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文档简介

1、利用极坐标计算二重积分,有些二重积分的积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示,比较方便，并且被积函数用极坐标变量 ， 表达比较简,单，这时候可以考虑利用极坐标,来计算,用直角坐标来计算，无法求出,例如：,为什么引用极坐标计算二重积分1？,为什么引用极坐标计算二重积分2？,2,1,D,D:,.,怎么计算？,需使用极坐标系！,此题用直角系算麻烦,必须把D分块儿!,D4,D3,D1,D2,极坐标系下的面积元素,将,变换到极坐标系,0,D,用坐标线: =常数；r =常数 分割区域 D,i,ri,ri+1,.,.,.,.,.,.,利用极坐标计算二重积分,i,i,i +i,I =,ri,r,.,.,二重积分

2、由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,就是极坐标中的面积元素,怎样利用极坐标计算二重积分 1、极点不在区域 D 的内部,0,A,B,F,E,D,D:,r,r,0,A,B,F,E,D,D:,.,r,怎样利用极坐标计算二重积分 1、极点不在区域 D 的内部,0,A,B,F,E,D,D:,.,步骤： 1 化被积函数为极坐标形式； 2 从D的图形找出 r, 上、下限； 3 面积元素dxdy化为rdrd,.,r,怎样利用极坐标计算二重积分 1、极点不在区域 D 的内部,极点不在区域D内的其余类型,（1）区域特征如图,（2）区域特征如图, 同1,0,D,r,D:,r,怎样利用极坐标计算二重积分 2、极

3、点位于区域 D 的内部,D:,D,0,.,r,怎样利用极坐标计算二重积分 2、极点位于区域 D 的内部,D:,.,D,0,步骤： 1 化被积函数为极坐标形式； 2 从D的图形找出 r, 上、下限； 3 面积元素dxdy化为rdrd,.,r,怎样利用极坐标计算二重积分 2、极点位于区域 D 的内部,特别地：极点在区域D的边界上,区域特征如图,2a,.,.,解：,.,例1、,此题用直角系 算麻烦，需使 用极坐标系！,2,1,D,D:,变换到极坐标系,.,例2.,计算,D: 1 r 2 0 2,2R,区域边界：,x = 0,.,即 r =2Rsin,r =2Rsin,例3.,.,1,2,y =x,D

4、,.,.,.,例4.,解：,解：,解:,4,r = 4 cos,r = 8 cos,8,D,1,2,例8.,计算,y = 2x,x = y,0,y,x,r = 8 cos,D,4,8,.,r = 4 cos,2,1,例8.,.,计算,I =,解：,.,例10.,I =,不分块儿行吗？,解：,不行！,2,r = 2 cos,1,D,.,.,.,例11. 将积分化为极坐标形式,r =R,y = R x,D1,D2,.,R,D,.,.,.,arctanR,.,I =,I =,解:,解:,例14,解,=0,例16 求由球面x2+y2+z2=4a2与柱面x2+y2=2ay所围立体的体积。,解： 计算第一挂限部分体积,练习,二重积分的换元法,例1,解,例2,解,基本要求:变

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