人教版26.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质

1、二次函数y=ax2+bx+c 图象和性质,一般地，抛物线y=a(x-h) +k与y=ax 的 相同， 不同,2,2,知识回顾：,形状,位置,y=ax,2,y=a(x-h) +k,2,上加下减,左加右减,知识回顾：,抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:,1.当a0时，开口 ， 当a0时，开口 ，,向上,向下,2.对称轴是 ；,3.顶点坐标是 。,直线X=h,(h,k),直线x=3,直线x=1,直线x=2,直线x=3,向上,向上,向下,向下,（3，5）,（1，2）,（3，7 ）,（2，6）,你能说出二次函数y=x 6x21图像的特征吗？,2,1,2,探究:,如何画出 的图象呢?,我们知道,像y

2、=a(x-h)2+k这样的函数,容易确定相应抛物线的顶点为(h,k), 二次函数 也能化成这样的形式吗?,配方,y= (x6) +3,2,1,2,你知道是怎样配方的吗？,.,怎样把函数y=3x2-6x+5的转化成y=a(x-h）2+k的形式?,函数y=ax+bx+c的图象,配方:,提取二次项系数,配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方,化简:去整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项 掉中括号,老师提示: 配方后的表达式通常称为配方式或顶点式,归纳,二次函数 y= x 6x +21图象的 画法：,(1)“化” ：化成顶点式 ；,(2)“定”：确定开口方向、对称轴、顶 点坐标；,(3)“画

3、”：列表、描点、连线。,2,1,2,.,函数y=3x2-6x+5的图象特征,2.根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称轴,顶点坐标.,a=30,开口向上; 对称轴:直线x=1; 顶点坐标:(1,2).,6,5,4,3,7,8,9,函数y=3x2-6x+5的图象特征,求次函数y=ax+bx+c的对称轴和顶点坐标,函数y=ax+bx+c的顶点是,配方:,提取二次项系数,配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方,整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项,这种形式的式子通常被称为抛物线的顶点式.,函数y=ax+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？,1. 说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标：,.

4、,（3）开口方向：当 a0时，抛物线开口向上；当 a0时，抛物线开口向下。,（1）顶点坐标,（2）对称轴是直线,.,如果a0，当,时，函数有最小值，,如果a0，当,时，函数有最大值，,（4）最值：,.,若a0，当,时，y随x的增大而增大；,当,时，y随x的增大而减小。,若a0，当,时，y随x的增大而减小；,当,时，y随x的增大而增大。,（5）增减性：,.,与y轴的交点坐标为（0，c）,(6)抛物线,与坐标轴的交点,抛物线,抛物线,与x轴的交点坐标为,，其中,为方程,的两实数根,.,所以当x2时， 。,解法一（配方法）：,例5 当x取何值时，二次函数 有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？,.

5、,因为 所以当x2时， 。,因为a20，抛物线 有最低点，所以y有最小值，,总结：求二次函数最值，有两个方法 (1)用配方法；(2)用公式法,解法二（公式法）：,.,又,例6已知函数 ，当x为何值时，函数值y随自变量的值的增大而减小。,解法一： ，,抛物线开口向下，, 对称轴是直线x3，当 x3时，y随x的增大而减小。,.,解法二：,，抛物线开口向下，, 对称轴是直线x3，当 x3时，y随x的增大而减小。,.,例7 已知二次函数,的最大值是0，求此函数的解析式,.,解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐标的值为0所以应满足以下的条件组,由解方程得,所求函数解析式为,。,.,3,图象的画法,步骤：

6、1利用配方法或公式法把,化为,的形式。,2确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。,3在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图。,.,的图像，利用函数图像回答：,例3 画出,(1)x取什么值时，y0？ (2)x取什么值时，y0？x取什么值时y0？ (3)x取什么值时值或最小值？,.,（2,2）,x=2,（0,6）,（1,0）,（3,0）,（4,6）,由图像知：,当x1或x3时， y0；,(2)当1x3时， y0；,(3)当x1或x3时， y0；,(4)当x2时， y有最大值2。,x,y,.,与x轴的交点情况可由对应的一元二次方程,(7)抛物线,的根的判别式判定：, 0有两个交点抛物线与x轴相

7、交；, 0有一个交点抛物线与x轴相切；, 0没有交点抛物线与x轴相离。,.,例 已知抛物线,k取何值时，抛物线经过原点； k取何值时，抛物线顶点在y轴上； k取何值时，抛物线顶点在x轴上； k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。,.,，所以k4，所以当k4时，抛物线顶点在y轴上。,，所以k7，所以当k7时，抛物线经过原点；,抛物线顶点在y轴上，则顶点横坐标为0，即,解：抛物线经过原点，则当x0时，y0，所以,.,，所以当k2或k6时，抛物线顶点在x轴上。,抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0， 即,抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0， 即,，整理得,，解得：,由、知，当k4或k2或k6时，抛物线

8、的顶点在坐标轴上。,抛物线位置与系数a，b，c的关系：,a决定抛物线的开口方向： a0 开口向上,a0 开口向下, a，b决定抛物线对称轴的位置: (对称轴是直线x = ), a，b同号 对称轴在y轴左侧； b=0 对称轴是y轴； a，b异号 对称轴在y轴右侧,2a,b,【左同右异】,.,抛物线yax2bxc中a，b，c的作用。,(3)c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置。,当x0时，yc，抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点(0，c)，,c0抛物线经过原点；,c0与y轴交于正半轴；图象与y轴交点在x轴上方；,c0与y轴交于负半轴。图象与y轴交点在x轴下方。,.,对于y=ax

9、2+bx+c我们可以确定它的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交点时），这样就可以画出它的大致图象。,a=-10, 开口向下，顶点坐标（2.5，9/4），与y轴交点坐标为 （0，- 4），与x轴交点为（1,0)、(4,0），,.,y=2x2-5x+3,y=(x-3)(x+2),求下列二次函数图像的开口、顶点、对称轴,请画出草图:,小试牛刀,3,9,6,-1,例2、已知函数y = ax2 +bx +c的图象如下图所示，x= 为该图象的对称轴，根 据图象信息你能得到关于系数a，b，c的一些什么结论？,y,1,.,.,x,.,3. 已知如图是二次函数yax2b

10、xc的图象，判断以下各式的值是正值还是负值 (1)a；(2)b；(3)c；(4)b24ac；(5)2ab； (6)abc；(7)abc,.,分析：已知的是几何关系(图形的位置、形状)，需要求出的是数量关系，所以应发挥数形结合的作用,.,解： (1)因为抛物线开口向下，所以a0；,判断a的符号,.,(2)因为对称轴在y轴右侧，所以,，而a0，故b0；,判断b的符号,.,(3)因为x0时，yc，即图象与y轴交点的坐标是(0，c)，而图中这一点在y轴正半轴，即c0；,判断c的符号,.,(4)因为顶点在第一象限，其纵坐标,，且a0，所以,，故,。,判断b24ac的符号,.,，且a0，所以b2a，故2a

11、b0；,(5)因为顶点横坐标小于1，即,判断2ab的符号,.,(6)因为图象上的点的横坐标为1时，点的纵坐标为正值，即a12b1c0，故abc0；,判断abc的符号,.,(7)因为图象上的点的横坐标为1时，点的纵坐标为负值，即a(1)2b(1)c0，故abc0,判断abc的符号,1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.不论k 取任何实数，抛物线y=a(x+k)2+k(a0)的顶点都在 （ ） A.直线y = x上 B.直线y = - x上 C.x轴上 D.y轴上 3.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则a的

12、值是 （ ） A 4 B. -1 C. 3 D.4或-1,C,B,A,4.若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象如下,与x轴的一个交点为(1,0),则下列各式中不成立的是 （ ） A.b2-4ac0 B. 0,5.若把抛物线y = x2 - 2x+1向右平移2个单位,再向下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则（ ） A.b=2 c= 6 B.b=-6 , c=6 C.b=-8 c= 6 D.b=-8 , c=18,B,B,6.若一次函数 y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数 y=ax2+bx-3 的大致图象是 ( ),7.在同一直角坐标系中,二次函数 y=ax2+bx+c 与一次函数y=ax+c的大致图象可能是 （ ）,C,