复变函数与积分变换课件第五章

1、第五章 保角映射,5.1 映射与保角映射的概念,1 映射的概念,2 两曲线的夹角,3 导数的几何意义,4 保角映射的概念,5 关于保角映射的一般理论,5.1.1 映射的概念,复变函数反映了两对变量 x, y 和 u, v 之间的 对应关系，所以可以看成两个复平面中点集的对 应关系.,设 是复平面点集D上的复变函数, 即,z平面中点集D为定义域, 其值域G是w平面中点集,记为G=f (D), 这时称w=f (z)为从D到G的映射. 对,于 称 为映射w=f (z)下点 z0 在 w,平面上的像, 而称z0为映射w=f (z)下点w0在z平面,上的原像. 同时称G为映射w=f (z)下D在w平面上

2、,的像, 称D为映射w=f (z)下G在z平面上的原像.,如果w=f (z)把 D中的不同点映射成G中的不,同点, 即如果 都是D中的点, 那么有,则称 w=f (z)是从D到G的双方单值,映射或一对一的映射.,5.1.2 两曲线的夹角,当t 增大时, 点 z 移动的方向为正向.,设z平面内的有向光滑曲线,在曲线C上取两点:,作割线P0P , 规定割线的正向,对应于t 增大的方向.,于是割线P0P 与向量,同向.,因为C是光滑曲线, 所以 于是,向量 是曲线C的切向,量, 与C相切于点,规定 的方向为C,上点z0处切线的正向.,.,(1) C在点z0处切线正向与x 轴,正向之间的夹角是,(2)

3、 设z平面内的两条有向光,.,滑曲线 和 相交于z0 (t=t0)点.,规定z0处曲线C1和C2正向之间,的夹角为两条曲线在z0处切线,正向之间的夹角.,5.1.3 导数的几何意义,所以,.,设w=f (z)在区域 D内解析, 且在 D内,(1) 的几何意义,设 是 D内过 的,有向光滑曲线, t 增大的方向为正向.,于是w=f (z)将z平面上有向,对于,因为 C 光滑,光滑曲线 t 增大的方向,.,.,光滑曲线C 映射成w平面内过点 的有向,为正向,且 是曲线G在w0处的,切向量.,因为 所以,如果将x轴与u轴重合, 将y轴与v轴重合, 即将z,平面与w平面重叠, 那么曲线C在 z0 处的

4、切线转动,之后与曲线G 在 w0 处的切线方向一致.,在这个意义上, 就是曲线C 经过w=f (z),映射后在z0处的转动角. 显然转动角与C 无关.,如果 是,过z0点的D内两条有向光滑曲线，,则在映射w=f (z)下, C1和C2在w平面上的像分别为,并且 因此,.,.,所以,G1和G2在w0处的夹角,C1和C2在z0处的夹角,过z0两条光滑曲线C1、C2在 z0处夹角的大小与方向,和在映射w=f (z)下的像G1 、G2在w0处夹角的大小与,方向相同, 即 时, 映射w=f (z)具有保角性.,(2) 的几何意义,当 时, 是映射w=f (z)在z0处的伸缩,率. 它与C无关, 即映射w

5、=f (z)具有伸缩率不变性.,5.1.4 保角映射的概念,定义5.1 设w=f (z)在点z0的邻域内有定义. 如,果w=f (z)在 z0 处具有保角性和伸缩率不变性, 则称,映射w=f (z)在z0 处是保角映射. 如果w=f (z)在区域,D内的每一点都是保角映射, 则称w=f (z)是区域 D,上的保角映射.,定理5.1 若w=f (z)在z0处解析, 且 则,w=f (z)在z0处是保角映射. 若w=f (z)在区域 D解析,且在D内 则w=f (z)是区域 D上的保角映射.,例5.1 w=z2 在z0处是保角映射, 但在z=0处不,具有保角性.,解 因为 所以当z0时, 因此在,

6、z0处, w=z2是保角映射.,当z=0时, 在 z平面内取过 z=0点的两条射线为,(正实轴)和,不保角,5.1.5 关于保角映射的一般理论,实际上,逆定理也成立. 因此,映射 w=f (z)是区域 D上的保角映射的充分必要,条件是f (z)在D内解析, 并且,并且可以证明,如果f (z)是区域D上不恒为常数的解析函数, 则,点集 G=f (D)是 w 平面上的区域, 即解析函数把区域,映射成区域.,基本问题:,(1) 给定两个区域 D和G, 是否存在双方单值的保,角映射, 把D映射成G ? (存在性问题),(2) 如果存在这样的映射, 如何求出? (实现性问题),关于存在性问题，有下面的R

7、iemann定理.,定理5.2 如果 D和G分别是 z平面和 w平面平面,上边界多于一个点的单连通区域, 则存在双方单值,的保角映射w=f (z), 把D映射成G .,Riemann定理中的保角映射f (z)不一定惟一.,但如果再加一些条件, 如,(其中 ), 则存在惟一的保,角映射w=f (z), 使得,注 边界不多于一个点的情形:,(1) 扩充复平面(没有边界点);,(2) 扩充复平面除去一个点, 例如无穷远点(只有一,个边界点).,关于实现性问题, 可利用下面的边界对应原理.,定理5.3 设D是z平面内由一条分段光滑Jordan,曲线C围成的区域, f (z)是D及其边界C上的解析函数，

8、,并把C双方单值地映射成 w平面上的光滑曲线G. 如,果 C的正向映射成G的正向, 则在映射w=f (z)下, C,的内部区域D映射成G 正向的左侧 (若G也是Jordan,曲线, 则映射成G 的内部)区域; 如果C的正向映射成,G的负向, 则C的内部区域映射成G 的右侧 (若G也是,Jordan曲线, 则映射成G 的外部)区域.,对于C不是Jordan曲线的情况也可得出类似的,边界对应原理结论, 并且在边界的个别点不满足双,方单值的情况也成立, 但在这些点不能保证保角性.,例5.2 求区域 在映射,w=f (z)=z2下的像G=f (D).,解 显然, w=z2 在D内处处可,导，且 因此

9、f (z)是,上保角映射. 由,可知, D的边界,在w平面上的像为,因D的内点 映射成w平面上的点,的内点. 又因为 故,根据 , 应该是G 的,5.2 分式线性映射,1 分式线性映射的概念,2 几种简单的分式线性映射,3 分式线性映射的基本性质,4 唯一确定分式线性映射的条件,5 分式线性映射的典型例子,5.2.1 分式线性映射的概念,称为分式线性映射.,那么映射的值域是 w平面上的一点.,( 是复常数, ),注1 因为 所以,保证了映射是保角映射. 否则 即w 常数,注2 由 可得,即分式线性映射的逆映射也是分式线性映射.,注3 两个分式线性映射,复合仍是分式线性映射,注4 分式线性映射,

10、如果c=0, 则由 知 于是,其中,如果c 0, 则,其中 所以一般的分式线,性映射是由下列简单的分式线性映射复合而成:,5.2.2 几种简单的分式线性映射,1. 平移映射,(为方便起见, 令w平面与z平面重合),这是扩充z平面到扩充w平面的双方单值映射.,在此映射下, z沿着复数,移距离 |b|, 得到像w.,b 所表示的向量方向平,2. 旋转映射,(a是实数).,它把点z以原点为中心旋转a 角(a 0时按逆时,针, a 1,时放大, 0r 0, b为实数), 即相似和平移映射也满,足要求. 但它们是平凡的, 没有实际意义.,.,.,.,.,.,.,例5.4 求把上半平面 映射成单位圆,内部

11、 的分式线性映射.,解 在 x 轴上取三点 使得,它们依次对应于 u 轴上三点,(方法一),于是所求的分式线性映射为,化简可得,并且 与 的环绕方向相同.,注 同样, 如果选取其他三对不同点, 也能求出,满足要求, 但形式不同的的分式线性映射.,方法二,解 实轴映射成单位圆周. 设上半平面中的点,.,.,.,a 关于实轴的对称点 映射成w=0关于 的对,称点z=.,z=a 映射成圆心w=0, 由保对称性和 ,上半平面映为单位圆内部的分式线性映射一般形式,说明,则所求映射为 其中k是待定常数. 由,于 映射成 上的点, 所以,设 (q 为实数), 则,取 时,取 时,(与方法一相同),例5.5

12、求把上半平面 映射成圆域内部,的分式线性映射, 使,解 由例5.4中的解法二可知，映射,把上半平面 映射成单位圆内部,再作相似映射与平移映射，得,(q 为实数),这样, 映射成 且,因为,再由已知条件 可见 即,所以要求的分式线性映射是,.,.,.,例5.6 求把单位圆内部 映射成单位圆内,部 的分式线性映射.,解 在 内取一点z1=a 0, 设z1的像为w1=0.,因为z1=a 关于圆周 的对称点是,而条件,要求分式线性映射把 映射成 所以根据,分式线性映射的保对称性, 映射成w1=0关于,的对称点,这样的分式线性映射为,其中 是复常数.,容易验证, 当 时,因为 映射成 所以当 时,设 (

13、q 为实数) , 则所求的分式线性映射为,(q 为实数).,注 旋转映射 (q 为实数)也满足要求. 但,它是平凡的, 没有实际意义.,例5.7 求一个分式线性映射, 把由两圆周,所围成的偏心圆环域D映射成中心在w=0的同心圆,环域G, 且使其外半径为1.,解 设所求分式线性映射把z平面内两点z1和z2,分别映射成w平面内的w1=0和w2=. 由于w1和w2同,同时关于同心圆环域 G 的两个边界圆周对称, 由分,式线性映射的保对称性, z1和 z2 应同时关于圆周C1,和C2对称. 因此, z1和 z2 应在 C1和 C2的圆心连线上，,即在实轴上, 设 根据对称性,解方程得 (或 ).,下面

14、只考虑 的情形.,由 可知圆周C2映射成外边界,这时 于是所求的分式线,性映射的形式为,(k为复常数).,因为z=0在 和 的内部,在C2取 则 于是,由此可得 即 (q 为实数).,5.3 几个初等函数所构成的映射,1 幂函数构成的映射,2 指数函数与对数函数构成的映射,5.3.1 幂函数构成的映射,为了讨论方便, 在本节中设 的取值范围为,幂函数 在全平面解析，且,如果 则 故该映射在 点处处,保角.,下面讨论 点. 设 则在映,射 下,根式取为主值, 整数,的射线 映射成w平面上的射线 特别,地, 把正实轴 映射成正实轴 因此,故在z=0点不具有保角性.,),),由此可见, 映射 把z平

15、面上以原点为起点,映射 将角形区域 映射成角,形区域,特殊情况:,),上岸,沿正实轴割开的w平面,下岸,角形区域,角形区域,映射成正实轴的上岸,映射成正实轴的下岸,角形区域,上半平面,),同时, 把z平面上的圆周 映射成 w,平面上的圆周,在区域 内, 是双方,单值的保角映射.,用类似的方法可以讨论 它也是把角形,区域映射成角形区域的映射, 不同点只是角形区域,的顶角变成原来顶角的,实际上它是 的逆,映射.,),),若将角形区域映射成角形区域, 一般应用幂函数.,例5.8 求把角形区域 映射成单位,圆内部 的双方单值保角映射.,解,因此所求映射为,),例5.9 求把在单位圆 的内部, 从原点沿

16、正,实轴的半径上有割痕的区域(即在单位圆 内去,掉 )映射成单位圆内部 的,双方单值保角映射.,解,5.3.2 指数函数与对数函数 构成的映射,指数函数 在全平面解析, 且 处,处不为零. 因此, 它是全平面上的保角映射.,设 则,(1),(2),(3) 设,特殊情形,若将带形区域映射成角形区域, 一般应用指数函数.,例5.10 求把带形区域 映射成单位,圆内部 的双方单值保角映射.,解,因此所求映射为,区域 上指数函数的反函数是对数,函数主值 在复平面除去原点与负实轴的区,域 D内, 因此,是D上的保角映射.,对数函数可以把角形区,域映射成带形区域.,5.4 保角映射举例,例5.11 求把

17、和 的公共,部分映射成上半平面的双方单值保角映射.,解 圆 和 交于两点,并且交角等于 因此，映射 把 与,分别映射成 平面上的原点和无穷远点, 而,将所给区域映射成以原点为顶点的角形区域, 且顶,角等于 当z=0时, 应在角形区域的平分线,上, 所以负实轴为该角形区域的角平分线. 于是该,角形区域为,例5.12 求把 映射成,上半平面的双方单值保角映射.,解 区域D的边界y=1和 在 i点相切, 因此,映射 把y=1和 映射成平行线, 把区域,映射成带形区域,例5.13 求把具有割痕,的上半平面映射成上半平面 的双方单值保,角映射.,解 映射 把割痕,映射为z1平面上的割痕 把正,负实轴映射为z1平面上的割痕,例5.14 求把上半带形区域,映射成上半平面 且满足,的双方单值保角映射.,解,注 虽然 已经把上半带形区域,映射成了上半平面,例5.15 求把扩充复平面上单位圆的外部区域,映射成具有割痕 的扩,充w平面的双方单值保角映射.,解,儒可夫斯基函数,儒可夫斯基函数,儒可夫斯基利用这样的保角映射成功地解决了,机翼截面的绕流问题, 对空气动力学与航空工业的发,展曾起到重要作用.,总 结,1. 幂函数能把一个角形区域(顶点在原点)映射成 上半平面;