2020考研大纲考研数学之与2019变化对比(高数部分)

1、20192019、20202020 年考研数学一考试大纲（高数部分）考试内容和考试要年考研数学一考试大纲（高数部分）考试内容和考试要 求变化对比求变化对比 章节2019 年考试数学大纲考试内2020 年考试数学大纲考试内容变化 容和考试要求 考试内容 和考试要求 考试内容对比 ：无变化一、 函 数、 极函数的概念及表示法函数的函数的概念及表示法函数的有界 限、 连有界性、单调性、周期性和奇性、单调性、周期性和奇偶性复 续偶性复合函数、反函数、分段合函数、反函数、分段函数和隐 函数和隐函数基本初等函数函数基本初等函数的性质及其图 的性质及其图形初等函数函形初等函数函数关系的建立 数关系的建立 数

2、列极限与函数极限的定义及其 数列极限与函数极限的定义性质函数的左极限和右极限无穷 及其性质函数的左极限和右小量和无穷大量的概念及其关系 极限无穷小量和无穷大量的无穷小量的性质及无穷小量的比 概念及其关系无穷小量的性较极限的四则运算极限存在的两 质及无穷小量的比较极限的个准则：单调有界准则和夹逼准 四则运算极限存在的两个准则两个重要极限： 则： 单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：函数连续的概念函数间断点的类 型初等函数的连续性闭区间上连 函数连续的概念函数间断点续函数的性质 的类型初等函数的连续性闭 区间上连续函数的性质 考试要求 考试要求 1.理解函数的概念，掌握函数的 表示法，会建立应用

3、问题的函数 1.理解函数的概念， 掌握函数关系 的表示法， 会建立应用问题的 函数关系2.了解函数的有界性、单调性、 周期性和奇偶性 2.了解函数的有界性、单调 性、周期性和奇偶性3.理解复合函数及分段函数的概 念，了解反函数及隐函数的概念 3.理解复合函数及分段函数 的概念， 了解反函数及隐函数4.掌握基本初等函数的性质及其 的概念图形，了解初等函数的概念 4.掌握基本初等函数的性质5.理解极限的概念，理解函数左 及其图形， 了解初等函数的概极限与右极限的概念以及函数极 念限存在与左极限、右极限之间的 关系 5.理解极限的概念， 理解函数 左极限与右极限的概念以及6.掌握极限的性质及四则运算

4、法 函数极限存在与左极限、 右极则 限之间的关系 7.掌握极限存在的两个准则，并 6.掌握极限的性质及四则运会利用它们求极限，掌握利用两 算法则个重要极限求极限的方法 7.掌握极限存在的两个准则， 8.理解无穷小量、无穷大量的概 并会利用它们求极限， 掌握利念，掌握无穷小量的比较方法， 用两个重要极限求极限的方会用等价无穷小量求极限 法 9.理解函数连续性的概念（含左 8.理解无穷小量、 无穷大量的连续与右连续） ， 会判别函数间断 概念， 掌握无穷小量的比较方点的类型 法， 会用等价无穷小量求极限 10.了解连续函数的性质和初等 9.理解函数连续性的概念 （含函数的连续性，理解闭区间上连 左

5、连续与右连续） ，会判别函续函数的性质（有界性、最大值 数间断点的类型 10.了解连续函数的性质和初 等函数的连续性， 理解闭区间 上连续函数的性质（有界性、 最大值和最小值定理、 介值定 理） ，并会应用这些性质 二、 一考试内容 元 函 考试内容对比 ：无变化 和最小值定理、介值定理） ，并会 应用这些性质 数 微导数和微分的概念导数的几导数和微分的概念导数的几何意 分学何意义和物理意义函数的可义和物理意义函数的可导性与连 导性与连续性之间的关系平续性之间的关系平面曲线的切线 面曲线的切线和法线导数和和法线导数和微分的四则运算基 微分的四则运算基本初等函本初等函数的导数复合函数、反 数的导

6、数复合函数、反函数、 函数、隐函数以及参数方程所确 隐函数以及参数方程所确定定的函数的微分法高阶导数一阶 的函数的微分法高阶导数一微分形式的不变性微分中值定理 阶微分形式的不变性微分中洛必达（LHospital）法则函数 值定理洛必达（LHospital） 单调性的判别函数的极值函数图 法则函数单调性的判别函数形的凹凸性、拐点及渐近线函数 的极值函数图形的凹凸性、 拐图形的描绘函数的最大值与最小 点及渐近线函数图形的描绘值弧微分曲率的概念曲率圆与曲 函数的最大值与最小值弧微率半径 分曲率的概念曲率圆与曲率 半径 考试要求 考试要求 1.理解导数和微分的概念，理解 导数与微分的关系，理解导数的

7、1.理解导数和微分的概念， 理几何意义，会求平面曲线的切线 解导数与微分的关系， 理解导方程和法线方程，了解导数的物 数的几何意义， 会求平面曲线理意义，会用导数描述一些物理 的切线方程和法线方程， 了解量，理解函数的可导性与连续性 导数的物理意义， 会用导数描之间的关系 述一些物理量， 理解函数的可 导性与连续性之间的关系2.掌握导数的四则运算法则和复 合函数的求导法则，掌握基本初 2.掌握导数的四则运算法则等函数的导数公式。了解微分的 和复合函数的求导法则， 掌握四则运算法则和一阶微分形式的 基本初等函数的导数公式。 了不变性，会求函数的微分 解微分的四则运算法则和一 阶微分形式的不变性，

8、 会求函3.了解高阶导数的概念，会求简 数的微分单函数的高阶导数. 3.了解高阶导数的概念， 会求4.会求分段函数的导数，会求隐 简单函数的高阶导数.函数和由参数方程所确定的函数 以及反函数的导数. 4.会求分段函数的导数， 会求 隐函数和由参数方程所确定5.理解并会用罗尔 （Rolle） 定理、 的函数以及反函数的导数.拉格朗日（Lagrange）中值定理 和泰勒（Taylor）定理，了解并 5.理解并会用罗尔（Rolle）会用柯西（Cauchy）中值定理. 定理、拉格朗日（Lagrange） 中值定理和泰勒（Taylor）定6.掌握用洛必达法则求未定式极 理， 了解并会用柯西 （Cauch

9、y） 限的方法. 中值定理. 7.理解函数的极值概念，掌握用 6.掌握用洛必达法则求未定导数判断函数的单调性和求函数 式极限的方法.极值的方法，掌握函数最大值和 最小值的求法及其应用. 7.理解函数的极值概念， 掌握 用导数判断函数的单调性和8.会用导数判断函数图形的凹凸 求函数极值的方法， 掌握函数性（注：在区间内，设函数具有 最大值和最小值的求法及其二阶导数.当时，的图形是凹的； 应用.当时， 的图形是凸的） ，会求函数 图形的拐点以及水平、铅直和斜 8.会用导数判断函数图形的渐近线，会描绘函数的图形. 凹凸性（注：在区间内，设函 数具有二阶导数.当时，的图9.了解曲率、曲率圆与曲率半径

10、形是凹的；当时，的图形是凸的概念，会计算曲率和曲率半径 的） ，会求函数图形的拐点以 及水平、铅直和斜渐近线，会 描绘函数的图形. 9.了解曲率、 曲率圆与曲率半 径的概念， 会计算曲率和曲率 半径 三、 一考试内容考试内容对比 元 积原函数和不定积分的概念 不原函数和不定积分的概念不定：无变化 分学定积分的基本性质 基本积分积分的基本性质基本积分公式 公式 定积分的概念和基本性定积分的概念和基本性质定积 质 定积分中值定理积分上分中值定理 积分上限的函数及 限的函数及其导数牛顿-莱其 导 数牛 顿 - 莱 布 尼 茨 布尼茨（Newton-Leibniz）公（Newton-Leibniz）

11、公式 不定积 式 不定积分和定积分的换元分和定积分的换元积分法与分部 积分法与分部积分法 有理函积分法 有理函数、 三角函数的有 数、 三角函数的有理式和简单理式和简单无理函数的积分反 无理函数的积分 反常 （广义） 常（广义）积分 定积分的应用 积分 定积分的应用 考试要求 考试要求 1.理解原函数的概念，理解不定 1.理解原函数的概念， 理解不积分和定积分的概念. 定积分和定积分的概念. 2.掌握不定积分的基本公式，掌 2.掌握不定积分的基本公式， 握不定积分和定积分的性质及定 掌握不定积分和定积分的性积分中值定理，掌握换元积分法 质及定积分中值定理， 掌握换与分部积分法. 元积分法与分部

12、积分法. 3.会求有理函数、三角函数有理 3.会求有理函数、 三角函数有式和简单无理函数的积分. 理式和简单无理函数的积分. 4.理解积分上限的函数，会求它 4.理解积分上限的函数， 会求的导数，掌握牛顿 -莱布尼茨公 它的导数，掌握牛顿-莱布尼式. 茨公式. 5.了解反常积分的概念，会计算 5.了解反常积分的概念， 会计反常积分. 算反常积分. 6.掌握用定积分表达和计算一些 6.掌握用定积分表达和计算几何量与物理量（平面图形的面 一些几何量与物理量 （平面图积、平面曲线的弧长、旋转体的 形的面积、平面曲线的弧长、 体积及侧面积、平行截面面积为 旋转体的体积及侧面积、 平行已知的立体体积、功

13、、引力、压 截面面积为已知的立体体积、 力、质心、形心等）及函数的平 功、引力、压力、质心、形心 均值. 等）及函数的平均值. 四、 向考试内容 量 代 考试内容对比 ：无变化 数 和向量的概念向量的线性运算向量的概念向量的线性运算向量 空 间向量的数量积和向量积向量的数量积和向量积向量的混合积 解 析的混合积两向量垂直、 平行的两向量垂直、平行的条件两向量 几何条件两向量的夹角向量的坐的夹角向量的坐标表达式及其运 标表达式及其运算单位向量算单位向量方向数与方向余弦曲 方向数与方向余弦曲面方程面方程和空间曲线方程的概念平 和空间曲线方程的概念平面面方程直线方程平面与平面、平 方程直线方程平面与

14、平面、 平面与直线、直线与直线的夹角以 面与直线、 直线与直线的夹角及平行、垂直的条件点到平面和 以及平行、 垂直的条件点到平点到直线的距离球面柱面旋转曲 面和点到直线的距离球面柱面常用的二次曲面方程及其图形 面旋转曲面常用的二次曲面空间曲线的参数方程和一般方程 方程及其图形空间曲线的参空间曲线在坐标面上的投影曲线 数方程和一般方程空间曲线方程 在坐标面上的投影曲线方程 考试要求 考试要求 1.理解空间直角坐标系，理解向 1.理解空间直角坐标系， 理解量的概念及其表示 向量的概念及其表示 2.掌握向量的运算（线性运算、 2.掌握向量的运算（线性运数量积、向量积、混合积） ，了解 算、 数量积、

15、 向量积、 混合积） ， 两个向量垂直、平行的条件 了解两个向量垂直、 平行的条 件3.理解单位向量、方向数与方向 余弦、向量的坐标表达式，掌握 3.理解单位向量、 方向数与方用坐标表达式进行向量运算的方 向余弦、向量的坐标表达式， 法 掌握用坐标表达式进行向量 运算的方法4.掌握平面方程和直线方程及其 求法 4.掌握平面方程和直线方程 及其求法5.会求平面与平面、 平面与直线、 直线与直线之间的夹角，并会利 5.会求平面与平面、 平面与直用平面、 直线的相互关系（平行、 线、直线与直线之间的夹角， 垂直、相交等） ）解决有关问题 并会利用平面、 直线的相互关 系（平行、垂直、相交等） ）6.

16、会求点到直线以及点到平面的 解决有关问题距离 6.会求点到直线以及点到平7.了解曲面方程和空间曲线方程 面的距离的概念 7.了解曲面方程和空间曲线8.了解常用二次曲面的方程及其 方程的概念图形，会求简单的柱面和旋转曲 面的方程 8.了解常用二次曲面的方程 及其图形， 会求简单的柱面和9.了解空间曲线的参数方程和一 旋转曲面的方程般方程。了解空间曲线在坐标平 面上的投影，并会求该投影曲线 9.了解空间曲线的参数方程的方程 和一般方程。 了解空间曲线在 坐标平面上的投影， 并会求该 投影曲线的方程 五、 多考试内容 元 函 考试内容对比 ：无变化 数 微多元函数的概念二元函数的多元函数的概念二元函

17、数的几何 分学几何意义二元函数的极限与意义二元函数的极限与连续的概 连续的概念有界闭区域上多念有界闭区域上多元连续函数的 元连续函数的性质多元函数性质多元函数的偏导数和全微分 的偏导数和全微分全微分存全微分存在的必要条件和充分条 在的必要条件和充分条件件 多元复合函数、 隐函数的求导多元复合函数、隐函数的求导法 法二阶偏导数方向导数和梯二阶偏导数方向导数和梯度空间 度空间曲线的切线和法平面曲线的切线和法平面曲面的切平 曲面的切平面和法线二元函面和法线二元函数的二阶泰勒公 数的二阶泰勒公式多元函数式多元函数的极值和条件极值多 的极值和条件极值多元函数元函数的最大值、最小值及其简 的最大值、 最小

18、值及其简单应单应用 用 考试要求 考试要求 1.理解多元函数的概念，理解二 1.理解多元函数的概念， 理解元函数的几何意义 二元函数的几何意义 2.了解二元函数的极限与连续的 2.了解二元函数的极限与连概念以及有界闭区域上连续函数 续的概念以及有界闭区域上的性质 连续函数的性质 3.理解多元函数偏导数和全微分 3.理解多元函数偏导数和全的概念，会求全微分，了解全微 微分的概念，会求全微分，了分存在的必要条件和充分条件， 解全微分存在的必要条件和了解全微分形式的不变性 充分条件， 了解全微分形式的 不变性4.理解方向导数与梯度的概念， 并掌握其计算方法 4.理解方向导数与梯度的概 念，并掌握其计

19、算方法5.掌握多元复合函数一阶、二阶 偏导数的求法 5.掌握多元复合函数一阶、 二 阶偏导数的求法6.了解隐函数存在定理，会求多 元隐函数的偏导数 6.了解隐函数存在定理， 会求 多元隐函数的偏导数7.了解空间曲线的切线和法平面 及曲面的切平面和法线的概念， 7.了解空间曲线的切线和法会求它们的方程 平面及曲面的切平面和法线 的概念，会求它们的方程8.了解二元函数的二阶泰勒公式 8.了解二元函数的二阶泰勒9.理解多元函数极值和条件极值 公式的概念，掌握多元函数极值存在 的必要条件，了解二元函数极值 9.理解多元函数极值和条件存在的充分条件，会求二元函数 极值的概念， 掌握多元函数极的极值，会用

20、拉格朗日乘数法求 值存在的必要条件， 了解二元条件极值，会求简单多元函数的 函数极值存在的充分条件， 会最大值和最小值，并会解决一些 求二元函数的极值， 会用拉格简单的应用问题 朗日乘数法求条件极值， 会求 简单多元函数的最大值和最 小值， 并会解决一些简单的应 用问题 六、 多考试内容 元 函 考试内容对比 ：无变化 数 积二重积分与三重积分的概念、 二重积分与三重积分的概念、性 分学性质、 计算和应用两类曲线积质、计算和应用两类曲线积分的 分的概念、 性质及计算两类曲概念、性质及计算两类曲线积分 线积分的关系格林（Green）的关系格林（Green） 公式平面曲 公式平面曲线积分与路径无线

21、积分与路径无关的条件二元函 关的条件二元函数全微分的数全微分的原函数两类曲面积分 原函数两类曲面积分的概念、 的概念、性质及计算两类曲面积 性质及计算两类曲面积分的分的关系高斯（Gauss） 公式斯托 关系高斯（Gauss）公式斯托克斯（Stokes）公式散度、旋度 克斯（Stokes）公式散度、旋 的概念及计算曲线积分和曲面积 度的概念及计算曲线积分和分的应用 曲面积分的应用 考试要求 考试要求 1.理解二重积分、三重积分的概 1.理解二重积分、 三重积分的念， 了解重积分的性质， ，了解二 概念，了解重积分的性质， ，重积分的中值定理 了解二重积分的中值定理 2.掌握二重积分的计算方法（直

22、 2.掌握二重积分的计算方法角坐标、 极坐标） ，会计算三重积 （直角坐标、极坐标） ，会计分（直角坐标、柱面坐标、球面 算三重积分（直角坐标、柱面坐标） 坐标、球面坐标） 3.理解两类曲线积分的概念，了 3.理解两类曲线积分的概念， 解两类曲线积分的性质及两类曲 了解两类曲线积分的性质及线积分的关系 两类曲线积分的关系 4.掌握计算两类曲线积分的方法 4.掌握计算两类曲线积分的 方法5.掌握格林公式并会运用平面曲 线积分与路径无关的条件，会求 5.掌握格林公式并会运用平二元函数全微分的原函数 面曲线积分与路径无关的条 件， 会求二元函数全微分的原6.了解两类曲面积分的概念、性 函数质及两类曲

23、面积分的关系，掌握 计算两类曲面积分的方法，掌握 6.了解两类曲面积分的概念、 用高斯公式计算曲面积分的方 性质及两类曲面积分的关系， 法，并会用斯托克斯公式计算曲 掌握计算两类曲面积分的方线积分 法， 掌握用高斯公式计算曲面 积分的方法， 并会用斯托克斯7.了解散度与旋度的概念，并会 公式计算曲线积分计算 7.了解散度与旋度的概念， 并8.会用重积分、曲线积分及曲面 会计算积分求一些几何量与物理量（平 面图形的面积、体积、曲面面积、 8.会用重积分、 曲线积分及曲弧长、质量、质心、形心、转动 面积分求一些几何量与物理惯量、引力、功及流量等） 量（平面图形的面积、体积、 曲面面积、 弧长、 质

24、量、 质心、 形心、转动惯量、引力、功及 流量等） 七、 无考试内容考试内容对比 穷 级 数 :无变化 常数项级数的收敛与发散的常数项级数的收敛与发散的概念 概念收敛级数的和的概念级收敛级数的和的概念级数的基本 数的基本性质与收敛的必要性质与收敛的必要条件几何级数 条件几何级数与级数及其收与级数及其收敛性正项级数收敛 敛性正项级数收敛性的判别性的判别法交错级数与莱布尼茨 法交错级数与莱布尼茨定理定理任意项级数的绝对收敛与条 任意项级数的绝对收敛与条件收敛函数项级数的收敛域与和 件收敛函数项级数的收敛域函数的概念幂级数及其收敛半 与和函数的概念幂级数及其径、收敛区间（指开区间）和收 收敛半径、收

25、敛区间（指开区敛域幂级数的和函数幂级数在其 间） 和收敛域幂级数的和函数收敛区间内的基本性质简单幂级 幂级数在其收敛区间内的基数的和函数的求法初等函数的幂 本性质简单幂级数的和函数级 数 展 开 式 函 数 的 傅 里 叶 的求法初等函数的幂级数展（Fourier） 系数与傅里叶级数狄 开式函数的傅里叶 （Fourier） 利克雷 （Dirichlet） 定理函数在 系数与傅里叶级数狄利克雷上的傅里叶级数函数在上的正弦 （Dirichlet）定理函数在上级数和余弦级数 的傅里叶级数函数在上的正 弦级数和余弦级数 考试要求 考试要求 1.理解常数项级数收敛、发散以 及收敛级数的和的概念，掌握级

26、1.理解常数项级数收敛、 发散数的基本性质及收敛的必要条件 以及收敛级数的和的概念， 掌 握级数的基本性质及收敛的2.掌握几何级数与级数的收敛与 必要条件发散的条件 2.掌握几何级数与级数的收3.掌握正项级数收敛性的比较判 敛与发散的条件别法和比值判别法，会用根值判 别法 3.掌握正项级数收敛性的比 较判别法和比值判别法， 会用4.掌握交错级数的莱布尼茨判别 根值判别法法 4.掌握交错级数的莱布尼茨5.了解任意项级数绝对收敛与条 判别法件收敛的概念以及绝对收敛与收 敛的关系 5.了解任意项级数绝对收敛 与条件收敛的概念以及绝对6.了解函数项级数的收敛域及和 收敛与收敛的关系函数的概念 6.了解

27、函数项级数的收敛域7.理解幂级数收敛半径的概念， 及和函数的概念并掌握幂级数的收敛半径、收敛 区间及收敛域的求法 7.理解幂级数收敛半径的概 念，并掌握幂级数的收敛半8.了解幂级数在其收敛区间内的 径、 收敛区间及收敛域的求法基本性质（和函数的连续性、逐 项求导和逐项积分） ， 会求一些幂 8.了解幂级数在其收敛区间级数在收敛区间内的和函数，并 内的基本性质 （和函数的连续会由此求出某些数项级数的和 性、逐项求导和逐项积分） ， 会求一些幂级数在收敛区间9.了解函数展开为泰勒级数的充 内的和函数， 并会由此求出某分必要条件 些数项级数的和 10. 掌 握 ， ， ， 及 的 麦 克 劳 林 9.了解函数展开为泰勒级数（Maclaurin） 展开式， 会用它们 的充分必要条件将一些简单函数间接展开为幂级 数 10.掌握， ，及的麦克劳林 （Maclaurin）展开式，会用11.了解傅里叶级数的概念和狄 它们将一些简单函数间接展利克雷收敛定理，会将定义在上 开为幂级数的函数展开为傅里叶级数，会将 定义在上的函数展开为正弦级数 11.了解傅里叶级数的概念和与余弦级数，会写出傅里叶级数 狄利克雷收敛定理， 会将定义的和函数的表达式 在上的函数展开为傅里叶级 数， 会将定义在上的函数展开 为正弦级数与余弦级数， 会写 出傅里叶级数的