高等数学(下)无穷级数.ppt

1、无穷级数,无穷级数,数项级数,幂级数,傅氏级数（数一）,第十一章,1,常数项级数的概念和性质,一、常数项级数的概念,二、无穷级数的基本性质,三、级数收敛的必要条件,第一节,第十一章,2,一、常数项级数的概念,引例 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.,依次作圆内接正,边形,这个和逼近于圆的面积 A .,设 a0 表示,即,内接正三角形面积,ak 表示边数,增加时增加的面积,则圆内接正,3,定义：,给定一个数列,将各项依,即,称上式为无穷级数，,其中第 n 项,叫做级数的一般项,级数的前 n 项和,称为级数的部分和.,次相加, 简记为,4,当级数收敛时, 称差值,为级数的余项.,则称无穷级数发散 .

2、,显然,收敛 ,则称无穷级数,并称 S 为级数的和,记作,5,例1. 讨论等比级数,(又称几何级数),( q 称为公比 ) 的敛散性.,解: 1) 若,从而,因此级数收敛 ,从而,则部分和,因此级数发散 .,其和为,6,2). 若,因此级数发散 ;,因此,n 为奇数,n 为偶数,从而,综合 1)、2)可知,时, 等比级数收敛 ;,时, 等比级数发散 .,则,级数成为,不存在 , 因此级数发散.,7,例2. 判别下列级数的敛散性:,解: (1),所以级数 (1) 发散 ;,技巧:,利用 “拆项相消” 求和,8,(2),所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .,技巧:,利用 “拆项相消” 求和,9

3、,二、无穷级数的基本性质,性质1. 若级数,收敛于 S ,则各项,乘以常数 c 所得级数,也收敛 ,说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .,即,其和为 c S .,性质2. 设有两个收敛级数,则级数,也收敛, 其和为,10,说明:,(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则,必发散 .,但若二级数都发散 ,不一定发散.,例如,(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .,11,性质3.,在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数,的敛散性.,性质4.,收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数,的和.,推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.,注意: 收敛级数去括弧后所成的级数

4、不一定收敛.,但,发散.,例如，,12,三、级数收敛的必要条件,性质5、设收敛级数,则必有,可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .,例如,其一般项为,不趋于0,因此这个级数发散.,13,注意:,并非级数收敛的充分条件.,例如, 调和级数,虽然,但此级数发散 .,事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则,但,矛盾!,所以假设不真 .,14,二、交错级数及其审敛法,三、绝对收敛与条件收敛,第二节,一、正项级数及其审敛法,常数项级数的审敛法,第十一章,15,一、正项级数及其审敛法,若,定理 1. 正项级数,收敛,部分和序列,有界 .,则称,为正项级数 .,定理2 (比较审敛法),设,

5、且存在,对一切,有,(1) 若强级数,则弱级数,(2) 若弱级数,则强级数,则有,收敛 ,也收敛 ;,发散 ,也发散 .,是两个正项级数,(常数 k 0 ),16,例1. 讨论 p 级数,(常数 p 0),的敛散性.,解: 1) 若,因为对一切,而调和级数,由比较审敛法可知 p 级数,发散 .,发散 ,17,因为当,故,考虑强级数,的部分和,故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .,时,2) 若,18,调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.,若存在,对一切,19,证明级数,发散 .,证: 因为,而级数,发散,根据比较审敛法可知,所给级数发散 .,例2.,20,定理3. (比较审敛

6、法的极限形式),则有,两个级数同时收敛或发散 ;,(2) 当 l = 0,(3) 当 l =,设两正项级数,满足,(1) 当 0 l 时,21,是两个正项级数,(1) 当 时,两个级数同时收敛或发散 ;,特别取,可得如下结论 :,对正项级数,(2) 当 且 收敛时,(3) 当 且 发散时,也收敛 ;,也发散 .,22,的敛散性.,例3. 判别级数,的敛散性 .,解:,根据比较审敛法的极限形式知,例4. 判别级数,解:,根据比较审敛法的极限形式知,23,定理4 . 比值审敛法 ( Dalembert 判别法),设,为正项级数, 且,则,(1) 当,(2) 当,时, 级数收敛 ;,或,时, 级数发

7、散 .,说明: 当,时,级数可能收敛也可能发散.,例如, p 级数,但,级数收敛 ;,级数发散 .,24,例5. 讨论级数,的敛散性 .,解:,根据定理4可知:,级数收敛 ;,级数发散 ;,25,例6. 讨论级数,的敛散性 .,26,定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法),设,为正项级,则,数, 且,时 , 级数可能收敛也可能发散 .,例如 , p 级数,说明 :,但,级数收敛 ;,级数发散 .,27,例7. 讨论级数,的敛散性 .,例8. 讨论级数,的敛散性 .,28,二 、交错级数及其审敛法,则各项符号正负相间的级数,称为交错级数 .,定理6 . ( Leibnitz 判别法 ),

8、若交错级数满足条件:,则级数,收敛 , 且其和,其余项满足,29,收敛,收敛,用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:,收敛,上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?,发散,收敛,收敛,30,三、绝对收敛与条件收敛,定义: 对任意项级数,若,若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级,收敛 ,数,为条件收敛 .,均为绝对收敛.,例如 ：,绝对收敛 ；,则称原级,数,条件收敛 .,31,定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .,说明：上述逆定理不一定成立。,即,发散,发散,32,例9. 证明下列级数绝对收敛 :,证: (1),而,收敛 ,收敛,因此,绝对收敛 .,33,(2)

9、令,因此,收敛,绝对收敛.,34,内容小结,1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2. 利用正项级数审敛法,必要条件,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,35,3. 任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz判别法:,则交错级数,收敛,概念:,绝对收敛,条件收敛,36,例1、（06，一，三）,若,则级数（ ）,A、,B、,C、,D、,例2、（05，三）设,若,则下列结论正确的是（ ）,A、,B、,C、,D、,37,第三节,一、函数项级数的概念,二、幂级数及其收敛性,三、幂级数的运算,幂级数,第十一章,38,一、 函

10、数项级数的概念,设,为定义在区间 I 上的函数项级数 .,对,若常数项级数,敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域 ;,若常数项级数,为定义在区间 I 上的函数, 称,收敛,发散 ,所有,为其收,为其发散点,发散点的全体称为其发散域 .,39,为级数的和函数 , 并写成,若用,令余项,则在收敛域上有,表示函数项级数前 n 项的和, 即,在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数,称它,40,例如, 等比级数,它的收敛域是,它的发散域是,或写作,又如, 级数,级数发散 ;,所以级数的收敛域仅为,有和函数,41,二、幂级数及其收敛性,形如,的函数项级数称为幂级数,其中数列,下面着重讨论,例如, 幂级数

11、,为幂级数的系数 .,即是此种情形.,的情形, 即,称,42,收敛,发散,定理 1. ( Abel定理 ),若幂级数,则对满足不等式,的一切 x 幂级数都绝对收敛.,反之, 若当,的一切 x , 该幂级数也发散 .,时该幂级数发散 ,则对满足不等式,43,幂级数在 (, +) 收敛 ;,由Abel 定理可以看出,中心的区间.,用R 表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为,则,R = 0 时,幂级数仅在 x = 0 收敛 ;,R = 时,幂级数在 (R , R ) 收敛 ;,(R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.,R 称为收敛半径 ，,在R , R ,可能收敛也可能发散 .,外发

12、散;,在,(R , R ) 称为收敛区间.,44,定理2. 若,的系数满足,1) 当 0 时,2) 当 0 时,3) 当 时,则,的收敛半径为,说明:据此定理,45,对端点 x =1,的收敛半径及收敛域.,解:,对端点 x = 1, 级数为交错级数,收敛;,级数为,发散 .,故收敛域为,例1.求幂级数,46,例2. 求下列幂级数的收敛域 :,解: (1),所以收敛域为,(2),所以级数仅在 x = 0 处收敛 .,规定: 0 ! = 1,47,例3.,的收敛半径 .,解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径.,时级数收敛,时级数发散,故收敛半径为,故直接由,48,例4.

13、,的收敛域.,解: 令,级数变为,当 t = 2 时, 级数为,此级数发散;,当 t = 2 时, 级数为,此级数条件收敛;,因此级数的收敛域为,故原级数的收敛域为,即,49,三、幂级数的运算,定理3. 设幂级数,及,的收敛半径分别为,令,则有 :,其中,50,说明:,两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比,原来两个幂级数的收敛半径小得多.,例如, 设,它们的收敛半径均为,但是,其收敛半径只是,51,定理4 若幂级数,的收敛半径,则其和函,在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与,逐项求积分,运算前后收敛半径相同:,注: 逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变.,52,例5. 求级数,的

14、和函数,解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 ,及,收敛 ,53,因此由和函数的连续性得:,而,及,54,内容小结,1. 求幂级数收敛域的方法,1) 对标准型幂级数,先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 .,2) 对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式),求收敛半径时直接用比值法或根值法,2. 幂级数的性质,两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与,也可通过换元化为标准型再求 .,乘法运算.,55,2) 在收敛区间内幂级数的和函数连续;,3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.,56,第四节,两类问题:,在收敛域内,和函数,本节内容:,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,二、函数展开成幂级数

15、,函数展开成幂级数,第十一章,57,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,其中,( 在 x 与 x0 之间),称为拉格朗日余项 .,则在,若函数,的某邻域内具有 n + 1 阶导数,此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,该邻域内有 :,58,为f (x) 的泰勒级数 .,则称,当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .,1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？,2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?,待解决的问题 :,若函数,的某邻域内具有任意阶导数,59,定理1 .,各阶导数,则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要,条件是,f (x) 的泰勒公式中的余项满

16、足:,设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域,内具有,定理2.,若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是,唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.,60,二、函数展开成幂级数,1. 直接展开法,由泰勒级数理论可知,第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;,第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;,第三步 判别在收敛区间(R, R) 内,是否为,骤如下 :,展开方法,直接展开法, 利用泰勒公式,间接展开法, 利用已知其级数展开式,0.,的函数展开,61,例1. 将函数,展开成 x 的幂级数.,解:,其收敛半径为,对任何有限数 x , 其余项满足,故,(

17、在0与x 之间),故得级数,62,当 m = 1 时,63,2. 间接展开法,利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例4. 将函数,展开成 x 的幂级数.,解: 因为,把 x 换成, 得,将所给函数展开成 幂级数.,64,例5. 将函数,展开成 x 的幂级数.,解:,从 0 到 x 积分, 得,定义且连续,区间为,利用此题可得,上式右端的幂级数在 x 1 收敛 ,所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛,65,例6. 将,展成,解:,的幂级数.,66,例7. 将,展成 x1 的幂级数.,解:,67,(06,一)将,展成关于x的幂级数,68,内容小结,1. 函数的幂级数展开法,(1) 直

18、接展开法, 利用泰勒公式 ;,(2) 间接展开法, 利用幂级数的性质及已知展开,2. 常用函数的幂级数展开式,式的函数 .,69,当 m = 1 时,70,第七节,一、三角级数及三角函数系的正交性,二、函数展开成傅里叶级数,三、正弦级数和余弦级数,第十一章,傅里叶级数,71,一、三角级数及三角函数系的正交性,简单的周期运动 :,(谐波函数),( A为振幅,复杂的周期运动 :,令,得函数项级数,为角频率,为初相 ),(谐波迭加),称上述形式的级数为三角级数.,72,定理 1. 组成三角级数的函数系,证:,同理可证 :,正交 ,上的积分等于 0 .,即其中任意两个不同的函数之积在,73,上的积分不

19、等于 0 .,且有,但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在,74,二、函数展开成傅里叶级数,定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且,右端级数可逐项积分, 则有,叶系数为系数的三角级数 称为,的傅里叶系数 ;,由公式 确定的,的傅里,的傅里叶级数 .,称为函数,以,75,76,定理3 (收敛定理, 展开定理),设 f (x) 是周期为2的,周期函数,并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:,1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;,2) 在一个周期内只有有限个极值点,则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有,x 为间断点,其中,为 f (x) 的傅里叶系

20、数 .,x 为连续点,注意: 函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.,77,例1.,设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在,上的表达式为,解: 先求傅里叶系数,将 f (x) 展成傅里叶级数.,78,79,1) 根据收敛定理可知,时,级数收敛于,2) 傅氏级数的部分和逼近,说明:,f (x) 的情况见右图.,80,例2.,上的表达式为,将 f (x) 展成傅里叶级数.,解:,设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在,81,说明: 当,时, 级数收敛于,82,周期延拓,傅里叶展开,上的傅里叶级数,定义在 ,上的函数 f (x)的傅氏级数展开法,其它,83,例3.

21、 将函数,级数 .,则,解: 将 f (x)延拓成以,展成傅里叶,2为周期的函数 F(x) ,84,利用此展式可求出几个特殊的级数的和.,当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得,说明:,85,设,已知,又,86,三、正弦级数和余弦级数,1. 周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数,定理4 . 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里叶级数为,周期为2的偶函数 f (x) , 其傅里叶级数为余弦级数 ,它的傅里叶系数为,正弦级数,它的傅里叶系数为,87,例4. 设,的表达式为 f (x)x ,将 f (x) 展成傅里叶级数.,是周期为2 的周期函数,它在,解: 若不计,周期为 2 的奇函