专题十内积空间与希尔伯特空间(讲稿)

1、专题十 内积空间与希尔伯特空间,元素的长度（范数）,内积空间与希尔伯特空间,内积空间+完备性希尔伯特空间,欧氏空间线性空间+内积内积空间,两向量夹角与正交,内积空间特点：,内积与内积空间,一、内积空间与希尔伯特空间的概念,内积公理,定义1 设H是数域K上的线性空间，定义函数 :HHK, 使对 对x,y,zH, K, 满足,=+=,4) 0, 且=0x=0,则称 为数域K中x与y的内积, 而称定义了内积的空间 H为内积空间。,注：1) 当数域K为实数域时，称H为实的内积空间； 当数域K为复数域C时，则称H为复的内积空间。,2) =+,2 由内积诱导的范数及由内积诱导的距离,定义2 (1)范数,称

2、为由内积诱导的范数。,(2)距离函数,称为由内积诱导的距离。,注: (1) 内积与由内积诱导的范数的三角不等式关系许瓦兹不等式 |x| |y|,(2) 内积与由内积诱导的范数的等式关系：,(3)由内积诱导的范数满足范数公理 内积空间按照由内积导出的范数，是线性赋范 空间。但反之不然,3 线性赋范空间成为内积空间（范数是由内积导出的范数）的充分必要条件,定理1 线性赋范空间X是内积空间x,yX, 有 |x+y|2 + |x-y|2=2|x|2 + 2|y|,(平行四边形公式或中线公式),定义3 设H是内积空间，若H按照由内积诱导的范数成为Banach空间，则称H是希尔伯特空间。,4 希尔伯特空间

3、,例1 n维欧氏空间Rn按照内积,是内积空间。,Rn中由内积导出的距离为,Rn按照由内积导出的范数,因而是Hilbert空间。,是Banach空间，,例2 l2空间按照内积,是内积空间。,l2按照由内积导出的范数,是Banach空间，因而是Hilbert空间。,l2中由内积导出的距离为,(许瓦兹不等式),例3 L2a,b空间按照内积,是内积空间。,L2a,b按照由内积导出的范数,是Banach空间，因而是Hilbert空间。,L2a,b中由内积导出的距离为,Ca,b中范数不满足平行四边形公式，,例4 Ca,b按照范数,是线性赋范空间，,但Ca,b不是内积空间,证 取x=1, y=(t-a)/(

4、b-a)Ca,b,|x|=1, |y|=1,|x+y|=max|1+(t-a)/(b-a)|=2, |x-y|=max|1-(t-a)/(b-a)|=1,|x+y|2+|x-y|2=54=2(|x|2+|y|2),因而不是由内积导出的范数,Ca,b不是内积空间,5 内积空间中的极限,证 xnx|xn-x|0,yny|yn-y|0,| -| - |+|-|,|xn-x| |yn| + |x| |yn-y|0, (n),定义4 （极限）设X是内积空间，xnX, xX及yX,定理2 设H是希尔伯特空间，则H中的内积是x,y的连续函数, 即xn、ynH, x, yH, 若xnx, yny, 则,注：距

5、离函数、范数、内积都是连续函数,（线性运算对内积的连续性）,6 内积空间的完备化,定义5 (内积空间的同构) 设X,Y是同一数域K上的内积空间，若存在映射T: XY, 保持线性运算和内积不变，即x,yX, , K, 有 (1) T(x+y)=Tx+Ty, (2) = 则称内积空间X与Y同构，而称T为内积空间X到Y的同构映射。,定理3 设X是内积空间，则必存在一个Hilbert空间H，使X与H的稠密子空间同构，而且在同构意义下，满足上述条件的Hilbert空 间是唯一的。,二、内积空间中的正交分解与投影定理,在解析几何中，有向量正交和向量投影的概念，而且两个向量正交的充分必要条件是它们的内积等于

6、0，而向量x在空间中坐标平面上的正交投影向量x0是将向量的起点移到坐标原点，过向量的终点做平面的垂线所得的垂足与原点之间的有向线段而得到的。且有x=x0+x1, 其中x1该坐标平面。这时称x=x0+x1为x关于做表面的正交分解。,下面将把正交分解和正交投影的概念与推广到一般 的内积空间中。 其中的投影定理是一个理论和应用上都极其重要的定理，利用投影定理可以将内积空间分解成两个字空间的正交和。这是内积看所特有的性质，这个定理在一般的巴拿赫空间中并不成立（因为巴拿赫空间中没有正交性的概念）。在实际应用中，投影定理还常被用来判定最佳逼近的存在性和唯一性。,1 正交的概念,定义5 (正交) 设H是内积

7、空间， x,yH, M,NH. (1) xy=0; (2) xMyM, 都有=0; (3) MNx，yN,都有=0.,定理4 (勾股定理) 设H是内积空间， 若x,yH, 且xy，则 |x+y|2=|x|2+|y|2,注 1）在一般的内积空间中，若xy，则有勾股定理 |x+y|2=|x|2+|y|2成立，但反之不然。 事实上， |x+y|2=|x|2+|y|2+2Re(x,y),2）在实内积空间中，xy|x+y|2=|x|2+|y|2，即勾股定理成立,定义6 (正交补) 设H是内积空间, MH, 称集合M=x|xy, yM为M在H中的正交补。,注：正交补的性质：,是U的闭线性子空间，即U的,完

8、备子空间，,事实上， x,yL及zL, 有=0,=0 =+=0 LL为H线性子空间 xnL, xnx, zL =lim=0xL L为H的闭子空间,定义10 (正交分解与正交投影) 设U是内积空间，MU是线性子空间，xU, 如果存在x0M, x1M, 使得 x=x0+x1 （1） 则称x0为x在M上的正交投影，而成（1）式为x关于M的 正交分解。,2 正交分解与正交投影,定理14 (投影定理) 设M是希尔伯特空间H的闭线性子空 间，则对xH在M中存在唯一的正交投影x0, 使 x=x0+x1 (其中x1M).,ynM, 使得|yn-x|d (n) (下确界定义),M是H的线性子空间ym,ynM,

9、有,0 |ym-yn|2 = |(ym-x)+(x-yn)|2 = |(ym-x)+(x-yn)|2+|(ym-x)-(x-yn)|2-|(ym-x)-(x-yn)|2 = 2|ym-x|2+2|x-yn|2-|(ym+ yn)-2x|2 (平行四边形公式) 2|ym-x|2+2|x-yn|2-4d20 (m,n),2) 证明 xn在M中收敛,1) 证明 yn是基本列,xn是基本列,3) 证明x0 是x在M中的正交投影,记x1=x-x0, zM, z, Cx0+zM,|x-x0|2|x-(x0+z)|2=|x-x0|2-|2|z|2,特取,|20|=0,4) 证明x0 是唯一的，从而上述正交分

10、解式也是唯一的,x1=x-x0M x=x0+x1,=0x-x0z,设x0, x0使x在M上的两个正交投影，则|x0-x0|=0 ,x1=x0=x0,注：1)由定理的证明过程易知, 只要M是H的完备子空间, 而H本身不完备, 定理结论也成立。从而上述正交分解式也唯一.,2)设en是内积空间H的标准正交系, xH, ck=, 则,即对任何数组1, 2,n,有,是x在内积空间H上的正交投影,2 正交投影的应用最佳逼近问题,(1) 最佳逼近问题的一般提法： 设H是Hilbert空间，x, x1, x2, , xnH, 要求寻找出n个数1,2,n, 使得,即要求出,使得|x-x0|最小。,(2) 最佳逼

11、近问题的几何解释：记M=spanx1, x2, , xnH, 则,表示x到M上某点的距离,表示x到M的最短距离,表示x在M上的正交投影,最佳逼近问题实际上就是求正交投影的问题,(2) 最佳逼近问题的求解步骤：,设xnM线性无关，记M=spanx1, x2, , xnH,唯一的x0:,使得|x-x0|=inf|x-y|, 且对yM, 有=0,=0 (xkM, k=1,2,n),= (xkM, k=1,2,n),M是H的闭线性子空间,三、内积空间中的正交系与傅立叶级数,1 正交系的概念,在解析几何中，向量i, j, k起着坐标架的作用，他们两两正交，R3中一切向量x都能由他们线性表示： x=x1i

12、+x2j+x3k。这是解析几何的基础。 R3中的向量正交概念一般内积空间中的向量正交概念,定义7 (正交集与标准正交系) 设H是内积空间, MH, （1）如果对x,yM, xy, 都有=0，则称 M是H中的正交系。,（2） enH, 若,则称en是H中的标准正交系。,2 正交的性质,例如 （1） i, j, k 是R3中的标准正交系。,是L2-, 中的标准正交系。,（3）e1=(1,0,0,0,0,), e2=(0,1,0,0,0,), ,en=(0,0,0,1,0,),定理4 (勾股定理的推广) 设H是内积空间，若x1,x2,.,xnH是正交系，则有,|x1+x2+xn|2=|x1|2+ |

13、x2|2+|xn|2,（2）,是l2 中的标准正交系。,定理7 设H是内积空间，若M=e1,e2,.,en, H是标准正交系，则e1,e2,en,是线性独立系，即e1,e2,.,en, 中的任何有限组是线性无关的。,证 n, 令1e1+nen=0 =0 j=j=0 e1,en线性无关e1,en,是线性独立系。,定理8 (Gram-Schmidt正交化定理) 设H是内积空间, x1,x2,.,xn,H是H中任一个线性独立系，则可将其进行标准正交化，得到一个标准正交系。,定理8 设H是内积空间，e1,e2,.,en,H是标准正交系，记 Mn=spane1,en.,(1) 若x=1e1+2e2+ne

14、n, 则i=;,(2) 若xX, xn=e1+en Mn, 则,x-xnMn,|xn|2=|2+|2,(3) xX, xn=e1+en Mn即为x在Mn上 的正交投影。,（最佳逼近定理）,证 (1) =i=i,(2) 显然xn=e1+en Mn,= = (i=1,2,n),x-xnMn x-xn,e1,en两两正交, 且x-xnxn., =0 (i=1,2,n).,|xn|2=|e1+en|2 =|e1|2 +|en|2=|2+|2,|x|2=|(x-xn)+xn|2=|x-xn|2+|xn|2 |x-xn|2= |x|2- |xn|2,定理9 (贝塞尔(bessel)不等式) 设H是内积空间

15、, e1,e2,.,en,H 是标准正交系，则xH, 有,证 由定理8有， xn=e1+en , xH, |x|2=|x-xn|2+|xn|2 |xn|2 =|x|2-|x-xn|2|x|2 |2+|2|x|2 |2+|2+|x|2 (n),3 内积空间中的傅立叶级数,定义8 (Fourier级数) 设H是内积空间，en (n=1,2,)是H中的标准正交系，xH, 则称cn= (n=1,2,)为x关于en的 Fourier系数，而称,为x关于en的Fourier级数。记作,注：1) xH, x的Fourier系数cn=(n=1,2,)满足 Bessel不等式,2) 微积分学中的Fourier级

16、数是L2a,b上元素x关于标准正交系,的Fourier级数。,3) xH, x的Fourier系数cn=(n=1,2,)是平方可和的， 即cnl2.,问题：由定理8可知，对xH, 及任何n, xn=e1+en 到x的距离最小，那么当n时，xn是否收敛于x呢？,即x的Fourier级数e1+en+是否收敛于x？或者说x能否展开成傅立叶级数？,4 内积空间中的傅立叶级数的收敛性,定理11 (Fourier级数收敛的充要条件) 设en是内积空间H的标准正交系, xH, 则x关于en的Fourier级数收敛于x的充要条件是成立巴塞弗(Parseval)等式：,证 由定理8知， 若xX, 取xn=e1+

17、en, 则 x-xnxn, 且,问题： 对于n维欧氏空间而言，如果基向量的个数小于n, 则空间中的一些向量就无法用这些基向量线性表示。这时可以认为基向量没有选“完全”。此时不能保证Parseval等式成立，而只有Bessel不等式成立。只有基向量的个数等于n时，才能认为基向量是“完全”的。,对于一般的无限维内积空间，也只有当基选完全时，才能保证Parseval等式成立，从而使得空间中的任何元素都能由这组完全的基线性表示，其傅立叶级数才能收敛于自身，或者说，H中的任何元素都可以展开成傅立叶级数。那么，如何确认其基向量是完全的呢？为此引入下面的定义：,定义9 (完全的标准正交系) 设H是内积空间，

18、en (n=1,2,)是H中的标准正交系，如果在H中不再存在于所有en(n=1,2,) 都正交的非零元素，即如果xH, xen(n=1,2,), 必有x=, 则称en是H中的完全标准正交系。,是L2-, 中的完全标准正交系。,（2）勒让德(Legendre)多项式表示的正交系,例如，（1）三角函数系,是L2-1,1 中的完全标准正交系。,(4) xH, parseval等式成立。,定理12 (正交系完全的充要条件) 设en是希尔伯特空间H的标准正交系, 则下列四个命题是等价的： (1) en是H中的完全标准正交系；,(3)xH, x关于en的Fourier级数收敛于x, 即x可以展开成关于en的Fourier级数:,五、可分希尔伯特空间,根据前面的讨论，L2-,上的确存在至多可列的完全标准正交系。事实上，这个结论与可分的希尔伯特空间也是成立的。,定理15 (H可分的充要条件完全标准正交系的存在性) H是可分的希尔伯特空间H有至多可列的完全标准 正交系en.,定理16 (可分希尔伯特空间的同构