工程数学-复变函数-第12讲

1、1,工程数学 第12讲,本文件可从网址 上下载 (单击ppt讲义后选择工程数学子目录),2,4 相互独立的随机变量,3,定义 设F(x,y)及FX(x),FY(y)分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数. 若对于所有x,y有 PXx,Yy=PXxPYy, (4.1) 即 F(x,y)=FX(x)FY(y), (4.2) 则称随机变量X和Y是相互独立的.,4,设(X,Y)是连续型随机变量, f(x,y), fX(x), fY(y)分别为(X,Y)的概率密度和边缘概率密度, 则X和Y相互独立的条件(4.2)等价于 f(x,y)=fX(x)fY(y) (4.3) 几乎处处成立. 注:

2、此处几乎处处成立的含义是: 在平面上除去面积为零的集合以外, 处处成立.,5,当(X,Y)是离散型随机变量时, X和Y相互独立的条件(4.2)式等价于: 对于(X,Y)的所有可能取的值(xi,yj)有 PX=xi,Y=yj=PX=xiPY=yj. (4.4),6,例如 1例2中的随机变量X和Y, 由于,故有 f(x,y)=fX(x)fY(y), 因而X,Y是相互独立的.,7,又如, 若X,Y具有联合分布律,则X,Y也是相互独立的. 再如2例1中的随机变量F和D, 由于PD=1,F=0=1/10PD=1PF=0. 因而F和D不是相互独立的.,8,二维正态随机变量(X,Y)的概率密度为,其边缘概率

3、密度fX(x),fY(y)的乘积为,易证X和Y独立的充要条件是r=0.,9,例 一负责人到达办公室的时间均匀分布在812时, 他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时, 设他们到达的时间相互独立, 求他们到达时间相差不超过5分钟(1/12小时)的概率. 解 设X和Y分别是负责人和他的秘书到达办公室的时间, 由假设X和Y的概率密度分别为,10,因为X,Y相互独立, 故(X,Y)的概率密度为,按题意需要求概率P|X-Y|1/12. 画出区域: |x-y|1/12, 以及长方形8x12; 7yz =1-PXz,Yz=1-P(XzPYz 即 Fmin(z)=1-1-FX(z)1-FY(z). (5.8

4、) 以上结果容易推广到n个相互独立的随机变量的情况.,39,设X1,X2,.,Xn是n个相互独立的随机变量, 它们,40,特别, 当X1,X2,.,Xn相互独立且具有相同分布函数时有 Fmax(z)=F(z)n, (5.11) Fmin(z)=1-1-F(z)n. (5.12) 例4,X,Y,L1,L2,X,Y,L1,L2,X,Y,L1,L2,41,设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联接而成, 联接的方式分别为(1)串联,(2)并联,(3)备用(当系统L1损坏时, 系统L2开始工作). 设L1, L2的寿命分别为X,Y,已知它们的概率密度分别为,其中a0, b0且ab. 试分别就以上三种

5、连接方式写出L的寿命Z的概率密度.,42,解 (1)串联的情况. 由于当L1,L2中有一个损坏时, 系统L就停止工作, 所以这时L的寿命为 Z=min(X,Y). 由(5.13), (5.14)式X,Y的分布函数分别为,43,由(5.8)式得Z=min(X,Y)的分布函数为,于是Z=min(X,Y)的概率密度为,44,(2)并联的情况 由于当L1,L2都损坏时, 系统L才停止工作, 所以这时L的寿命Z为 Z=max(X,Y) 按(5.7)式得Z的分布函数为,于是Z的概率密度为,45,(3)备用的情况. 由于这时当系统L1损坏时系统L2才开始工作, 因此整个系统L的寿命Z是L1,L2两者寿命之和, 即 Z=X+Y 按(5.3)式, 当z0时Z=X+Y的概率密度为,46,当z0时, f(z)=0, 于是Z=X+Y的概率密度为,47,作业 第三章习题,第26页 第19,20,22题 B组交作业,48,请提问,49,例2 设二维随机变量(X,Y)具有概率密度,(1)求分布函数F(x,y); (2)求概率PYX. 解 (1),50,例1 一整数N等可能地在1,2,3,.,10十个值中取一个值. 设D(N)是能整除N的正整数的个数, F=F