数学分析九到十五章习题课

1、一、主要内容,1、定积分的定义,第九章 定积分,定积分是个数，与被积函数在有限个点处的定义无关；,与积分变量记号的选择无关。,（2） 利用牛顿-莱布尼兹公式。,2、定积分的计算,在已知定积分存在的前提下，可用下面两种方法求出其值：,3、定积分的几何意义,面积的代数和。,4、定积分的性质,线性、,关于积分区间的可加性、,估值不等式、,积分第一、第二中值定理。,5、定积分与不定积分的联系,（1）变上限积分的导数公式；,保号性、,（2）牛-莱公式。,（3）可积函数不一定有原函数，有原函数的函数不一定可积。,因为“含有第一类间断点的函数”都没有原函数，,而“含有有限个第一类间断点的函数”都可积。,所以

2、可积函数不一定有原函数。,即说明有原函数的函数不一定可积。,6、可积条件,必要条件 若函数f在a,b上可积，则f在a,b上必定有界。,充要条件（1） 函数f在a,b可积当且仅当：,使得属于T的所有小区间中，,充要条件（2） 函数f在a,b可积当且仅当：,对应于振幅 的那些小区间 的总长,7、可积函数类,1、在a,b上连续的函数在a,b可积。,2、在a,b上只有有限个间断点的有界函数在 a,b上可积。,3、在 a,b上单调的有界函数在a,b上可积。 （允许有无限多个间断点）,但并非可积函数只有这3类。如：黎曼函数不属于这3类的任何一类，但它是可积的。,在a,b上函数的间断点形成收敛的数列，则函数

3、在a,b可积。,8、利用不定积分计算定积分,（1）线性；,恒等变形；,换元；,分部积分；,一些特殊类型函数的积分。,（2）与不定积分法的差别,（3）利用对称性、周期性及几何意义。,牛-莱公式,积分限的确定，换元要换积分限，原函数求出后不需回代。,（4） 开偶次方时，要带绝对值。,9、杂记,（1）定积分可用于计算某类特殊数列的极限。,（2） 对D(x)和R(x) 的可积问题多一些关注。,例1,解,二、典型例题,例2,解,例3,解,是偶函数,例4,解,该极限可以看作函数f(x)=x2-1在0，1区间作n等分且取右端点时的黎曼和的极限，,由于f(x)=x2-1在0，1连续，从而可积，故上述极限等于,

4、例5,证,证毕。,证,令,P229.4(9),解,1、微元法的理论依据,第10章,5、定积分应用的常用公式,(1) 平面图形的面积,直角坐标情形,上曲线减下曲线对x积分。,A,x=f(y),（图5）,x=g(y),右曲线减左曲线对y积分。,一般解题步骤：,（1）画草图，定结构；,（2）解必要的交点，定积分限；,（3）选择适当公式，求出面积（定积分）。,注意：答案永远为正。,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,参数方程所表示的函数,极坐标情形,(2) 体积,平行截面面积为已知的立体的体积,(3) 平面曲线的弧长,弧长,A曲线弧为,弧长,B曲线弧为,C曲线弧为,弧长,(4) 旋转体的侧面

5、积,二、典型例题,例1,解,例2,解,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,证,根据椭圆的对称性知,故原结论成立.,第11章,一、两类反常积分的概念,a为任意常数,如果a,b都是瑕点，则定义,c为(a,b)内任一实数。,当且仅当右端两个积分都收敛时，才称左端瑕积分收敛。,二、计算方法求正常积分+求极限；,三、两类反常积分的判敛方法,1、Cauchy准则,2、比较法则,通常取p-积分为比较对象，且常用极限形式。,3、Dirichelet判别法和Abel判别法,用于判别两个函数相乘时的反常积分的敛散性。,四、绝对收敛与条件收敛,定积分：,无穷积分：,瑕积分：,例1 证明：a是瑕点时,证

6、：,反之不然。,反例：,举例说明,解：,发散！,例2 判断下列反常积分的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛。,故绝对收敛。,故原积分发散。,注意x=0不是瑕点。,解,从而条件收敛。,仅为无穷积分，,综上，,P276.5(4),由Dirichelet判别法，原积分收敛。,第12章,数项级数,正项级数,交错级数,一般项级数,收敛级数的基本性质：,3. 级数的敛散性与级数的有限项无关，但收敛的和一般会有影响。,4 . 收敛级数加括号后仍收敛，且和不变（即有结合律）；,5. 绝对收敛级数的任意重排级数仍绝对收敛，且和不变（即有交换律）。,6. 收敛级数与发散级数的和必为发散级数。,正项级数审敛

7、法,1、比较法（un为有理表达式时）；,2、比式法（un含n!时）；,3、根式法（un含n次方时）；,4、积分法（ ）；,5、拉贝法（ ）；,交错级数审敛法,这是Dirichelet判别法的特殊情形。,一般项级数审敛法,1、Abel判别法，,2、Dirichelet判别法。,用比值或根值判别法判定的非绝对收敛级数一定发散。,则它们的乘积按任意顺序所得的级数也绝对收敛于AB.,绝对收敛级数的性质,条件收敛的级数，可以适当重排，使其按任意预定的方式收敛或发散。,发,收,例1,解,原级数发散,解,根据比较判别法，,原级数收敛,解,原级数收敛；,原级数发散；,原级数发散,解,收敛。,收敛。,解,绝对收

8、敛。,例2,解,第13章,等价于下列3条之一：,好用！,典型例题：,I,的常用判定法：,等价于下列3条之一：,典型例题：,（1）优级数判别法,（2）Abel判别法,（3）Dirichelet判别法,的常用判定法：,一致收敛函数列的性质：,（1）,（2）,（3）,一致收敛函数项级数的性质,(1),(2),（3）,例1,解,由优级数判别法，原级数一致收敛。,例2,解,矛盾！,解,得和函数：,因为该级数每一项都在0,1是连续的，,例3,考察函数项级数,的一致收敛性,故不一致收敛。,第14章,一、幂级数及其收敛半径、收敛区间、收敛域,说明幂级数存在收敛半径。,收敛半径的求法：,（1）根式法，,（2）比

9、式法，,这个方法不适合求缺项级数的收敛半径。,幂级数在收敛区间端点的收敛情况，转化成数项级数的判敛问题。,二、幂级数的性质,（1）在收敛区间内闭一致收敛，,（2）和函数在收敛区间连续，,（3）在收敛区间可以逐项求导、逐项求积，且所得幂级数收敛半径不变。,三、幂级数的求和,通常采用逐项求导、逐项求积，并利用一些已知级数的和函数。,注意这个级数的各种变异。,记住下列幂级数的和函数：,四、函数展开成幂级数,如果f(x) 能展成幂级数，则这个幂级数是唯一的，就是f(x)的泰勒级数。,1.直接法(泰勒级数法),步骤:,2.间接法,根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐

10、项求导, 逐项积分等方法,求展开式.,记住几个特殊函数的展开式：,注意收敛范围。,欧拉公式：,本章讨论了下面三类问题：,1、幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域。,2、幂级数的一致收敛性，及和函数的性质。,3、函数展开成幂级数的条件及方法。,例1,解,例2.,解,例3,解,例4,解,例5,解,第十五章,傅里叶级数的理论基础：,三角函数系的正交性,（1）它们的最小公共周期为,（2）任何两个不同的函数相乘在 上积分为0，,（3）任何一个函数的平方在 上积分不为0，,本章重点研究函数展成三角级数的方法。,如果f(x)能展成一致收敛的三角级数，则这个三角级数必是f(x) 的傅里叶级数。,f(x)的傅里叶系数,f(x)的傅里叶级数,f(x)的傅里叶系数,f(x)的傅里叶级数,收敛定理,1、,2、,本章常见题型：,对f(x)作周期延拓，使之成为周期为2 （2l）的函数。,此时答案不唯一。,上述2、3类问题，均不需把延拓结果写出。,求下列函数