控制工程基础

1、第2章 控制系统的数学模型,1,控制工程基础,主讲教师：赵转哲 机械与汽车工程学院 安徽工程大学,第1章 绪论,2,参考资料,杨叔子 主编机械工程控制基础 控制工程基础的经典教材,上 页,下 页,目 录,3,目 录,上 页,下 页,第2章：控制系统的数学模型,第3章：控制系统的时间响应分析,第4章：控制系统的频率特性分析,第5章：控制系统的综合与校正,第1章：绪论,第1章 绪论,4,第1章 绪论,1.1 概述,1.2 自动控制系统的基本概念,上 页,下 页,目 录,第1章 绪论,5,本章的教学大纲,1.了解自动控制理论研究的对象、作用； 2.掌握自动控制系统结构、工作原理及系统结构方框图； 3

2、.掌握输入量、输出量、反馈、偏差等基本概念； 4.了解控制系统的组成、分类及基本要求。,教学重点：自动控制系统工作原理、系统结构方框图及输入量、输出量、反馈、偏差等基本概念。,上 页,下 页,目 录,第1章 绪论,6,1.1 概述,1.学科性质：技术科学（应用理论）,2.研究对象：自动控制系统,3.研究问题：自动控制系统的性能(好坏),如何建立数学模型,工程上分析和计算系统的方法,一般的理论和规律,例如机器人，火箭发射，数控机床(视频)等,上 页,下 页,目 录,第1章 绪论,7,一、发展阶段,经典控制：20世纪50年代末形成完整的体系，以传递函数为基础研究单输入、输出系统（SISO）的反馈控

3、制系统。采用的方法主要有：时域分析法、根轨迹法和频率法。,现代控制：6070年代，以状态空间法为基础研究多输出输入(MIMO)系统，变参数、非线性、高精度等系统。采用的方法主要有：状态空间分析法。,本课程研究经典控制的主要内容。,大系统理论和智能控制论：大系统论是用控制和信息的观点研究大系统的结构方案、总体设计中的分析方法和协调问题，智能控制论是研究与模拟人类活动的机理的新的控制论。,上 页,下 页,目 录,第1章 绪论,8,二、 自动控制理论的发展简史,1. 1765瓦特飞锤控制器的应用，可以看成是自动控制学科发展的起点。,上 页,下 页,目 录,第1章 绪论,9,2.1868年，麦克斯维(

4、J.CMaxwell)针对调速器的震荡问题（稳定性）研究，发表了论调节器，最早的论文,3. 1948年维纳（N.Wiener）发表控制论关于在动物和机器中控制和通讯的科学一文，是控制论正式成为一门学科的标志。,1932年奈奎斯特(HNyquist)在研究负反馈放大器时创立了有名的稳定性判据，并提出了稳定裕量的概念。,1945年伯德(H.W.Bode)提出了分析控制系统的另一种图解方法即频率法。,1948年伊万斯(w. KEvans)又创立了根轨迹法。,点击查看主要事迹,上 页,下 页,目 录,1877年，劳斯(ERouth)和1895年赫尔维茨(AHurwith)分别独立地提出了关于判断控制系

5、统稳定性的代数判据。,导出了调节器的微分方程，并在平衡点附近进行线性化处理，指出稳定性取决于特征方程的根是否具有负的实部。,第1章 绪论,10,4. 1954年，钱学森用英文发表 “工程控制论” ，把控制论推广到其他领域。 继而出现了生物控制论、经济控制论、社会控制论等。,点击查看主要事迹,上 页,下 页,目 录,第1章 绪论,11,三、 主要研究的问题,研究内容有二：一为系统分析，二为系统的设计（包括系统综合）,系统设计：寻求一个能完成一定控制任务，满足一定控制要求的控制系统。,系统综合：控制系统设计好后，即控制系统的主要元件和结构确定后，为了满足系统的性能指标，需要改变控制系统的某些参数或

6、结构或附加某种装置。这个过程称为系统的校正或系统的综合。,系统分析：已知系统的结构和参数，研究它在某种典型输入信号作用下，被控量变化的全过程。从这个变化过程得出其性能指标，并讨论性能指标和系统的结构、参数的关系。,上 页,下 页,目 录,第1章 绪论,12,英文一般翻译：Control Theory 英语原文：Cybernetics ： “控制论” 来源希腊文“mberuhhtz”，原意为“操舵术”，就是掌舵的方法和技术。1948年维纳在控制论关于在动物和机器中控制和通讯的科学提出：控制论是一门研究机器、生命社会中控制和通讯的一般规律的科学，他特意创造“Cybernetics”这个英语新词来命

7、名这门科学。 它揭示了机器中的通信和控制机能与人的神经、感觉机能的共同规律；为现代科学技术研究提供了崭新的科学方法；它从多方面突破了传统思想的束缚，有力地促进了现代科学思维方式和当代哲学观念的一系列变革。 控制论三要素：信息、反馈、控制。,四、 控制论,上 页,下 页,目 录,第1章 绪论,13,五、自动控制,定义：是指在没有人直接参与的情况下，利用外加的设备或装置(控制装置)，使机器、设备、或者生产过程(控制对象)的某个工作状态或参数(被控量)自动的按照预定的规律运行。,生物、医学、环境、经济管理等其它,应用范围：,工业：数控机床、轧钢机、恒温箱等,农业：恒温大棚、农业自动化机械,宇航：火箭

8、、飞船、卫星,机器人、导弹制导、核动力等高新领域,道路交通：信号灯控制、车牌自动识别,日常：冰箱、洗衣机、空调,上 页,下 页,目 录,view3,view2,view1,第1章 绪论,14,上 页,下 页,目 录,自动火炮、导弹制导等高新领域的应用,第1章 绪论,15,上 页,下 页,目 录,在雷达领域的应用,第1章 绪论,16,上 页,下 页,目 录,在家电领域的应用,第1章 绪论,17,道路交通的应用车牌自动识别,上 页,下 页,目 录,第1章 绪论,18,恒温恒湿试验箱又名环境试验箱，实验各种材料的耐热、耐寒、耐干、耐湿性能。适合电子、电器、食品、车辆、金属、化学、建材等实验,上 页,

9、下 页,目 录,第1章 绪论,19,生化培养箱是供医疗卫生、医药、生物、农业、科研等部门作储藏菌种、生物培养等科研必需设备,上 页,下 页,目 录,第1章 绪论,20,上 页,下 页,目 录,在农业机械领域的应用,第1章 绪论,21,详细介绍请点击观看中国探月计划全程模拟（视频）,上 页,下 页,目 录,在太空领域的应用如“嫦娥”奔月计划,点击,第1章 绪论,22,1.2 自动控制系统的基本概念,上 页,下 页,目 录,本节的难点： 反馈控制的基本原理,本节的重点：,恒温箱的控制过程 反馈控制的原理 自动控制系统的分类 自动控制系统的要求,第1章 绪论,23,控制过程： 1.测量元件（温度计）

10、测出箱内的实际温度（被控量） 2.与给定值（要求的温度）进行比较，得出偏差 3.根据偏差的大小和方向进行控制。,上 页,下 页,目 录,一、恒温箱的控制过程,第1章 绪论,24,二、恒温箱的控制比较,热电偶传感器,人工控制与自动控制的相似之处,比较电路,放大电路和 执行电动机,被控量不变，控制装置不同,上 页,下 页,目 录,第1章 绪论,25,三、手动控制与自动控制,手动控制靠人的观测与操作 自动控制系统自动检测水位与控制阀门,上 页,下 页,目 录,第1章 绪论,26,四、 反馈,输入量：给定量 输出量：被控制量 反馈：将输出量的全部或一部分通过适当的测量装置返回到输入端，使两者进行比较。

11、 偏差：比较的结果 实质相同：检测偏差用以纠正偏差。 反馈原理是实现自动控制的最基本方法。,上 页,下 页,目 录,第1章 绪论,27,五、反馈控制系统的基本组成,放大元件,调节元件,执行元件,测量元件 （反馈元件),控制对象,比较元件,扰动,被控量,-,给定量,信号 输入,给定元件,信号 输出,反馈：可以有正反馈和负反馈，一般系统可有多个反馈，但主反馈一定是负反馈。,被控量：系统的输出量。影响系统输出量称为系统干扰量。,上 页,下 页,目 录,第1章 绪论,28,六、系统的分类,按照有无反馈,开环系统,闭环系统,优点：构造简单，成本低。,缺点：抗干扰能力差。,优点：抗干扰能力强，稳态精度高，

12、 动态精度好,缺点：构造复杂，成本较高。,烧开水为例,电饭煲为例,上 页,下 页,目 录,第1章 绪论,29,七、系统的其他分类,恒值调节系统：指参考输入量保持常值，如恒温箱,程序控制系统：参考输入量随时间规律变化的，如智能电磁炉,随动系统：参考输入量随时间任意变化的，如液压仿型刀架,连续控制系统,数字控制系统,复合控制系统,输入量,信号的类型,3.其他分类,上 页,下 页,目 录,第1章 绪论,30,八、控制系统的基本要求,1.稳定性：系统在受到扰动作用后自动返回原来的平衡状态的能力。,是系统工作的首要条件,上 页,下 页,目 录,第1章 绪论,31,2.准确性：当稳定系统过渡过程结束后，系

13、统输出量的实际值与期望值之差，也称为稳态误差。,3.快速性：即动态过程进行的时间长短。,注意：不同的系统对稳、快、准的要求应有所侧重。而对于同一系统，稳、快、准的要求是相互制约的。,它是衡量系统稳态精度的重要指标。 稳态误差越小，表示系统的准确性越好。,上 页,下 页,目 录,第1章 绪论,32,课后作业,1.在生活中列举开环系统和闭环系统？ 2. P9 1-1,1-3,上 页,下 页,目 录,第1章 绪论,33,维纳趣事,20世纪著名数学家诺伯特维纳，从小就智力超常，三岁时就能读写，十四岁时就大学毕业了。几年后，他又通过了博士论文答辩，成为美国哈佛大学的科学博士。 在博士学位的授予仪式上，执

14、行主席看到一脸稚气的维纳，颇为惊讶，于是就当面询问他的年龄。维纳不愧为数学神童，他的回答十分巧妙：“我今年岁数的立方是个四位数，岁数的四次方是个六位数，这两个数，刚好把十个数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全都用上了，不重不漏。这意味着全体数字都向我俯首称臣，预祝我将来在数学领域里一定能干出一番惊天动地的大事业。” 维纳此言一出，四座皆惊，大家都被他的这道妙题深深地吸引住了。整个会场上的人，都在议论他的年龄问题。,诺伯特维纳(Norbert Wiener，1894-1964) 维纳是美国数学家，控制论的创始人。维纳1894年11月26日生于密苏里州的哥伦比亚，1964年3月18日卒于斯

15、德哥尔摩。,上 页,下 页,目 录,第1章 绪论,34,一次维纳乔迁，妻子熟悉维纳的方方面面，搬家前一天晚上再三提醒他。她还找了一张便条， 上面写着新居的地址，并用新居的房门钥匙换下旧房的钥匙。第二天维纳带着纸条和钥匙上班去了。白天恰有一人问他一个数学问题，维纳把答案写在那张纸条的背面递给人家。 晚上维纳习惯性地回到旧居。他很吃惊，家里没人。从窗子望进去，家具也不见了。掏出钥匙开门，发现根本对不上齿。于是使劲拍了几下门，随后在院子里踱步。突然发现街上跑来一小女孩。维纳对她讲：“小姑娘，我真不走运。我找不到家了，我的钥匙插不进去，请帮我找个锁匠吧！。”小女孩说道：“爸爸，没错。妈妈让我来找你又找

16、对了。”,维纳趣事,有一次维纳的一个学生看见维纳正在邮局寄东西，很想自我介绍一番。在麻省理工学院真正能与维纳直接说上几句话、握握手，还是十分难得的。但这位学生不知道怎样接近他为好。这时，只见维纳来来回回踱着步，陷于沉思之中。这位学生更担心了，生怕打断了先生的思维，而损失了某个深刻的数学思想。但最终还是鼓足勇气，靠近这个伟人：“早上好， 维纳教授！”维纳猛地一抬头，拍了一下前额，说道：“对，维纳！”原来维纳正欲往邮签上写寄件人姓名，但忘记了自己的名字。,他在麻省理工学院做教授期间，常常忘了按时上课。他的学生们一见时间到却不见维纳教授的到来，就直接去“维纳路线”上的各间办公室中寻找，把言而忘情的维

17、纳拖出来上课。又有一次维纳在讲解一个定理时，想到了一个很直觉的证明方法，于是只在自己的大脑中推演，一下跳过了很多步骤，只写下一个简单的结果。这当然是为他的学生们无法承受的，于是有人很策略地请求他是否能够用另一种方法再证一遍，他说“当然可以”，马上又在脑中推演，又忘了在黑板上书写，经过几分钟的静默之后，只见他在原来的结果处打了一个查对无误的记号，就下课走了。,上 页,下 页,目 录,第1章 绪论,35,主要成就,建立维纳测度 引进巴拿赫维纳空间 阐述位势理论 发展调和分析,维纳在其50年的科学生涯中，先后涉足哲学、数学、物理学和工程学，最后转向生物学，在各个领域中都取得了丰硕成果，称得上是恩格斯

18、颂扬过的、本世纪多才多艺和学识渊博的科学巨人。他一生发表论文240多篇，著作14本。他的主要著作有控制论(1948)、维纳选集(1964)和维纳数学论文集(1980)。维纳还有两本自传昔日神童和我是一个数学家。他的主要成果有如下八个方面：,发现维纳霍普夫方法 提出维纳滤波理论 开创维纳信息论 创立控制论,点击返回,上 页,下 页,目 录,第1章 绪论,36,钱学森简介,钱学森(19112009)，浙江杭州人，生于上海,1934年毕业于交通大学（现西安交大和上海交大前身）机械工程系。是人类航天科技的重要开创者和主要奠基人之一，是航空领域的世界级权威、空气动力学学科的第三代挚旗人，是工程控制论的创

19、始人，是二十世纪应用数学和应用力学领域的领袖人物堪称二十世纪应用科学领域最为杰出的科学家，他在上世纪40年代就已经成为和其恩师冯卡门并驾齐驱的航空航天领域内最为杰出的代表人物，并以工程控制论的出版为标志在学术成就上实质性地超越了科学巨匠冯卡门，成为二十世纪众多学科领域的科学群星中，极少数的巨星之一；钱学森同志也是为新中国的成长做出无可估量贡献的老一辈科学家团体之一，影响最大、功勋最为卓著的杰出代表人物，是新中国爱国留学归国人员中最具代表性的国家建设者，是新中国历史上伟大的人民科学家：被誉为“中国航天之父”、“中国导弹之父”、“火箭之王”、“中国自动化控制之父”。中国国务院、中央军委授予“国家杰

20、出贡献科学家”荣誉称号，获中共中央、国务院中央军委颁发的“两弹一星”功勋奖章。,上 页,下 页,目 录,第1章 绪论,37,钱学森简介,1934年在美国麻省理工学院和加利福尼亚理工大学学习。 1935年赴美国研究航空工程和空气动力学，1938年获加利福尼亚理工学院博士学位。后留在美国任讲师、副教授、教授以及超音速实验室主任和古根罕喷气推进研究中心主任。 1938年获博士学位后留校任教并从事火箭研究。 1950年开始争取回归祖国，当时一位美国海军高级将领金布尔说：“钱学森无论走到哪里，都抵得上35个师的兵力，绝不能让他离开美国。”因此钱学森受到美国政府迫害，失去自由。1955年10月，经过周恩来

21、总理在与美国外交谈判上的不断努力甚至不惜释放15名在朝鲜战争中俘获的美军高级将领作为交换，钱学森同志终于冲破种种阻力回到了祖国。回国后，1958年起长期担任火箭导弹和航天器研制的技术领导职务。,上 页,下 页,目 录,第1章 绪论,38,钱学森之问,2005年温家宝总理在看望著名物理学家钱学森时，钱老曾发出这样的感慨：回过头来看，这么多年培养的学生，还没有哪一个的学术成就能跟民国时期培养的大师相比！钱学森认为：“现在中国没有完全发展起来，一个重要原因是没有一所大学能够按照培养科学技术发明创造人才的模式去办学，没有自己独特的创新的东西，老是冒不出杰出人才。” 举例说国家最高科学技术奖自2000年

22、设立以来，共有14位科学家获奖，其中就有11个是1951年前大学毕业的。 钱学森指出，“现在中国没有完全发展起来，一个重要原因是没有一所大学能够按照培养科学技术发明创造人才的模式去办学，没有自己独特的创新的东西，老是冒不出杰出人才。” 安徽高校的11位教授联合新安晚报给新任教育部部长袁贵仁及全国教育界发出一封公开信：让我们直面“钱学森之问”！回应“钱学森之问”教育部实施了“基础学科拔尖学生培养试验计划”这项计划（珠峰计划）的目的就是培养拔尖创新人才。入选高校是国内16所著名学府：北京大学、清华大学、复旦大学、西安交通大学、中国科技大学、南京大学、上海交通大学、浙江大学、南开大学、吉林大学、四川

23、大学、兰州大学、武汉大学、山东大学、中山大学、北京师范大学。这场“试验”，首先从数学、物理、化学、生物、计算机学科开始。,上 页,下 页,目 录,第1章 绪论,39,钱学森主要成就,钱学森长期担任中国火箭和航天计划的技术领导人，对航天技术、系统科学和系统工程做出了巨大的和开拓性的贡献。钱学森共发表专著7部，论文300多篇。 主要贡献表现在以下几方面：,应用力学 喷气推进与航天技术 工程控制论 物理力学 系统工程与科学,思维科学 人体科学 科学技术体系 马克思主义哲学 系统工程 与科学,科学火炬的传递者,点击返回,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,40,第2章 控制系统的数学模

24、型,2.2 拉氏变换及反变换,2.3 传递函数及基本环节的传递函数,2.4 系统框图及其简化,2.1 控制系统的微分方程,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,41,本章的教学大纲,1.掌握机械、电气系统微分方程的建立方法； 2.了解非线性方程的线性化； 3.熟悉拉普拉斯变换及反变换、线性定常微分方程的解法； 4.熟悉传递函数； 5.掌握系统传递函数方框图的化简。,重点是微分方程、传递函数、拉普拉斯变换及反变换、解微分方程、化简传递函数方框图；难点是建立微分方程及化简传递函数方框图。,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,42,2.1 控制系统的微分方程,基本概念数

25、学模型,微分方程,传递函数,状态方程,定义：描述系统的数学表达式,意义：通过数学模型，在理论上掌握系统在一定的输入作用下的运动规律以及稳定情况和动态过程。,形式,微分方程是最基本数学模型，是其他两种的基础,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,43,一、建立微分方程的一般步骤,(1) 确定输入量、输出量和扰动量，并根据需要引进一些中间变量。 (2) 根据物理或化学定律，列出微分方程。 (3) 消去中间变量后得到描述输出量与输入量(包括扰动量)关系的微分方程（标准形式）。,输入量在等号的右边，输出量在等号的左边，均按降次排列,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,44

26、,二、机械系统的微分方程的建立,基本原理：,1.牛顿第二定律：F=ma,2.简化模型为质量块m、弹簧k、阻尼器f,f 粘滞摩擦系数,k 弹簧系数,方向：均为阻碍物体运动趋势,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,45,实例1：平移系统,某系统简化模型如下图所示，当外力y(t)作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力y(t)与质量块的位移x(t)之间的微分方程。,解：在外力作用下，如果弹簧恢复力和阻尼器阻力与y(t)不能平衡，则质量块将产生加速运动，其速度和位移发生变化。根据牛顿定理有：,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,46,实例2：回转系统,f 转动时粘滞摩擦

27、系数,k 弹性扭转变形系数,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,47,实例3：弹簧阻尼器系统,点A:,点B:,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,48,三、电气系统微分方程的建立,基本原理：,2.典型元件的电压与电流的关系,1.环路电压定律 和节点电流定律,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,49,实例1：RLC网络,左图是由电阻R、电感L和电容C组成的无源网络，试列写以 为输入量，以 为输出量的网络微分方程。,解：设流过电感L的电流为i（t）则：,带入后消去电流为i（t）则得如下方程：,空载,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,

28、50,实例2：直流他激电动机,设激磁电流恒定并忽略电枢反应。 为转速，Ua为电枢电压，Mc为负载 1) 电枢回路的电势平衡方程为：,2)电动机的反电势方程为,Ce为电动机的电势常数，单位为vsrad。,3)电动机的电磁转矩方程为,Cm为电动机的转矩常数，单位为NmA。,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,51,4)电动机轴上的动力学方程为,J为转动部分折算到电动机轴上的总转动惯量，其单位为Nms2。,消去ea、ia、M三个中间变量，可以得到描述输出量， 输入量ua及扰动量M之间的关系的微分方程为：,电机的电磁时间常数,电机的机械时间常数,电压传递系数,转矩传递系数,上 页,下

29、页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,52,讨论,通常电枢的电感La很小，所以电磁时间常数可以忽略不计，于是电动机的微分方程可以简化为：,如果取电动机的转角作为输出，则上式可改写为,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,53,实例3：有源网络,解:,下图是一个由理想运算放大器组成的电容负反馈电路。电压 和 分别表示输入量和输出量，试确定这个电路的微分方程式。,I,A,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,54,非线性方程的线性化（自学）,非线性方程难于求解，用线性数学模型近似表示非线性数学模型。,在一定工作范围内进行线性化处理。,将非线性函数在平衡点附近展成泰勒级

30、数，并忽略高次项。,例：直流发电机,X轴表示励磁电流,Y轴表示输出电势,由于存在磁路饱和，y和x呈非线性关系,y=f(x),可以在(x0,y0)附近泰勒级数,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,55,忽略高次项，然后用增量表示,是比例常数。,经上述处理后，就变成了线性方程。,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,56,对于具有两个自变量的非线性函数,在静态工作点y0=(x10,x20)附近展成泰勒级数。,用增量表示,及,是比例常数。,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,57,上述方法称为小偏差线性化方法。它是基于这样一种假设：输入量和输出量只是在静

31、态工作点附近作微小变化 。,几点注意：,(1)只适用于不太严重的非线性系统，其非线性函数是可以利用泰勒级数展开的（非本质非线性）。 (2)实际运行情况是在某个平衡点(即静态工作点)附近，且变量只能在小范围内变化。 (3)不同静态工作点得到的方程是不同的。 (4)对于严重的非线性，例如继电特性，因为处处不满足泰勒级数展开的条件，故不能做线性化处理。 (5)线性化后得到的是增量微分方程。,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,58,课后作业,1.以汽车为例，确定其输入量与输出量试推导在崎岖不平的道路上行驶时微分方程？ 2.预习拉普拉斯变换,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数

32、学模型,59,2.2 拉氏变换与反变换,本节的难点： 拉氏变换的严格的数学推导与变换,本节的重点：,工程常见函数的拉氏变换 拉氏变换的运算规则 基于分部积分法的拉氏反变换,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,60,一、问题的引入,目的：将微分方程转换为代数方程（实质是将微积分运算转换为乘除运算），使求解大大简化，是工程技术人员常用的分析控制系统的数学方法拉氏变换。,如此时将y(t)改变为一时变作用力，那么运动状态时又如何分析呢？,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,61,拉氏变换的预备知识1,1.复变函数的概念： 1）复常数： 实部和虚部都是常数的复数。c=a+

33、jb，j为虚数单位。 2）复变量： 实部和虚部都是变量。,3）复变函数：自变量是复变量的函数。即F(s)是s的函数。它具有实部和虚部。即,其共轭复数：,第2章 控制系统的数学模型,62,拉氏变换的预备知识2,复平面上点的表示方法： 1）坐标法：,2）向量法：用向量OP表示,模：,3）三角法：,幅角：,4）指数法：,欧拉公式,第2章 控制系统的数学模型,63,二、拉氏变换(Laplace transform)的定义,满足条件,1. 在任一有限区间，分段连续，只有有限个间断点,2.有限性，即当时间趋紧无穷大时， 收敛于某一个数,定义：,式中,称为原函数,称为象函数,上 页,下 页,目 录,第2章

34、控制系统的数学模型,64,三、阶跃函数的拉氏变换,阶跃函数的定义,如果A1,称为单位阶跃函数,记为1（t），即,对系统输入阶跃函数就是在t=0时，给系统加上一个恒值输入量。如左图所示,该函数的拉氏变换为：,单位阶跃函数的拉氏变换为R(s)=1/s。,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,65,四、斜坡函数的拉氏变换,斜坡函数也称等速度函数，其定义,如果A1，称为单位斜坡函数，如图所示,输入斜坡函数相当于对系统输入一个随时间作等速变化的信号，如右图所示,该函数的拉氏变换为：,单位斜坡函数的拉氏变换为R(s)=1/s2。,分部积分法,阶跃函数,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统

35、的数学模型,66,五、脉冲函数的拉氏变换,脉冲函数的定义,脉冲函数在理论上（数学上的假设）是一个脉宽无穷小，幅值无穷大的脉冲。在实际中，只要脉冲宽度极短即可近似认为是脉冲函数。如图所示。,脉冲函数的积分，即脉冲的面积为:,如果A1，即面积为1的函数称为单位脉冲函数，记为 ，即,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,67,六、脉冲函数的拉氏变换,脉冲函数拉氏变换为:,函数的图形如图所示。脉冲函数的积分就是阶跃函数,单位脉冲函数的拉氏变换为R(s)=1。,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,68,七、其他常用函数的拉氏变换,1.指数函数 ：,2.正弦函数 和余弦函数,

36、欧拉公式,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,69,常见函数的拉氏变换表,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,70,八、拉氏变换的常用定理,1.线性定理：,该定理表示：常数与原函数乘积的拉氏变换等于常数与该原函数的拉氏变换的乘积。若干原函数之代数和的拉氏变换等于各原函数拉氏变换之代数和。,2.延迟定理：,3.位移定理：,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,71,4.微分定理：,设 ，则各阶导数的拉氏变换为：,特别注意：,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,72,5.积分定理：,设 ，则,特别注意：,当是n重积分时，,上 页,下 页

37、,目 录,第2章 控制系统的数学模型,73,6.终值定理：若函数f(t)的拉氏变换为F(s)，,7.初值定理：若函数f(t)的拉氏变换为F(s)，,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,74,九、拉氏反变换,这是复变函数的积分，一般难以直接计算。通常用查拉氏表的方法求拉氏反变换。若原函数F(s)在表中不能直接查到，则需将F(s)展开成部分分式,再对每项象函数求拉氏反变换，将各反变换的原函数相加，就得到F(s)的原函数。 这种方法称为部分分式法,1.由象函数F(s)求原函数f(t)称拉氏反变换，用 表示，数学定义为：,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,75,十、拉

38、氏反变换部分分式法,F(s)一般可以写成如下形式：,根据极点的不同，可以分成如下三种情况讨论分析,式中 是F(s)的极点。,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,76,F(s) 只含有不相同的实数极点,1.无重实根,式中 是待定的常数，它是 的留数,按下式求得。,F(s) 的拉氏反变换为：,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,77,例题1,求 的拉氏反变换。,解:,留数法,待定系数法,查表,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,78,例题2,解:,求 的拉氏反变换,令,微分定理,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,79,若F(s)的极

39、点中含有复数极点，仍可用上面单极点的 处理方法来分解 F(s) ，只是ki是复数,如果s1,s2是共轭复数极点，则k1,k2也是共轭复数，故两个求一个即可。,2.共轭复根,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,80,解：,例题3,求 原函数,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,81,K1,k2,k3代入上式得,取拉氏反变换得,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,82,3.有重根,假设有 个重复极点,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,83,例题4,求 拉氏反变换,解：,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,84,十一、

40、用拉氏变换求解微分方程,一般步骤是：,1.对线性微分方程的每一项进行拉氏变换，使微分方程变成以s变量的代数方程；,2.求解代数方程，得到输出变量象函数的表达式；,3.将象函数展开成部分分式；,4.对部分分式进行拉氏反变换，得到微分方程的解。,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,85,例题5,已知微分方程 ，式中y，x分别是输出与输入量，设 ，求y（t）,解：,根据微分定理对微分方程进行拉氏变换，得,将上式按部分分式展开,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,86,课后作业,1.求下列函数的拉氏变换,3.用拉氏变换解下列微分方程,上 页,下 页,目 录,2.求下列函

41、数的拉氏反变换,第2章 控制系统的数学模型,87,解一.,解二：,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,88,2.3 传递函数及基本环节的传递函数,本节的难点： 1.惯性环节和振荡环节 2.实际控制系统的传递函数的求解,本节的重点：,传递函数的概念及性质 基本环节的传递函数,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,89,问题的引出,控制系统的微分方程，是时域中描述系统动态性能的数学模型，求解微分方程可以得到在给定外界作用及初始条件下系统的输出响应，并可通过响应曲线直观地反映出系统的动态过程。但系统的参数或结构形式有变化，微分方程及其解都会同时变化，不便于对系统进行分析

42、与研究。 根据求解微分方程的拉氏变换法，可以得到系统的另一种数学模型传递函数。它不仅可以表征系 统的动态特性，而且可以方便地研究系统的参数或结构的变化对系统性能所产生的影响。在经典控制理论中广泛应用的根轨迹法和频率法，就是在传递函数基础上建立起来的。,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,90,一、传递函数的定义,定义：对于线性定常系统，在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换Y(s)与输入量的拉氏变换X(s)之比。 表示方法：,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,91,二、传递函数的说明,1.特征方程：传递函数中分母等于零的方程： 特征方程决定了系统的稳定性 2.极

43、点：使特征方程为零的s=pn称为极点。 3.零点：是传递函数为零的s=zm称为零点。 一般来讲，零点和极点的分布影响系统的动态特性，极点影响稳定性，零点影响系统的瞬态响应曲线的形状（瞬态特性） 分母：反映系统本身的与外界无关的固有特性 分子：系统与外界之间的联系,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,92,三、传递函数的性质,1.传递函数表示系统传递输入信号的能力，反映系统 本身的动态特性，它只与系统的结构和参数有关，与输入 信号和初始条件无关。 2. 传递函数是复变量 s的有理分式函数，其分子多项式的次数 m低于或等于分母多项式的次数 n，即mn。且系 数均为实数。 3. 在同

44、一系统中，当选取不同的物理量作为输入、输 出时，其传递函数一般也不相同。传递函数不反映系统的 物理结构，物理性质不同的系统，可以具有相同的传递函 。 4.传递函数的定义只适用于线性定常系统。 5.,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,93,四、环节及典型环节的定义,一个物理系统是由许多元件组合而成的，虽然元件的结构和作用原理多种多样，但若考察其数学模型，却可以划分成为数不多的几种基本类型，称之为典型环节。 这些环节是比例环节、惯性环节、积分环节、振荡环节、微分环节和延时（滞后）环节。,环节：从数学模型分析出发，可以将系统分为由一些基本环节组成，能组成独立的运动方程的一部分称为一

45、个环节。环节可以是一个元件，也可以是一个元件的一部分或由几个元件组成，各环节不能有相互影响（无负载效应）。,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,94,1.比例环节,输出量与输入量成正比的环节 ，又称放大环节,注意：比例环节的输出量能够既不失真又不延迟地反映输入量的变化。,如杠杆机构、啮合齿轮的转速比、理想运算放大器等，测速发电机在控制系统中常用作速度传感器，提供与转速成正比的电压信号。,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,95,2.惯性环节,惯性环节又称非周期环节，其输入、输出间的微分方程为,传递函数为,式中T为时间常数，K为比例系数,如左图所示的RC电路为惯性

46、环节，输出电压Uo和输入电压Ui的关系为,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,96,2.惯性环节实例温度计测量过程,（点击按钮播放动画）惯性环节含有储能元件，对于突变形式的输入信号，不能立即复现，输出总落后于输入，存在时间上延迟，时间常数愈大惯性愈大，延迟时间也愈长，时间常数也愈长，时间常数T表征了该环节的惯性。,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,97,3.积分环节,输出正比于输入的积分的环节，微分方程是,传递函数是,注意：输入为定值时，输出将正比于时间。,上图所示的齿轮齿条传动传动副（点击按钮播放动画），齿条的位移y与齿轮转速n的关系为 又如液压缸的活塞位移

47、和流量的关系为：,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,98,4.微分环节,输出正比于输入的微分的环节，微分方程为,传递函数为,注意：1.当输入为阶跃函数时，输出为脉冲函数，实际上是不可能的（常和其它元件配合使用），称为理想微分环节（无惯性系统）。,2.微分环节具有预见性（提前校正）、增加系统阻尼（增加稳定性）的作用。,如液压缸的流量和活塞位移的关系为：,x(位移)是不能产生阶跃的（除非没有惯性）。,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,99,5.一阶微分环节,微分环节和比例环节的并联时（又称比例微分控制）。,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,10

48、0,6.振荡环节,振荡环节的微分方程是,传递函数为,称阻尼比,对于振荡环节有,介于0和1之间,该环节因为含有两种贮能原件，在信号的传递中，因能量的转换而使其输出带有振荡性质。当输入为单位阶跃函数时，输出可用拉氏变换求得环节的输出响应，如右图所示响应。,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,101,上图是典型的振荡环节(点击播放观看运动过程)，微分方程及传递函数如下,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,102,6.振荡环节振荡电路,左图是一个典型的R-L-C振荡电路,联立上面两方程，消去中间变量电流i,回路电压定律,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型

49、,103,具有下列形式的微分方程：,7.二阶微分环节,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,104,当输入作用到环节以后，其输出量要等待一段时间后，才能复现输入信号，在时间0到的时间内，输出量为零，这种具有延时效应的环节称为延时（滞后）环节。如上图所示的动画是表示测量两种液体混合之后的浓度的一种设备。在延长一段距离（时间）后测得的是均匀混合浓度。 纯滞后环节的数学表达式为,8.延时环节,延迟定理,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,105,五、说 明,上述各典型环节，是从数学模型的角度来划分的。 它们是系统传递函数的最基本的构成因子。在和实际 元件相联系时，应注意

50、以下几点：,1.系统的典型环节是按数学模型的共性来划分 的，他与系统中使用的元件并非都是一一对应的，一 个元件的数学模型可能是若干个典型环节的数学模型 的组合。而若干个元件的数学模型的组合也可能就是 一个典型的数学模型。 2.同一装置（元件），如果选取输入、输出 量不同，它可以成为不同的典型环节。如直流电动机 以电枢电压为输入、转速为输出时，它是一个二阶振 荡环节。但若以电枢电流为输入、转速为输出时，它 却是一个积分环节。,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,106,3.在分析和设计系统时，将被控对象（或系统） 的数学模型进行分解，就可以了解它是由哪些典型环 节所组成的。因而，

51、掌握典型环节的动态特性将有助 于对系统动态特性的分析研究。 4.典型环节的概念只适用于能够用线性定常数 学模型描述的系统。,既然可以把组成控制系统的元件划分为若干典型 环节，那么控制系统的传递函数也可以写成如下一般 形式,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,107,六、控制系统的传递函数,对于简单的控制系统，在求取它的传递函数时，可以采用直接计算法。即先列写系统的微分方程，再经过拉氏变换来求出系统的传递函数。,分析过程如图所示，推导过程略，请同学们根据已有知识自行计算，答案如下,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,108,2.4 系统框图及其简化,本节的难点：

52、框图的变换法则及实际应用,本节重点：,框图的定义及相关概念 系统构成及运算规则 框图的变换法则,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,109,引言,框图是系统中各个元件功能和信号流向的数学图形。在控制工程中，人们习惯用框图说明和讨论问题，是因为： 1.只要依据信号的流向，将各环节的框图连接起来，就能容易构成整个系统。 2.通过框图可以评价每一个环节对系统的影响，便于对系统进行分析和研究。 3.框图和传递函数一样，包含了与系统动态性能有关的信息，但和系统的物理结构无关。,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,110,一、系统框图的分类,框图,结构框图,函数框图,：将系

53、统中各元件的名称或功用写在框图单元内，并标明它们的连接顺序和信号流向。,：将系统中各元件或环节的传递函数写在框图单元内，并用表明信号传递方向的箭头将这些框图单元连接起来。,说明系统构成和工作原理,说明环节特性、信号流向、及变量关系,本节主要讲述对象,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,111,二、框图单元的组成,1.信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，且信号只能单向传输。如右图所示,2.方块单元：即一个元件或环节的传递函数方块图，该方块可以对信号进行数学变换，流入方框的称为输入信号C(s),流出方框的称为输出信号R(s)，如下图所示，其变换关系为,上 页,下 页,目

54、 录,第2章 控制系统的数学模型,112,三、比较点与引出点,3.比较点：表示两个或多个信号在此代数相加减。又称比较器，如下图所示。其中“+”号表示相加，“”表示相减。,4.引出点：表示信号引出或测量的位置。从同一位置引出的信号在数值和性质上完全相同。,如果已知系统的组成和各组成部分的传递函数，就可以通过上述四种基本单元将系统各部分连接起来，构成整个系统的结构图。,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,113,四、系统的构成方式,前一环节的输出量是后一环节的输入量的连接称为环节 的串联。如 上图 所示，各环节的传递关系为,传递函数的定义,上 页,下 页,目 录,1.串联,第2章

55、控制系统的数学模型,114,这表明环节串联可以用一个等效环节去取代，等效环节的传递函数为串联各环节传递函数的乘积。写成一般形式为,串联的补充说明,注意： 串联环节之间应无负载效应。否则要考虑将它们作为一个 整体，而不能分为两个独立的部分。,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,115,输入量相同，输出量相加或相减的连接称为并联。如图所示，三个环节的输入部分都为 X， 而输出分别为Y1、Y2、Y3 ，,上 页,下 页,目 录,2.并联,第2章 控制系统的数学模型,116,并联的补充说明,这表明几个环节并联时，可以用一个等效环节去取代， 等效环节的传递函数为各环节传递函数的代数和。写

56、成一般形式为,注意：减号放入传递函数内时（相减时的减号包含在Gi(s)内）,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,117,如果将系统或环节的输出反馈到输入端与输入信号进行比较，就构成了反馈连接，如 上图 所示。其中 G1(s) G2(s) 可以是等效方框图，即它们可以是由若干元件方框串、并联 组成。按图中的传递关系有,上 页,下 页,目 录,3.反馈,第2章 控制系统的数学模型,118,反馈的补充说明,注意：如果反馈为正反馈，如上图，则相应的闭环传递函数为,闭环传递函数,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,119,五、引出点的移动,将分支点跨越框图移动时，必须遵循

57、移动前后所 得的分支信号保持不变的等效原则。,1.引出点后移,2.引出点前移,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,120,六、比较点的移动,将比较点跨越框图移动时，应遵循移动前后总输 出量保持不变的等效原则。,1.比较点后移,2.比较点前移,上 页,下 页,目 录,第2章 控制系统的数学模型,121,七、系统框图的简化原则,利用结构图的变换规则简化系统的结构图时，可根据具体情况采取不同的简化方法。 如果结构 图只有简单的串、并联和反馈连接时，可先计算简单的串、并联和反馈连接部分，然后再逐步简 化整个结构图。 如果结构图中存在交叉连接或交叉反馈时，则先应作分支点或综合点的移动，消去交叉现象后，再按简单连接方式逐步简化。,上 页,下 页,目