2017年江苏省专转本高数第九章第五节函数展开成幂级数_第1页
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文档简介

1、无穷级数,第五节 函数展开成幂级数,第五节 函数展开成幂级数,前面研究的是幂级数的收敛域及和函数,现在反过 来,某个函数是否可以在某个区间内用幂级数表示,一. 泰勒级数,其中f(x) 在 的某邻域内具有n+1阶导数.,余项,此时, f(x)可以用前n+1项近似表示,误差为,由此引入泰勒级数:,1. 定义,若f(x)在 的某邻域内具有各阶导数,则,f(x)在 的泰勒级数,泰勒系数,麦克劳林级数,2. 泰勒定理:,若f(x) 在 的某邻域内具有各阶导数,(由泰勒公式很容易得出结论,证明略),注: (1),则f(x)在 的泰勒级数在该邻域内收敛于f(x),若f(x)在 的泰勒级数收敛于f(x),即,

2、泰勒展开式,(2) 如果函数可以展开成幂级数,则展开式唯一.,则称 f(x)在 可以展开成泰勒级数,二. 函数展开成幂级数,主要研究函数如何展开成 x 的幂级数.,麦克劳林级数,1. 直接展开法,(1) 求出,如果某阶导数不存 在,说明不能展开,(2) 求出,(3),求出收敛半径R,例 将函数展开成 x 的幂级数,收敛半径,有限,趋于零,因为 收敛,所以,(循环),收敛半径,所以,牛顿二项式级数,注: 1时,展式在 x =1成立;,0时,展式在 x = 1成立.,2.间接展开法,利用已知的基本展开式和幂级数的性质,(1).逐项积分,逐项求导法,(2)变量替换法,(3)四则运算法,例 将函数展开成 x 的幂级数,作变量替换,例 将 分别展开成 x 的及 x1 的幂级数,例 将 展开成 x1的幂级数,三. 幂级数在近似计算中的应用,有了函数的幂级数展开式,就可以用它来进行近似计算，即在展开式成立的区间上， 可以按照精度要求，选取级数的前若干项的部分和，把函数值近似计算出来。,例： 求e的近似值 解 由,的展开式,取 有,根据不同的精度要求

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