高中数学——函数的周期性

1、高中数学函数的周期性一、知识回顾1周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期2最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期3关于函数周期性常用的结论(1)若满足，则，所以是函数的一个周期()；(2)若满足，则 ，所以是函数的一个周期()；(3)若函数满足，同理可得是函数的一个周期(). （4）如果是R上的周期函数，且一个周期为T，那么（5）函数图像关于轴对称（6）函数图像关于中心对称（7）函数图像关于轴对称，关于

2、中心对称二、方法规律技巧1求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如yAsin(x)，用公式T计算递推法：若f(xa)f(x)，则f(x2a)f(xa)af(xa)f(x)，所以周期T2a.换元法：若f(xa)f(xa)，令xat，xta，则f(t)f(t2a)，所以周期T2a2判断函数的周期只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题3根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，

3、关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想三、例题讲解：1、设定义在上的函数满足，若，则2、已知f（x）是R上的奇函数，对xR都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，若f（1）=2，则f（2013）等于（）A2 B2 C1 D20133、定义在R上的函数的图象关于点成中心对称，且对任意的实数x都有f(x)f，f(1)1，f(0)2，则f(1)f(2)f(2013)()A0 B2C1 D44、已知周期函数f(x)的定义域为R，周期为2，且当1x1时，f(x)1x2.若直线yxa与曲线yf(x)恰有2个交点，则实数a的所有可能取值构成的集合为()Aa|a2k

4、或2k，kZBa|a2k或2k，kZCa|a2k1或2k，kZDa|a2k1，kZ5、设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1上，f(x)，其中a，bR.若ff，则a3b的值为_四、新题变式探究【变式一】已知定义在R上的函数满足条件；对任意的，都有；对任意的；函数的图象关于y轴对称.则下列结论正确的是( )A. B.C. D.【变式二】设g(x)是定义在R上,以1为周期的函数,若函数f(x)=x+g(x)在区间0,1上的值域为-2,5,则f(x)在区间0,3上的值域为.【综合点评】充分利用周期函数的定义将所求函数值的问题转化为已知区间的求值问题是解题关键五、易错试题常警惕易错典例1

5、：若函数f(x)在定义域上为奇函数，则实数k_.易错典例2：定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期若将方程f(x)0在闭区间T，T上的根的个数记为n，则n可能为()A0 B1 C3 D5【变式】设是连续的偶函数，且当时，是单调函数，则满足的所有之和为()A3B3 C8 D8练习：A基础测试1.【江苏省南京市2014届高三9月学情调研】设函数是定义在上的偶函数，当时，.若，则实数的值为 .2.【2014届吉林市普通高中高中毕业班复习检测】给出下列函数，其中是奇函数的是（ ）A. B. C. D. 3.【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试

6、题】已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则满足 的实数的范围是 4.【吉林市普通中学2013-2014学年度高中毕业班摸底测试理】，若，则（ ）A. 0B. 3C. -1D. -25. 【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学（理）】已知偶函数对任意均满足，且当时，则的值是 .B能力提升训练1. 【江西省2014届高三新课程适应性考试理科数学】已知函数是周期为2的周期函数，且当时，则函数的零点个数是（ ）A9 B10 C11 D122. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】定义在R上的奇函数满足，且不等式在上恒成立，则函数=的零点的个数为（

7、 ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 13. 【广东省中山市一中2014届高三第二次统测】奇函数满足对任意都有成立，且，则的值为（ ）A 2 B 4 C 6 D 84. 【广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学理试题】已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意的实数，都有，且当时，则的值为 （ ） 5【2014届山东省日照市高三校际联考】已函数是定义在上的奇函数,在上时（）求函数的解析式;（）解不等式C思维扩展训练1. 【湖北孝感高中2014届高三年级九月调研考试】已知是定义在R上周期为4的奇函数，且时，则时，=_2. 【2014届新余一中宜春中学高三年级联考数学（理）】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR都有f(x2)f(x)当0x1时，f(x)x2.若直线yxa与函数yf(x)的图像在0,2内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是()()A0 B0或 C或 D0或3. 定义在上的奇函数，满足，则函数在区间内零点个数的情况为（ ）A个 B个 C个 D至少个4. 已知定义在R上的函