第4章 根轨迹法

1、第四章 根轨迹法,4-1 根轨迹法的基本概念 4-2 常规根轨迹的绘制法则 4-3 广义根轨迹 4-4 用根轨迹分析系统的性能,4-1 根轨迹法的基本概念,一、根轨迹的概念 根轨迹：系统中某个参数从零到无穷变化 时，系统闭环特征根在s平面上移动的轨迹。 根指的是闭环特征根(闭环极点)。 根轨迹法是根据开环传递函数与闭环传递函数的关系，通过开环传递函数直接分析闭环特征根及系统性能的图解法。,例 已知系统开环传递函数，讨论0K变化时闭环极点的分布情况,特征方程为：,特征根为：,由 可得闭环极点的变化情况：,K=0 s1=0 s2=-4 0 K 1 s1 s2为不等的负实根 K=1 s1=-2 s2

2、=-2 K=2 s1=-2+2j s2=-2-2j 1 K s1 s2 实部均为-2 K= s1=-2+j s2=-2-j ,K=0 s1=0 s2=-4 0 K 1 s1 s2为不等的负实根 K=1 s1=-2 s2=-2 1 K s1 s2 实部均为-2,由根轨迹可知： 1）当K=0时,s1=0,s2=-1,这两点恰是开环传递函数的极点,同时也是闭环特征方程的极点. 2）当0K 1 时,s1,2都是负实根,随着k的增长,s1从s平面的原点向左移,s2从-1点向右移。 3) 当K= 1时, s1,2 = -2,两根重合在一起, 此时系统恰好处在临界阻尼状态。 4) 1 m时才有渐近线,渐近线

3、的绘制方法:确定渐近线与实轴的交点坐标a 和实轴正方向夹角 ，渐近线即可绘出。 （zi为已知的开环零点，pi为已知的开环极点）,j,j,j,j,5.根轨迹的分离点 分离点 :L条根轨迹分支在s平面上相遇后又立即分开的点,称为根轨迹的分离点(或会合点)，用d表示。d为特征方程重根的值。 分离点计算公式：,若系统无开环零点，则,根轨迹的分离点或出现在实轴上,或共轭成对地出现在复平面中,但以实轴上的分离点最为常见。 实轴上的分离点： 1）若实轴上两个相邻开环极点之间是根轨迹，则这两极点之间至少存在一个分离点。 2）若实轴上两个相邻开环零点之间是根轨迹，则这两零点之间至少存在一个分离点（其中一个零点可

4、以是无限零点）。 注意：由分离点公式求出d后，一定要进行检查，应舍弃不在根轨迹上的点d。,分离点处根轨迹分支间的夹角:,离开分离点的根轨迹分支和进入分离点的根轨迹分支切线夹角称为分离角,用 表示, 则,列分离点方程,整理得 解得,显然d2不在根轨迹上，应舍弃。,开环传递函数：,d1,法则:仅由两个极点(实数或复数)和一个有限零点组成的开环系统。只要有限零点没有位于两个实数极点之间。当k* 从0到无穷变化时,闭环根轨迹的复数部分是以有限零点为圆心,以有限零点到分离点的距离为半径的圆或圆的一部分。,6.根轨迹的起始角与终止角(针对有开环复数极点或开环复数零点情况) 起于开环复极点的根轨迹,在起点处

5、的切线与正实轴的夹角 , 称为根轨迹的起始角。终止于开环复零点的根轨迹,在终点处的切线与正实轴的夹角 叫终止角。,7.根轨迹与虚轴的交点 根轨迹方程1+G (s)=0 令s=jw代入根轨迹方程得1+G (jw)=0,然后分别令1+G (jw)的实部和虚部都等于0,即可求得根轨迹与虚轴的交点,及此时的K*。 8.根之和 闭环特征方程 记为 当n-m2时，有 故系统特征根之和 可用来判断根轨迹的走向。,绘制根轨迹的步骤,(1)把闭环特征方程表示成根轨迹方程的形 式(P96式4.2.8)，画出开环零极点分布图； (2)实轴上的根轨迹 (3)求渐近线与实轴的夹角和交点 (4)求起始角和终止角（一般不会

6、遇到） (5)求出分离点 注：实轴上的根轨迹不能画错，用粗线标 出；渐近线、分离点一定要求；渐近线 虚线，根轨迹要标箭头。,例:已知单位反馈系统的开环传递函数为: 试绘制 K* 从0到时系统的根轨迹.,解:(1)有4个开环极点,P1=0,P2=-3,P3,4=-1j. n=4，没有开环零点,m=0 ； 分支数=开环极点的个数=特征方程阶数 有4个根轨迹分支 （2）实轴上根轨迹为0,-3区间 ； （3）渐近线条数n-m=4条， 4个根轨迹分 支沿着渐近线都趋于无穷远处 ；,渐近线与实轴正 方向的夹角 ：,与实轴的交点：,(4)分离点坐标:,用试探法求得d=-2.3 分离角,(5)求起始角,其中

7、m=0 n=4,由根轨迹的对称性可知,(6)根轨迹与虚轴的交点 系统的特征方程为,令s=jw 代入实部和虚部都为0得:,系统根轨迹为下图：,根轨迹示例,二、闭环极点的确定 每条根轨迹上的任何一点，都是对应于某一K*值的闭环极点，应在准确的根轨迹上按模值方程确定。 较简便的方法：对于特定K*值的闭环极点，使用试探法确定实轴上的闭环极点的数值，然后用综合除法或根之和根之积的代数方法确定其余的闭环极点。,4-3 广义根轨迹,绘制根轨迹时，可变参数可以是控制系统中的任何一个参数,如某开环零点、开环极点。以非开环根轨迹增益为可变参数绘制的根轨迹叫广义根轨迹。负反馈系统中以开环根轨迹增益K*为可变参数绘制

8、的根轨迹称为常规根轨迹。 广义根轨迹分为参数根轨迹和零度根轨迹。,一、参数根轨迹 引入等效开环传递函数的概念,参数根轨 迹的绘制方法与常规根轨迹完全相同。 1.开环零点变化时的根轨迹 例1.设系统结构图如图所示,试绘制Kt由0 到变化时的根轨迹。,C(s),1+Kts,-,R(s),解:系统开环传递函数为：,闭环传递函数为：,整理:,令,构造一个新系统,与原系统具有相同的闭环 特征方程。 为等效的开环传递函数。,闭环特征方程为:,新系统的结构图 新系统的闭环传递函数： 与原系统具有相同的分母，分子不同。,根轨迹为：,利用等效开环传递函数绘制的根轨迹，只能确定控制系统的闭环极点，对系统稳定性进行

9、分析。若要求根轨迹某点处系统的稳态误差和动态性能，必须用原系统的结构。即：等效只是与原系统闭环特征方程等效，等效系统的闭环极点与原系统相等，要对原系统进行分析，零点仍要用原系统的零点。,2.开环极点变化时的根轨迹 例：已知单位反馈系统的开环传递函数,试绘制从零变到无穷时的根轨迹.,解:系统的特征方程1+G(s)=0 即,整理得,令,则原式=1+G1(s)=0,为等效开环传递函数,解方程,而三个有限开环零点为Z1=Z2=0,Z3=-1 m=3,n=2,mn则分支数不是n,而是m=3。 法则7: 由1+G1(jw)=0解得根轨迹与虚轴的交 点w并确定此点处 的值。,解得：,则由0变化到无穷时的根轨

10、迹如图。,二、零度根轨迹 在复杂的控制系统中，可能会有包含正反馈的 内回路，如果内回路根轨迹增益从0 到变化， 需要绘制零度根轨迹。,正反馈,内反馈的传递函数,根轨迹方程即为 或 假设开环传递函数中有m 个零点和n个极点,根轨迹方程可表示为：,K*从0 到无穷大变化,模值方程：,相角方程:,模值方程与180根轨迹相同，相角方程中只是相角变化。所以，绘制根轨迹时只需修改180根轨迹中与相角相关的法则即可。,3.根轨迹在实轴上的分布情况 实轴上某一区域右边的开环零、极点总数为偶数时，则该区域是根轨迹。 4.根轨迹的渐近线 6.根轨迹的起始角与终止角,7.根轨迹与虚轴的交点 根轨迹方程1-G (s)

11、=0,例,设正反馈系统结构图如图,试绘制该系统的根轨迹。,解,在平面上画出开环极点p1=-1+j,p2=-1-j,p3=-3；,开环零点z1=-2。,实轴上的根轨迹,-2,+),-3,-),是根轨迹,根轨迹的渐近线,n-m=2条渐近线,分离点和分离角,分离点在实轴上，取d=-0.8,分离角=180o/2=90o,起始角,根据对称性，p2=-1-j的起始角为p2=71.6o,根轨迹与虚轴交点,s=0对应的根轨迹增益为临界值，由模值方程得临界根轨迹增益,临界开环增益 Kc=1,4-4 用根轨迹法分析系统的性能,一、闭环零极点分布与阶跃响应的 定性分析,系统闭环传递函数 单位阶跃响应,（1）系统稳定：所有闭环极点位于左半S平面 （2）快速性好：闭环极点远离虚轴 （3）超调量小，调节时间短：离虚轴最近的共轭复数极点位于S平面中与复实轴成450的夹角线附近 （4）动态过程尽快消失：各项系数要小 根据以上分析，由系统根轨迹可对系统进行近似设计,二、主导极点和偶极子 主