的收敛圆，它的半径R叫做收敛半径，在收敛圆周上各点，幂级数可能收敛，也可能发散，应具体分析。,用根值判别法可得到收敛半径的另一公式 例1. 求级数 的收敛半径。 解： 故级数在任何z点收敛。,例2.求级数 的收敛半径。 解： 故它们的收敛半径都为1。在收敛圆周上，即,， 由于通项不趋于