高中数学三角形形状的判定

1、( (微微 lily2064)lily2064) 高中数学高中数学 三角形形状的判定三角形形状的判定 判断三角形的形状的特征，必须深入地研究边、角间的关系，解决这类问题： 1、 基本知识点： （1）等腰三角形a=b 或 A=B （2）直角三角形a b c或 A=90 （3）钝角三角形a b c或 A90 （4） 锐角三角形若 a 为最大边且a b c或 A 为最大角且 A90 2、基本思想方法：从条件出发，利用正弦定理（或余弦定理）进行代换、转化。逐步化为 纯粹的边与边或角与角的关系，即通过考虑如下两条途径： （1）统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换； （2）统一成边进行判断，常用余

2、弦定理、面积公式等； 常见的题型有： 一、一、利用三角形三边的代数关系直接判断利用三角形三边的代数关系直接判断 1、 在三角形 ABC 中，三边a、b、c 满足a:b:c 2: 6 :( 3 1)，试判断三角形的形状。 22 解析：解析：Q a b c则 c 边最大，且c 42 3，a b 8， 2 222o 222o 222o c a b ，则最大角 C 为锐角，所以三角形为锐角三角形。 二、运用三角函数的关系直接判断二、运用三角函数的关系直接判断 2、 （05 北京）在ABC中已知2sin Acos A sinC,那么ABC一定是（） A、直角三角形B、等腰三角形 C、等腰直角三角形三角形

3、D、正三角形 222 Q C (A B),sinC sin(A B) 解析：解析： 2sin AcosB sin(A B),sin AcosBcos Asin B 0 sin(A B) 0又A,B,C是三角形的内角A-B=0,则选B 3、在ABC中，已知sinBsinCcos A ，试判断此三角形的类型. 2 1 cos A 2 A 解析：解析：sinBsinCcossinBsinC 22 2 2sin BsinC1cos180 (BC) 将cos(B+C)=cosBcosC-sinBsinC代入上式得cosBcosC+sinBsinC=1 cos（BC）1 o 又 0B，C，BCBC0BC

4、故此三角形是等腰三角形. 评述：评述： (1)此题在证明过程中，要用到余弦二倍角公式cosA2cos2 A 1 的逆用. 2 (2)由于已知条件就是三角函数关系式，故无需向边的关系转化，而是进行三角函数式的恒 等变形 三、运用向量进行判断三、运用向量进行判断 1ABACABAC 4、(06 陕西卷) 已知非零向量AB与AC满足(+)BC=0 且=, 则 2 |AB|AC|AB|AC| ABC 为() A、三边均不相等的三角形B、直角三角形 C、等腰非等边三角形D、等边三角形 uuu ruuu r ABAC r uuu r )解析：解析：非零向量与满足( uuu =0，即角 A 的平分线垂直于

5、BC， AB=AC， | AB| AC | uuu ruuu r ABAC 1 r uuu r =2，A=，所以ABC 为等边三角形，选 D又cosA uuu 3| AB| | AC | uuu rr uuu rr uuu rrr rr rr r 5、在ABC中，设BC a,CA b, AB c,若ab bc ca,判断ABC的形状。 r 2 r 2 r rr 2 rrrrrrrrr 2 r 2 解析：解析：Q abc 0，ab c,(ab) c，a b 2ab c r 2 r 2 r rr 2 r 2 r 2 r rr rr 2 r 2 同理b c 2bc a，两式相减，得a c 2(abb

6、c) c a， r 2 r 2 rrr rr rrrrrr Qab bc，a =c，a c，同理a b，a b c，故ABC是等边三角 形。 四、运用正（余）弦定理判断四、运用正（余）弦定理判断 6、在ABC 中，bcos A acosB试判断三角形的形状 分析分析：三角形形状的判断，可以根据角的关系，也可根据边的关系，所以在已知条件的 运用上，可以考虑两种途径：将边转化为角，将角转化为边，下面，我们从这两个角度进行 分析. 解法一：解法一：利用余弦定理将角化为边. bcos A acosB 22222 b2 c2 a2a2 c2b2 a b 2bc2ac 222 bcaacbab ab 故此

7、三角形是等腰三角形. 解法二：解法二：利用正弦定理将边转化为角. bcos A acosB又b 2Rsin B,a 2Rsin A 2RsinBcosA=2RsinAcosB sinAcosB-cosAsinB=0 sin（AB）0 0A，B，AB AB0即AB 故此三角形是等腰三角形. 评述：评述： (1)在判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形，一个方向是边，走代数 变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用 正弦定理.要求学生要注重边角转化的桥梁正、余弦定理； (2)解法二中用到了三角函数中两角差的正弦公式， 但应注意在根据三角函数值求角时， 一

8、 定 要 先 确 定 角 的 范 围 . 另 外 ， 也 可 运 用 同 角 三 角 函 数 的 商 数 关 系 ， 在 等 式 sinBcosA=sinAcosB端同除以sin Asin B得cot A cotB，再由 0A，B，而得A B. 7、在ABC中，如果lga lgc=lgsin B lg 2，且角B为锐角，判断此三角形 的形状。 解解 析析 ： 由lga lgc= lgsin B lg2 ， 得 lgsin B lg2 lg 2 ， 2 sin B 2 o ，又B是锐角，B 45，又lga lgc lg 2， 2 即lg a2a2 lg, c2c2 sin A2 o ， 2sin

9、C 2sin A,Q A B C 180， sinC2 由 正 弦 定 理 ， 得 ： A 180oC B 180o45oC 135oC，2sinC 2sin(135oC)， sinC sinC cosC,cosC 0,C 90o故此三角形是等腰直角三角形。 巩固练习：巩固练习：在ABC中，若tan A:tan B a :b ,试判断ABC的形状。 22 sin AcosBsin2A 解一：解一：由已知条件及正弦定理可得，Q A,B为三角形的内角， cos Asin Bsin2B sin A 0,sin B 0，sin2A sin2B,2A 2B或2A2B，A B或 A B 2 ，所以ABC为

10、等腰三角形或直角三角形。 sin A 2sin AcosBsin A 解二：解二：由已知条件及正弦定理可得 cosA ，即，由正弦定理和余弦 sinB sin2Bcos Asin B cosB a2c2b2 a 22422224 定理可得 2 2ac =，整理，得a a c b c b 0，即(a b ) 22b c a b 2bc (a2b2c2) 0，a2 b2或a2b2c2 0，a b或a2b2 c2 ABC为等腰三角形或直角三角形。 小结：小结：已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：其一化边为角， 再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式； 其二化角为边， 再进行代数恒等变换求出三 条边之间的关系式。两种转化主要应用正弦定理和余弦定理。 本题的两种解法，就是通过两种不