建立y对x的一元线性回归方程由表可知根据公式

1、11.2 一元线性回归,两个变量之间的相关系数能表明两者之间关系的密切程度，但无法用一个变量去估计另一个变量。,回归分析则可做到这一点，用自变量去估计或预测因变量。回归分析首先要区分自变量和因变量，自变量是“因”，因变量是“果”，然后建立一个方程去描述这个因果关系，即要找出两者之间关系的数学表达式，这就是一元回归；如果两个变量是线性关系称为一元线性回归。,设相关关系的两个变量为 和 ， 的值由两部分构成：一部分由 的影响确定， 用 的 函数 表示，称为回归函数；另一部分则由众多不确定性因素影响产生，可看成 取值的随机波动，记为 ，并且假定其平均值为零，即 。于是得到数学模型： 上式称为回归模型

2、，它表明当 取某个数值时， 并不必然表现为一个确定的值，而是在 附近波动，但其平均数在大量观察下趋向于确定的值 。,图11-1 企业产量与生产费用散点图,我们容易看出企业产量 和生产费用 之间的散点图大致呈直线关系。但图形中的各点并不都在条直线上，而是围绕着直线上下波动，有的在直线上面，有的在直线下面。,各散点的坐标满足方程 对于这样的散点图，我们认为 与 之间线性相关，回归函数 是线性函数，即 此时，回归模型为 (11.3)式称为一元线性回归函数，(11.4)称为一元线性回归模型。,直线截距,直线斜率,也叫做 对 的回归系数，它表示 每变动一个单位所引起的 的平均变动量,残差（也称为回归误差

3、或预测误差），代表除 外的其它次要因素形成的随机扰动。,当样本量较大时，正负干扰可相互抵消，所以我们认为 的均值为0。,回归分析的主要任务就是确定回归方程的参数 、 并判定回归函数(11.3)式是否合理。,怎样确定?,?,越小越好,常用的方法是最小二乘法(Least squares，简记为LS)。它使残差平方和(residuals sum of squares :RSS)最小,即使 最小,在计算上应先求 再求 。用最小二乘法拟合的回归方程有三个性质：,(1) ,即回归误差可以相互抵消。,(2)所拟合的回归线通过均值点 ，即通过散点图的重心，因而预测值 的均值等于实际值 的均值。,(3)残差 和

4、 、 之间无相关关系。,利用求极值的方法可解得:,案例11.2 根据表11.2中有关数据，确定该企业生产费用对产量的回归方程，并说明产量对生产费用的影响大小。,表11-2 企业生产费用与产量相关系数计算表,解：,由于产量多少决定着生产费用的多少，所以以产量x为自变量，生产费用y为因变量。,代入（11.4）,得,所求的生产费用对产量的回归方程为：,它说明该企业产量每增加1千吨，生产费用平均增加12.896万元。,案例11.3某省19902000年工业产值y与农业产值x的统计数据（单位：亿元）如表中第2、3列所示。试求工业产值对农业产值的回归函数。,解：,建立y对x的一元线性回归方程，由表可知,根

5、据公式(11.5),有,从而y对x的线性回归方程为：,可线性化的一元回归问题,常见的非线性函数及其转化为线性函数的方法：,1、双曲线 （图11-8）,令 ，则有,2、幂函数曲线 （ 图11-9 ）,令 ，则有,3、数函数曲线 （图11-10）,令 ，则有,4、负指数函数曲线 （图11-11）,令 ，则有,5、对数曲线 （图11-11）,令 ，则有,案例11.4某商店历年销售肥皂统计资料如下：,试用指数曲线预测1998年的肥皂销量。,解：,设 令 为了计算方便，再定义 ,列表计算如下：,由公式 （11.5）有,所以,已知1996年的序号是 ，那么1998年应为,所以预计1998年的销量为,回归模

6、型的拟合优度和显著性,一 、 回归模型的拟合优度,SRF,总离差,来自残差,来自回归,图11-13 总变异分解为两部分,可以证明，对最小二乘法，如下等式成立：,总平方和SST,残差平方和SSE,回归平方和SSR,越大，则 越小，因而回归方程的拟合程度越高。,定义 即 称 为可决系数（也叫做判定系数）。 越大，说明回归平方和占总平方和的比例越大，残差平方和占总平方和的比例越小，回归直线拟合优度越好。,二 、回归模型的显著性检验,为了分析Y与X之间是否存在线性关系，我们可以对回归模型进行显著性检验。通常也称为F检验。其检验步骤如下：,(1)假设回归方程是不显著的，即 原假设：方程不显著 对立假设：

7、方程显著,(2)计算回归方程的F统计量,(3)根据给定的显著性水平 和两个自由度1和(n一2)查F分布表中相应的临界值,若 ，则拒绝原假设，说明回归方程显著；,若 ，则接受原假设，说明回归方程不显著。,案例11.5 讨论案例11.2中回归方程的显著性并分析回归模型的拟合优度。,解：,通过计算可得：,根据公式（11.8）,若 查表得 ,由于实际的F值大于5.59，拒绝原假设，说明生产费用与产量之间的线性关系是显著的。再根据公式 (11.7)可得。,说明回归方程的拟合程度是较高的。,随堂练习,1、直线回归方程 中，参数 的经济意义。,答：,参数 的经济意义， 代表经济现象经过修匀的基础水平； 称为

8、回归系数，表示： 每变动一个单位时影响 平均变动的数量。,2、某企业生产的某种产品的产量与单位成本资料如下表,（1）确定直线回归方程，并说明回归系数的意义。,（2）测算产量为6500台时，单位成本为多少？,解：,由已知条件可计算出：,（1） 由式11.5可计算出：,的意义：,当产量每增加1干台时，单位成本平均下降约1.67元,（2）当x65时，代入回归方程有：,所以产量为6500台时，单位成本为76.71元,3、试述相关分析与回归分析的关系。,答：,(2)对两个变量x与y而言，相关分析只能计算一个反映两变量相关密切程度的相关系效，回归分析有时可根据研究目的不同分别建立两个不同的回归方程；,二者的区别有,(1)相关分析所研究的两个变量是对等关系，回归