数值分析第一章误差2015

1、1,数 值 分 析,林甲富,linjiafu,2,教材,丁丽娟, 程杞元,数值计算方法, 高等教育出版社, 2011年.,3,第一章 数值计算中的误差,1.2 误差的基本概念,1.3 数值计算中误差的传播,1.4 数值计算中应注意的问题,1.1 数值计算的内容与特点,4,数值分析是做什么用的？,1.1 数值计算的内容与特点,5, 研究对象 那些在理论上有解而又无法手工计算的数学问题, 例 解300阶的线性方程组 求6阶矩阵的全部特征值,6,主要内容, 数值代数, 数值逼近：,插值法, 函数逼近, 数值微分与数值积分, 微分方程近似求解: 常微分方程数值解法, 非线性方程求解,7,1.2 误差的

2、基本概念, 误差按来源可分为： 模型误差 观测误差 截断误差 舍入误差,误差：精确解与近似解之间的差,8, 模型误差 数学模型通常是由实际问题抽象得到的, 一般带有误差, 这种误差称为模型误差., 观测误差 数学模型中包含的一些参数通常是通过观测和实验得到的, 难免带有误差, 这种误差称为观测误差., 截断误差 求解数学模型所用的数值方法通常是一种近似方法, 这种因方法产生的误差称为截断误差或方法误差.,9,实际计算时只能截取有限项代数和计算, 如取前5项有:,这里产生误差 (记作R5 )截断误差,例如, 利用 ln(x+1) 的Taylor公式计算 ln2,10,在数值分析中, 均假定数学模

3、型是准确的, 因而不考虑模型误差和观测误差, 只讨论截断误差和舍入误差对计算结果的影响.,11, 设x* 是准确值x 的一个近似值, 记 e=xx* 称 e为近似值 x* 的绝对误差, 简称误差.,绝对误差一般很难准确计算, 但可以估计上界., 绝对误差,e 0 不唯一, 当然 e 越小越具有参考价值.,1.2.1 绝对误差和相对误差,12,例 用毫米刻度的米尺测量一长度 x, 如读出的长度是 x*=765 mm, 由于误差限是 0.5 mm, 故准确值, 精确值x , 近似值 x* 和误差限 之间满足：,通常记为,13, 绝对误差有时并不能完全地反映近似值的好坏, 如测量 100 m 和 1

4、0 m 两个长度, 若它们的绝对误差都是 1 cm, 显然前者的测量结果比后者的准确., 因此, 决定一个量的近似值的精确度, 除了要看绝对误差外, 还必须考虑该量本身的大小.,14,由于 x 未知, 实际使用时总是将 x* 的相对误差取为, 相对误差,15,例 设 x*=1.24是由精确值 x 经过四舍五入得到的近似值, 求x*的绝对误差限和相对误差限.,由已知可得:,所以, =0.005,解, 一般地, 凡是由准确值经过四舍五入得到的近似值, 其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位.,16,有 位有效数字，精确到小数点后第 位, 若近似值 x*满足 则称 x*准确到小数点后第n位. 并把从

5、第一个非零数字到这一位的所有数字均称为有效数字.,解：,4,3,1.2.2 有效数字,17,由此可见, 近似值的有效数字越多, 其绝对误差越小., 有效数字的另一等价定义,18,故取 n=6, 即取 6 位有效数字. 此时 x*=1.41421.,解,令,例 为了使 的近似值的绝对误差不大于105, 问应取几位有效数字?,19, 相对误差限与有效数字之间的关系., 有效数字 相对误差限,已知 x* =0.a1a2an10m有 n 位有效数字, 则其相对误差限为,20, 相对误差限 有效数字,已知 x* 的相对误差限可写为 则,可见 x* 至少有 n 位有效数字.,21, 基本运算中( )的误差

6、估计,问,1.3 数值计算中误差的传播,如,22,例 计算 A=f (x1, x2). 如果x1, x2的近似值为 x1*, x2*, 则A的近似值为 A*=f (x1*, x2*), 用多元函数微分近似公式可以得到, 绝对误差 e 运算可近似看成微分运算.,23,由此可以得到基本运算中( )的误差估计, 和差的误差限不超过各数的误差限之和.,24, 乘法相对误差限不超过各数相对误差限之和.,25, 乘除相对误差限不超过各数相对误差限之和.,26,例 设 y=xn, 求 y 的相对误差与 x 的相对误差之间的关系.,解,所以xn 的相对误差是 x 的相对误差的n倍. x2的相对误差是 x 的相

7、对误差的 2 倍,的相对误差是 x 的相对误差的 1/2 倍.,27, 算法的数值稳定性, 一种数值算法, 如果其计算舍入误差积累是可控制的, 则称其为数值稳定的, 反之称为数值不稳定的.,28,利用分部积分法可得计算In的递推公式,例 计算积分,算法1：,由此递推计算 I1, I2, , I9.,解,29,取近似值,由此计算 I8, I7, , I0.,并将计算公式改写为,算法2：,此时,30,In I0 I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 I8 I9,算法1 0.6321 0.3679 0.2642 0.2074 0.1704 0.1480 0.1120 0.2160 0.7280

8、7.5520,算法2 0.6321 0.3679 0.2642 0.2073 0.1709 0.1455 0.1268 0.1121 0.1035 0.0684,真值 0.6321 0.3679 0.2642 0.2073 0.1709 0.1455 0.1268 0.1124 0.1009 0.0916,31, 对任何 n都应有In0, 但算法1的计算结果显示I8 (n+1)n!,当n=25时, 在每秒百亿次乘除运算计算机上求解时间为, 首先, 若算法计算量太大, 实际计算无法完成,(亿年),40, 其次, 即使是可行算法, 则计算量越大积累的误差也越大. 因此, 算法的计算量越小越好.,若直接逐项计算, 大约需要乘法运算次数为,例 计