数值分析 chap2数值积分

1、1,第二章 数值积分与数值微分,2.1 机械求积 2.2 NewtonCotes公式 2.3 Romberg算法 2.4 Gauss公式 2.5 数值微分,2,关于积分，有Newton-Leibniz公式,但是，在很多情况下，还是要数值积分：,1、函数f(x)的积分存在，但F(x)不能用初等函数表示，例如： 2、被积函数f(x)表达式未知，f(x)是用表格形式给出的。 3、用微积分中的换元积分、分部积分等方法能积出f(x)的原函数，但过程复杂（比如复杂的有理函数积分）。,2.1 机械求积,3,积分中值定理告诉我们 若f(x)在区间a,b上连续，则在a,b上至少存在一点 ， 满足,几何意义：,4

2、,梯形公式：,矩形公式：,几何意义：,（2.1）,（2.2）,5,更一般地，定义数值积分是离散点上的函数值的线性组合,称为求积系数，与f(x)无关，与积分区间和求积节点xk有关,这类数值积分方法通常称为机械求积。,（2.3）,6,求积公式的余项（截断误差）：,7,代数精度,定义,对任意次数不高于m次的多项式f(x)，数值积分没有误差,可以验证，梯形公式（2.1）和矩形公式（2.2）均具有一次代数精度。,8,例1、确定求积公式 的代数精度。,解：引入记号，记求积公式(2.3）的左边为I(f)，当f(x)分别取1,x,x2,x3,x4时，计算如下：,9,可见，当f(x)分别为1,x,x2,x3时，

3、求积公式（2.3）的左右两边精确相等，而当f(x)= x4 时，左右两边不等，所以该求积公式具有3次代数精度。,显然，一个求积公式的代数精度越高，用它来进行积分的近似计算越具有好的实际计算意义。,10,用插值函数的积分，作为数值积分,代数精度:,由Lagrange插值的余项表达式,于是，余项,可以看出，至少n阶代数精度,插值型,（2.4）,11,反之，如果求积公式(2.3)至少具有n次代数精度，则它必是插值型的。,事实上，如果求积公式(2.3)至少具有n次代数精度，则当f(x)分别取l0(x),l1(x),ln(x)（注意到它们都是n次多项式）时，求积公式均精确成立。比如取f(x)=li(x)

4、代入得 因此，求积公式是插值型的。,定理1、形如(2.3)的求积公式至少具有n次代数精度的充分必要条件是，它是插值型的。,12,例2、验证求积公式 是插值型求积公式。 解：从求积公式中可以看出，求积节点为 求积系数a0=1,a1=1.要验证求积公式是插值型的，就是要验证 计算知,13,所以所给求积公式是插值型求积公式。,14,例3、给定求积节点x0=0,x1=1,试推导出积分 的插值型求积公式，并写出其截断误差。 解：设求积公式为 要使其成为插值型，则 所以求积公式为,15,该插值型求积公式的截断误差为,其中,16,例题选讲2.1,例1、试检验下列求积公式的代数精度： 例2、判别下列求积公式是

5、否是插值型的，并指明其代数精度：,例3、构造下列形式的插值型求积公式，并指明该求积公式所具有的代数精度：,17,例题选讲2.2,例1、试设计求积公式,18,2.2 Newton-Cotes 积分,将积分区间a,bn等分，分点记为 a=x0x1T0,转（3）.,49,龙贝格算法,（2.12）,50,51,重复上面同样的作法，依据柯特斯法的误差阶为h6，可进一步导出下列龙贝格（Romberg）公式：,结论：在变步长的过程中，运用上面的推导方法，可以将粗糙的梯形值Tn逐步加工成精度较高的Simpson值Sn、柯特斯值Cn和Romberg值Rn。,52,Romberg积分就是不断地组合低阶公式为高阶公

6、式，进而计算积分, Romberg 算法：, ?, ?, ?, ,53,例7、 用Romberg算法计算 的近似值,54,作 业,P95 8、10、12、13,55,2.4 Gauss型积分公式,Newton-Cotes积分公式，可以知道n为偶数时，n1个点数值积分公式有n1阶精度。是否有更高的代数精度呢？n+1个点的数值积分公式，最高可以到多少代数精度？本节会解决这个问题。,56,例：在两点数值积分公式中，如果积分点也作为未知量，则有4个未知量 可以列出4个方程： （以f(x)在-1,1为例）,可解出：,可以看出，数值积分公式,具有3阶代数精 度，比梯形公式 1阶代数精度高,57,n+1个积

7、分点的数值积分公式，代数精度最高为2n+1阶。,证明：,取,易知：,也就是说，数值积分公式，对一个2n+2阶的多项式是有误差的，所以，n+1个点的数值积分公式不超过2n+1阶,如何构造最高阶精度的公式？,定理,58,为使问题更具一般性，考虑带权积分,这里 为权函数，类似机械求积公式（2.3），它的求积公式为,（2.19）,xk(k=0,1,.n)为求积节点，Ak(k=0,1,.n)为不依赖于f(x)，但与求积区间和节点xk有关的求积系数，可适当选取xk和Ak(k=0,1,n)使（2.19）具有2n+1次代数精度。,59,定义 如果求积公式具有2n+1次代数精度，则称其节点xk (k=0,1,n

8、)为高斯点，相应的求积公式称为高斯求积公式。,定理 插值型求积公式的节点 是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式 与任何次数不超过n的多项式P（x）带权 正交，即,60,(2)求出pn(x)的n个零点x1 , x2 , xn 即为Gauss点.,(3)计算积分系数,Gauss型求积公式的构造方法,(1)求出区间a,b上权函数为 的正交多项式pn(x) .,61,的2点Gauss公式.,求积分,例：,解 权函数为 按 Schemite 正交化过程作出正交多项式:,62,故两点Gauss公式为,积分系数为,P2(x)的两个零点为,63,例题选讲2.4,例1、试用代数精度方法设计如下形式的

9、三点高斯求积公式,例3、试设计下列带权的高斯公式,例2、利用三点高斯公式计算积分,64,函数f(x)以离散点列给出时，而要求我们给出导数值， 函数f(x)过于复杂,这两种情况都要求我们用数值的方法求函数的导数值,微积分中，关于导数的定义如下：,自然，而又简单的方法就是，取极限的近似值，即差商,2.5 数值微分,65,由Taylor展开,因此，有误差,向前差商,66,由Taylor展开,因此，有误差,向后差商,67,由Taylor展开,因此，有误差,中心差商,68,由误差表达式，h越小，误差越小，但同时舍入误差增大，所以，有个最佳步长,我们可以用事后误差估计的方法来确定,设D(h),D(h/2)

10、分别为步长为h,h/2的差商公式。则,时的步长h/2就是合适的步长,69,f(x)=exp(x),例：,70,插值是建立逼近函数的手段，用以研究原函数的性质。因此，可以用插值函数的导数近似为原函数的导数,误差,插值型数值微分,71,给定点列,且,，求,解：,例1,余项,Taylor展开分析，可以知道，它们都是,称为两点公式,72,给定点列,且,，求,解：,例2,73,Taylor展开分析，可以知道，它们都是,称为三点公式,74,例3,已知函数y=ex的下列数值,试用两点数值微分公式和三点数值微分公式计算x=2.7处函数的一、二阶导数值。,解：取h=0.2，x0=2.5,x1=2.7,x2=2.9，计算结果如下：,75,取h=0.1，x0=2.6,x1=2.7,x2=2.8，计算结果如下：,f(2.7)与f(2.7)的真值都是14.87973，上面计算表明，三点公式 比两点公式准确，步长h越小