高中数学必修4第二章平面向量教案完整版

1、2.1平面向量的实际背景和基本概念1、数量和矢量的差异：数量只是大小，世代数，可以代数运算、比较矢量有方向、大小、双重性，不能比较大小a (起点)乙级联赛(终点)甲组联赛2 .矢量的表现方法：用有向线段表示用文字a、b (黑体、印刷用)等表示使用有向线的起点和终点的文字：矢量的大小长度称为矢量的类型。 |3 .有向线段：具有方向的线段称为有向线段，三个要素：起点、方向、长度矢量和有向线段的差异：(1)向量只有大小和方向两个要素，无论起点如何，如果大小和方向相同，则这两个向量是相同的向量(2)有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，虽然大小和方向相同，但是是不同的有向线段.4、零向量、单位

2、向量的概念：长度为0的向量称为零向量，标记为0. 0的方向是任意的注意0和0的意思和标记的差异长度为1单位长度的向量称为单位向量说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小5 .平行向量定义：方向相同或相反的非零向量称为平行向量我们规定0与任意向量平行说明： (1)综合、才是平行向量的完全定义(2)向量a、b、c平行，记为abc .6、相等的向量定义：长度相等方向相同的向量称为相等的向量。说明： (1)矢量a和b相等，记为a=b (2)零矢量和零矢量相等(3)任意2个相等的非零向量可以用同一有向线段表示，与有向线段的起点无关.7 .共线矢量与平行矢量的关系：由于平行向量可以在同一直线上移动(与

3、有向线段的起点无关)，所以是同一直线向量.说明： (1)平行向量在同一直线上，必须与2条平行线的位置关系进行区别(2)共线向量可以相互平行，也必须与同一直线上的线段的位置关系进行区别.2.2.1矢量的相加及其几何意义二、探索研究：1、向量的加法：求两个向量和的运算称为向量的加法2、三角形法则(“首尾一贯、首尾一贯”)如图所示，已知向量a，b .取平面内的任意点，=a、=b，则向量被称为a与b之和，记为a b，即a b，并定义为a 0-=0 a甲组联赛甲组联赛甲组联赛乙级联赛c.cPS公司PS公司甲组联赛甲组联赛乙级联赛乙级联赛甲组联赛乙级联赛乙级联赛PS甲组联赛探索： (1)两相向量之和还是向

4、量(2)在向量和非共线的情况下，方向不同。 | | |是o.o甲组联赛乙级联赛甲组联赛甲组联赛甲组联赛乙级联赛乙级联赛乙级联赛在与(3)相同方向的情况下，相同方向，且|，和相反方向的情况|，和方向相同，并且|=|的方向相同，且| b|=|-| .(4)“矢量平移”(自由矢量):可以将前一个矢量的终点作为下一个矢量的起点，扩展为n个矢量连接3 .例1、求已知矢量、矢量做法：在平面内取一点，做成的话，就会变成这样。4 .加法交换律和平行四边形定律问题：上述问题的结果是一样的吗？ 验证结果是一样的因此，可以得到1 )向量相加的平行四边形法则(不适应2个向量共线)2 )向量加法的交换规则：=5 .向量

5、相加的结合律： ()=()证：图：使的()=，()=() =()因此，多个矢量相加可以以任意顺序、任意组合进行.第三课2.2.2矢量的减法及其几何意义1 .在“逆向量”中定义向量的减法(1)“逆向量”的定义：与a的长度相同，反向的向量。 以-a表示(2)零矢量的逆矢量还规定为零矢量.-(-a)=a .其中一个向量与其相反的向量之和是零向量. a (-a)=0如果a和b是相反向量，则a=-b、b=-a、a=0(3)向量减法的定义：将加在向量a上的b的逆向量称为a和b的差。即，将求出a - b=a (-b )两个向量差的运算称为向量的减法运算.2 .通过加法逆运算定义向量的减法向量减法是向量加法的

6、逆运算o.o甲组联赛乙级联赛乙级联赛甲组联赛乙级联赛甲组联赛如果b的x=a，则x被称为a与b之差，并记为a - b3 .获得差分向量：获得已知向量a、b和向量(a-b) b=a (-b) b=a 0=a做法：在平面内取点o设=a、=b=a - b即a - b可以表示为从矢量b终点朝向矢量a的终点的矢量.4 .探索：1 )从矢量a终点向矢量b的终点作成矢量时，得到的矢量是b - a .甲组联赛甲组联赛甲组联赛乙级联赛乙级联赛bo.o甲组联赛甲组联赛甲组联赛乙级联赛乙级联赛o.o甲组联赛o.o乙级联赛甲组联赛甲组联赛乙级联赛甲组联赛o.o-b2 )如果是ab的话，怎么做a - b呢？2.3.1平面

7、向量的基本定理导入复习：1 .实数和矢量的积：实数和矢量的积是一个矢量，记为(1)|=|和(2)0的情况下，是与方向相同的0的情况下，是与方向相反的=0的情况下=2 .运算法则结合律：()=()分配律： ( )= ，()= 3 .向量共线定理向量和非零向量共线的充分条件是，只有一个非零实数，=平面向量基本定理：是同一平面内的两个非共线向量，对于该平面内的任何向量，都设仅具有一对实数1、=1 2 .探索：(1)我们称为表示该平面内所有向量的一组基底(2)基底不是唯一的，重要的是不共通线(3)根据定理，能够在给出基底e1、e2的条件下分解任意的矢量a(4)基底给定时机，分解形式是唯一.1、2是被，

8、唯一确定的数2.3.22.3.3平面向量的正交分解和坐标表示和运算一、复习的引进：1 .平面向量的基本定理：如果同一平面内的两个非共线向量，则对于该平面内的任何向量都设实数1、2仅具有一对=1 2(1)我们称为表示该平面内所有向量的一组基底(2)基底不是唯一的，重要的是不共通线(3)根据定理，能够在给出基底e1、e2的条件下分解任意的矢量a(4)基底给定时间，分解形式是唯一.1、2是被，唯一确定的数二、说明新课：1 .平面向量的坐标显示如图2所示，在正交坐标系内，分别取与轴、轴方向相同两个单位向量作为基础，任一个向量根据平面向量的基本定理是已知的，且仅有一对实数.我们把被称为向量的(直角)坐标

9、记为其中称为轴上的坐标，称为轴上的坐标，公式称为向量的坐标表示。 等于的矢量的坐标特别是，如图所示，当在直角坐标平面内以原点o为起点时，点位置被唯一地决定.于是，矢量坐标是点的坐标，相反，点的坐标是矢量的坐标，所以在平面正交坐标系中，各个平面矢量可以用实数对唯一地表示.2 .平面向量的坐标运算(1)喂两个向量和差坐标分别等于对应于这两个向量的坐标之和和.假设基底为、的话也就是说，能做同样的事(2)喂向量坐标等于通过从表示该向量的有向线段的终点坐标减去起点而获得的坐标.(x2，y2) - (x1，y1)=(x2- x1，y2- y1 )(3)如果是实数的话实数和向量乘积的坐标等于将此实数乘以原始

10、向量的对应坐标假设基底为、的话第六课2.3.4平面矢量共线的坐标表示一、复习的引入：1 .平面向量的坐标显示根据平面向量基本定理，任意一个向量都是已知的，因为实数、只有一对，所以被称为向量的(直角)坐标记为其中称为轴上的坐标，称为轴上的坐标，特别是2 .平面向量的坐标运算如果是如果是那样的话二、说明新课：()的满足条件为x1y2-x2y1=0在此，设=(x1，y1 )、=(x2，y2 )。从=得到，消除(x1，y1)=(x2，y2)，x1y2-x2y1=0探索： (1)消除时，不能除以二式，y1、y2可能不是0，x2、y2中的至少一个不是0(2)满足条件不能写为x1，x2可能为0(3)因此向量

11、共线的充分条件有两种形式：()2.4平面向量的数积一、平面向量数积的物理背景及其意义一、复习的引进：1 .向量共线定理向量和非零向量共线的满足条件是，而且只有一个非零实数，=2 .平面向量的基本定理：如果同一平面内的两个非共线向量，则对于该平面内的任何向量都设实数1、2仅具有一对=1 23 .平面向量的坐标显示根据平面向量的基本定理，其中一个向量是已知的，因为实数、只有一对，所以被称为向量的(直角)坐标记为4 .平面向量的坐标运算如果是那样的话如果是那样的话5.()的满足条件为x1y2-x2y1=06 .线段的得分点和P1、P2存在直线l上的两点，p存在与l上的P1、P2不同的任意点，实数=、

12、除以点p的比，有三种情况0 (内分) (外分)0 (-1) (外分)0 (-10 )7 .分数坐标表达式：如果点P1(x1，y1 )、P2(x2，y2 )、是实数，且=，则点p坐标为()，我们称为除以点p的比.8 .点p的位置和范围的关系：0时，与同方向为同一线，此时将点p称为内分点.0()时，连接反方向和线时，点p称为外分点.9 .线段得分点坐标式的矢量形式：取平面内的任意点o，=a，=b时可得=10 .力的功： W=|F|s|cosq，q是f和s的角度二、说明新课：1 .两个非零向量角度的概念已知如果设=a、=b，则除零以外的向量a和b将AOB=(0)称为a和b所成的角.说明： (1)=0

13、时，a和b为同方向(2)=时，a和b相反(3)=时，a和b垂直，记为ab(4)注意如果用两个向量的角度定义，两个向量必须在同一起点.范围0180c.c2 .平面向量的数积(内积)的定义：知道两个非零向量a和b，如果它们的角度为，则数|a|b|cosq被称为a和b的数积，ab，即ab=|a|b|cosq而且，将0和任意向量的数的积规定为0 .探索：两个向量的数积与向量和实数积有很大差异(1)两个向量数积是实数，不是向量，符号由cosq的符号决定.(2)两个向量的数的积称为内积，写为ab，然后学习两个向量的外积ab，与此相对，ab是两个向量的数的积，写的时候必须严格区分。(3)在实数中，如果a0且

14、ab=0，则b=0； 然而，对于数量积，a0且ab=0，不能导出b=0。 其中cosq有可能为0。(4)如果已知实数a、b和c(b0)，则ab=bc a=c .但是ab=bc a=c右图： ab=|a|b|cosb=|b|OA|，BC=|b| c| c| b| OA |PK=PK，但PS在实数中有(ab)c=a(bc )，而在实数中有(a-b ) c-a (b-c )。这是因为左端是c和共用线的向量，右端是a和共用线的向量，一般来说a和c不是共用线的缘故.3 .“投影”的概念：制图定义：|b|cosq称为向量b向a方向的射影。投影也不是矢量而是数。q为锐角时投影为正值q为钝角时投影为负值q为直

15、角时投影为q=0时|b|； q=180时，投影为-|b|4 .向量数量积的几何意义：数量积ab等于a长度和b在a方向上投影|b|cosq的积.5 .两个向量数积的性质：设a、b为2个非零矢量，设e为与b同方向的单位矢量.1 ea=ae=|a|cosq2 ab ab=03a和b为同方向时，ab=|a|b|； 如果a和b相反，则ab=-|a|b|.特殊的aa=|a|2或4 cosq=5 |ab| |a|b|二、平面向量数积的算术律一、复习的引入：1 .两个非零向量角度的概念已知如果设=a、=b，则除零以外的向量a和b将AOB=(0)称为a和b所成的角.2 .平面向量的数积(内积)的定义：知道两个非零向量a和b，如果它们的角度为，则数|a|b|cosq被称为a和b的数积，ab，即ab=|a|b|cosq而且，将0和任意向量的数的积规定为0 .3 .“投影