数学(全本)中等职业技术学校

1、MATHS 全国中等职业技术学校通用教材,数学,第1章 方程与不等式,1.1 数（式）的运算 1.2 解方程（组）,1.1 数（式）的运算,教学目的： 理解有理数、无理数、实数、数轴、倒数、相反数绝对值的概念，能够进行相关运算。 教学重点: 理解整式、分式、数的乘方和开方的概念；掌握它们的性质和运算法则。 教学难点: 因式分解、分式与数的乘方开方运算,例题解析 例1 求下列数的绝对值： （1）3.4 解 （1）因为3.40，所以|3.4|3.4。,课堂练习： 1在2、 、 、 、 这些数中，整数有_，分数有_， 有理数有_，无理数有_。 2. 的相反数为_，倒数为_；0的相反数_，0有倒数吗？

2、 3求下列各式中x的值： （1）x0，|x|0.1 （3）|x| 4已知a0， ，求x。,整式的运算,幂的运算法则（a、b0，m、n是整数） 常用乘法公式,因式分解 多项式的因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积，多项式的因式分解和整式的乘法是相反方向的变换,例题解析 例1 计算： （1） （2） 解 （1）原式= （2）原式=,例2 把下列各式分解因式 （1） （2） （3） 解 原式= 原式= = 原式=,课堂练习： 1计算 2. 计算 3分解因式： （1） （2） （3） （4）,=,=,分式的运算,分式 ： A、B表示两个整式，AB就可以表示成 的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分

3、式，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。 分式的基本性质 ： 分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，即 ，（M为不等于零的整式） 分式的运算 ： 分式的加减运算是使用通分进行的；分式的乘除运算是使用约分进行的。,例题解析 例 计算： (1) （2） （3） 分析：分式的加、减法关键是求最小公分母，基本方法：先将各分母分解因式；将所有因式全部取出，公因式应取次数最高的；将取出的因式相乘，积为最小公分母。在分式的乘除运算中，先要将各分式的分子、分母都因式分解，相乘时约去分子分母的公因式，再化简。 解 原式 原式 原式,课堂练习： 1当x

4、_时，分式 没有意义。 2当x_时，分式 的值为0。 3计算： （1） （2）,数的乘方和开方运算,正整数指数幂 （n是正整数） 零指数幂 负整数指数幂 平方根 若x2a (a0)，则称x为a的平方根（二次方根） 立方根 若x3a (a0)，则称x为a的立方根（三次方根）,n次方根 若 a （a是一个实数，n是大于1的正整数）， 则称数x为a的一个n次方根。 当n为偶数时，对于每一个正实数a，它在实数集里有两个n次方根，互为相反数，分别表示为 和 ；而对于每一个负数a，它的n次方根没有意义。 当n为奇数时，对于每一个实数a，它在实数集里只有一个n次方根，表示为 。 当a 0时，0；当a0时，

5、0。 的n次方根是。 n次根式 我们把形如 （有意义时）的式子称为n次根式，其中n称为根指数，a称为被开方数，正的n次方根 称为a的n次算术根，并且 （n1，n是正整数）,例题解析 例1 计算： 、 、 、 解,例2 求8的立方根，16的四次方根。 解 8的立方根为 16的四次方根为?,课堂练习 1计算下列各式的值： 、 、 、 2 的平方根为_；0的平方根为_；27的立方根为_； 的立方根为_； 的四次方根为_。,小结： 1、理解并牢记幂的运算法则，乘法公式，会用适当的方法进行因式分解。掌握分式的概念及分式的基本性质， 2、能熟练地进行分式的有关运算理解指数的意义和n次方根的概念，3、能熟练

6、地进行有关的运算。,1.2 解方程（组）,教学目的： 掌握一元二次方程的解法，能解简单的二元一次方程组，二元二次方程组；能灵活地运用一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系解决相关问题。 教学重点： 掌握一元二次方程和二元一次方程组的解法。 教学难点： 运用一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系解决相,一元二次方程的解法： （1）直接开平方法。 （2）配方法。 （3）公式法 。 （4）因式分解法。 根和系数的关系： 如果 的两根是 、 ，那么， ， 。,例题解析 例 解方程 解法一（配方法） 原方程配方，得 整理得 所以 解得 解法二（因式分解法） 原方程可化为 所以 解法三（公式法） 解得

7、,课堂练习： 1解方程： （1） （2） 2若方程 有两个相等的实数根，那么m_。 3若方程 的一个根是0，则k=_，另一个根是_。,解简单的二元二次方程组 二元一次方程组 几个二元一次方程组成的方程组，叫做二元一次方程组。 二元二次方程 含有两个未知数，并且含有未知数的项中，最高次数是2 的整式方程，叫做二元二次方程，它的一般形式为： 二元二次方程组 由两个二元方程组成并且其中至少有一个是二元二次方程的方程组叫做二元二次方程组。 二元二次方程组的解法 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，一般可用代入消元法来解。其目的是把二元方程化为一元方程。,例题解析 例 解方程组：

8、解 由（2）得 （3） 把（3）代入（1），得 整理得 解得 或 将 、 分别代入（3），求得 或 所以，原方程组的解为 或,课堂练习： 1解方程：（1） （2） 2解方程组：（1） （2） 3解方程组：（1） （2）,小结： 掌握一元二次方程的定义、形式，会用不同的方法去解方程（主要用公式法）以及方程组的解法。,第2章 集合,2.1 集合及其表示 2.2 集合间的基本关系,2.1 集合及其表示,教学目的： 1、了解集合与元素的概念，掌握集合与元素之间的关系，掌握常用数集的记法，了解集合的表示方法 2、了解子集、集合相等的概念，了解区间的概念，能够利用区间的形式表示简单的数集。 教学重点： 掌

9、握集合与元素之间的关系，掌握常用数集的记法。 教学难点： 能够利用区间的形式表示简单的数集。,集合的概念 在数学里，我们用集合（简称集）这个概念来表示由一些指定的事物组成的整体。集合中的每个事物称为该集合的元素。 通常，事物a是集合M的一个元素记作aM ，读作a属于M；事物a不是集合M的一个元素记作，读作a不属于M。 在数学中，由数字组成的集合称为数集、由方程或不等式的解组成的集合称为解集。,一些常用的数集都有特定的记法，如下表所示 ：,课题练习： 将符号或 填入空格中。 7 ， 7.2 ， 11.4 ， ， 3.7 。,集合的表示方法 1.列举法 通过列举集合的每个元素来表示集合的方法叫做列

10、举法。 李明、张静、李俊、李虹 2、4、6、8 2.描述法 用特定条件指定集合的元素，从而表示集合的方法叫做描述法。 xx是本节“导入”所举例中花束内的花 xx5,例题解析 例 用描述法表示下列集合： （1）方程的解集。 （2）大于或等于3的整数的全体 解 （1）要指定这个集合的元素，条件就是。因此，这个集合可以表示为 xx21=0 （2） “大于或等于3”可以写成x3。另外，这个集合的元素必须是整数，即xZ。因此，这个集合可以表示为 xx3，xZ 课堂练习： 1用列举法表示下列集合： （1）大于3小于10的整数的全体。 （2）方程的解集。 2用描述法表示下列集合 ： （1）不等式x2的解集。

11、 （2）大于0小于1的实数的全体。,2.2 集合间的基本关系,集合与集合的关系 通常，对于集合A和集合B，如果A的任何一个元素都是B的元素，那么两者的关系就是集合A包含于集合B（或集合B包含集合A），记作 集合A包含于集合B也可说成集合A是集合B的子集。 集合与集合之间还存在相等的关系。如 x =-1，1 2、4、6、84、2、6、8,例题解析 例 分别写出下列各题中两个集合之间的关系： （1）A2、4、6，B2、0、2、4、6、8 （2）A2、5， Bx | (x)(x) 解 （1）因为集合A的每一个元素都是集合B的元素，而集合B的元素并不都是集合A的元素（比如0），所以两者的关系是 （2）

12、集合B的元素是方程(x5)(x2)=0的解，应该是5，2。可见，集合B的每个元素都属于集合A；反之，集合A的每一个元素都属于集合B。所以这两个集合的关系是 A = B 课堂练习： 用适当的符号填入空格 。 Q R， Z ， a b、c、d 2 2 x | 3、3,区间的概念 四家饭店（A、B、C、D）招聘女服务员对身高的要求： 设服务员身高为x米，根据上表，这四家饭店提出的要求可表示为： 饭店A：1.65x1.75 ； 饭店C：1.65x1.75 ； 饭店B：1.65x1.75 ； 饭店D：1.65x1.75 。,将这四家饭店的要求推广到一般的情况。设身高的下限为a米，身高的上限为b米（ab）

13、，则这四种要求可表示为 axb axb axb axb 除上面提到的四种集合外，符合不等式xa，xb， xa，xb的实数x的集合也可用区间表示，其表示方法与上面四种区间类似。 需注意的是，这些区间只有一个端点，另一端对应数轴的无穷远处。 为此，我们规定：符号“”表示无穷大，“+”表示正无穷大，“”表示负无穷大。 课堂练习： 用区间的形式表示下列各集合： （1）x5x2 （2）x | 3x8 （3）xx1 （4）xx5,小结： 会用适当的方法表示集合。理解集合与集合之间的关系，以及相互间连接的符号；理解区间的概念，会用区间表示不等式。,第3章 函数,3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本

14、性 3.3 指数函数 3.4 对数函数,3.1 函数的概念及其表示,教学目的： 1、理解函数的概念，理解定义域、值域的概念，了解函数的表示方法；会求简单函数的定义域 2、了解增函数、减函数的概念，能根据函数的图像判断函数的单调性。 教学重点： 理解函数的概念，理解定义域、值域的概念，会求简单函数的定义域。 教学难点： 能根据函数的图像判断函数的单调性。,函数的概念 一般地，设x、y是两个变量，当x在某个数集D（即x的取值范围）内取任意一个确定的值，按照某个确定的对应关系f ，y都有唯一的值与x对应，那么我们就说x是自变量，y是变量x的函数，数集D是这个函数的定义域。通常将y是x的函数记作 yf

15、（x），xD 当自变量x在定义域中取确定的值a时，它所对应的函数值记作 f (a) 所有函数值组成的集合叫做函数的值域。如果一个函数的定义域没有被特别指出，那么我们就认为这个函数的定义域是使函数表达式有意义的所有实数构成的集合。,例题解析 例1 设f(x)x22x3，求f (0)、f(3)、f (3)、f(a)。 解 f(0)022033 f(3)322336 f(3)(3)22(3)318 f(a)a22 a3 例2 求函数f(x)的定义域 。 解 要使函数f(x)有意义，则 x20 即 x2 因此，f (x)的定义域是 2，）,课堂练习： 设f (x) ，求：f(1)、f(1)，f(0)、

16、f(b)。 2求函数f(x) 的定义域。,函数的表示方法 表示一个函数的方法有：解析法、列表法和图像法。 1.解析法 用代数式来表示两个变量间的关系表示的方法叫做解析法。如，yx2，y2x，y2x。 2.列表法:所谓列表法是指用表格来表示两个变量之间函数关系的方法。例如， 上表中，学期序号和成绩是两个变量。表中列出了不同学期序号对应的成绩。 3.图像法 所谓图像法是指用图像来表示两个变量之间函数关系的方法。,例题解析 例 画出函数y6x（x(0，10）的图像。 解 y6x是一次函数，而定义域是（0，10，由此可知图像是一条直线段。所以只要描出函数y6x图像上的两个端点，然后用直尺将这两个端点连

17、接起来即可。 列表 ： 描点：描出以（0，0）为坐标的点，再描出以（10，60）为坐标的点。 课堂练习: 1试举出一个用列表法表示函数的例子。 2画函数yx3（x(，)）的图像。,3.2 函数的基本性质 反函数,教学目的： 了解反函数的概念，能够求解简单函数的反函数，了解互为反函数的两个函数图像间的关系。 教学重点： 能够求解简单函数的反函数。 教学难点： 互为反函数的两个函数图像间的关系。,通常，在函数yf(x)（x）中，设它的值域为，根据该函数中x、y的关系，用 y 把 x 表示出来，得到xg(y)。如果xg(y)（y）也是一个函数，那么就把函数xg(y)（y）叫做函数yf(x)（x）的反

18、函数，记作,xf1(y) 一般情况下，将函数xf1(y)改写成 yf1(x) 函数yf(x)与函数yf1(x)互为反函数。 函数yf(x)的定义域是它的反函数yf1(x)的值域；函数yf(x)的值域是它的反函数yf1(x)的定义域。,例题解析 例 求下列函数的反函数，并画出题（1）中函数和反函数的图像，观察它们的对称性。 （1）y2x1（xR） 解 （1）由y2x1，解得 ，所以，函 y2x1的反函数是 课堂练习： 1求函数y2x4（xR）的反函数，并且在同一个平面直角坐标系中画出函数y2x4（xR）和它的反函数的图像。 2求下列函数的反函数： （1） （xR） （2）,函数的单调性 一般地，

19、在函数f（x）定义域内某个给定区间 I上，任选两个自变量的取值x1、x2 ，如果当x2x1时，总有f（x2）f（x1），我们就说函数f（x）在区间 I上是增函数； 如果当x2x1时，总有f（x2）f（x1），我们就说函数f（x）在区间I上是减函数。 如果函数yf（x）在区间I上是增函数或减函数，那么我们就说函数yf（x）在区间I上具有单调性，区间I叫做函数yf（x）的单调区间。 单调区间上，增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。,课堂练习： 1画出下列函数的草图，指出下列函数的单调区间，并判别它们在各单调区间的增减性。,小结： 理解函数的三种表示方法，会用适当的方法表示函数。理解函数在某

20、个区间上的增减性的定义和特点，会由定义判定函数在某个区间上的增、减性和单调性。 理解反函数的定义，会求简单函数的反函数，并能由它们的图像的特点，画出互为反函数的图像。,3.3 指数函数,教学目的： 了解指数函数、对数函数的概念、图像和性质。牢记指数函数的形式、定义域、值域，会用描点法作出函数的图像，由图像能写出性质，由性质能解决有关问题。 教学重点： 指数函数、对数函数的概念、图像和性质。牢记指数函数的形式、定义域、值域，会用描点法作出函数的图像， 教学难点： 由图像能写出性质，由性质能解决有关问题。,导入： 细胞分裂的个数 某种细胞的分裂规律为：一个细胞一次分裂成两个细胞。 一个这样的细胞经

21、过 x 次分裂后，得到 y 个与它本身相同的细胞，那么细胞个数 y与分裂次数x的关系是怎样的呢？ 关于细胞分裂问题，分析如下： 初始细胞个数是1，此时经过的分裂次数是0，即201个； 经过第1次分裂后细胞的总数是个； 经过第2次分裂后细胞的总数是个； 经过第3次分裂后细胞的总数是个； 经过第4次分裂后细胞的总数是个； 经过第x次分裂后细胞的总数是个 。 设细胞总数为y，有y 。,一般地，我们把形如 （a0，a1）的函数叫做指数函数。 由实数指数幂的运算性质可知：当a0时，对于每一个实数x的值，都有唯一确定的实数值 与它对应。因此，指数函数 的定义域是实数集。 两函数相同的性质有： 1两个图像都

22、在x轴上方，即值域都是。 2 两个图像都经过点（0，1），可见当x0时，对这两个函数都有y1。 两函数不同的性质： 函数y2x的图像沿x增大的方向是上升的，所以它在（，）上是增函数； 函数 的图像沿x增大的方向是下降的，所以它在（，）上是减函数。,例题解析 例1 利用指数函数的性质比较下列各题中两个实数的大小： （1） 与 （2） 与 解 （1）指数函数y3x是增函数。因为3.62.8，所以 （2）指数函数 是减函数。因为2.53，所以,例2 假设银行中一年定期的存款利率是2.25，利息的税率是20。若把你的压岁钱1000元存入银行，存取方式为一年期整存整取，而且办理了到期自动转存业务，那么x

23、 年后到期取出，连本带息共有多少元？由此推算5年后应取出多少钱？（精确到0.01） 解 一年后到期取出，连本带息共有 100010002.25(120) 1000(12.2580)10001.018 元 如果到期自动转存，两年后到期本息共有 (10001.018)(10001.018)2.25(120) 10001.018(12.2580)10001.0182 元 依此类推，x年后到期取出，本息的和（单位：元）用y表示，y与x的关系是 y1000 将x=5代入上式，可得5年后取出，连本带息共有 1000 1093.30 元,课堂练习： 1指出下列指数函数在(，)内是增函数还是减函数： （1）y

24、 （2） （3）y （4）y 2比较下列各题中两个实数的大小 （1） 与 （2） 与 （3） 与 （4） 与 3某市现有人口500万，人口的年自然增长率为1.2%，10年后这个城市的人口预计有多少万？x年后这个城市的人口预计是多少万？（精确到0.01）,小 结： 牢记指数函数的形式、定义域、值域，会用描点法作出函数的图像，由图像能写出性质，由性质能解决有关问题。,3.4 对数函数,教学目的： 理解对数函数的意义，会由互为反函数间的图像的关系作出指数函数和对数函数的图像。由图掌握有关性质，并由性质解决有关问题。 教学重点： 理解对数函数的意义，会由互为反函数间的图像的关系作出指数函数和对数函数的

25、图像。 教学难点： 由图掌握有关性质，并由性质解决有关问题。,导入： 细胞分裂的次数 某种细胞的分裂规律为：一个细胞一次分裂成2个。1个细胞经第1次分裂成为2个；经过第2次分裂成为4个那么，第几次分裂后恰好出现16个细胞？第几次分裂后恰好出现128个细胞？ 设这样的细胞经过x次分裂后，得到的细胞个数是y。以分裂次数x为自变量就可以得到指数函数 显然，只要求出这个函数的反函数，上面的问题就可以解决了。 根据对数的定义，指数函数式y2x可以写成对数的形式 x 显然，给定一个y值，由上式可以得到唯一的x值，因此， x 表示的是指数函数y 的反函数。按照习惯，我们用x表示自变量，用y表示函数，这个函数

26、就应写成 y 一般地，函数y （a0，a1）与指数函数y= 互为反函数。因为y= 的值域是（0，），所以函数y 的定义域是（0，）；y= 的定义域是R，所以函数 y 的值域是R 。我们把函数y （a0，a1）叫做对数函数。,例题解析 例1 指出下列对数函数在区间（0，+）内是增函数还是减函数？ （1）y= （2） （3）y （4） 解 （1）因为a31，所以y在区间（0，+）内是增函数。 （2）因为a 1，所以y在区间（0，+）内是减函数。 （3）因为a101，所以y在区间（0，+）内是增函数。 （4）因为a 1，所以y在区间（0，+）内是减函数。,例2 在下列各小题中，比较两个实数的大小：

27、（1） 与 （2） 与1 解 （1）对数函数y 是增函数。因为45，所以 。 （2）对数函数 是减函数。 因为1 ，3 ，所以 1。,例3 假设银行中现行一年定期的存款利率是2.25，利息的税率是20。若把你的压岁钱1000元人民币存入银行，存取方式为一年期整存整取，而且办理了到期自动转存业务，当这笔钱连本带息超过1200元时，至少经过了多少年？ 解 由上一节的例题可知，存款年数x与本息的和y成指数函数关系，即 y1000 若我们以本息的和为自变量x，以存款年数为y，则两者的关系为 y （x/1000） 将x=1200代入上式，可得y10.22。 因为在整存整取的方式下，只有到期才能付当年利息

28、，所以至少11年后取出，连本带息才能超过1200元。,课堂练习： 1某市现有人口500万，人口的年自然增长率为1.2%。以此预计，经过多少年这个城市的人口将突破700万？这个城市的人口突破x万需要多少年？（结果保留整数） 2指出下列对数函数在区间（0，+）内是增函数还是减函数。 （1）y （2）y （3）y （4）y,小结： 理解对数函数的意义，会由互为反函数间的图像的关系作出指数函数和对数函数的图像。由图掌握有关性质，并由性质解决有关问题。,第4章 三角函数,4.1角的概念推广 4.2任意角的三角函数 4.3三角函数的图像和性质,4.1 角的概念推广,教学目的： 理解任意角和弧度制的概念；能

29、正确进行度与弧度的换算； 教学重点： 理解任意角和弧度制的概念； 教学难点： 能正确进行度与弧度的换算；,角的概念推广 在平面内一条射线绕它的端点O从位置OA旋转到任意位置OB形成的图形称为角。射线的端点O称为角的顶点。射线在旋转的初始位置OA称为角的始边，射线在旋转的终止位置OB称为角的终边。角常用小写希腊字母、示。 按逆时针方向旋转形成的角称为正角； 按顺时针方向旋转形成的角称为负角； 当一条射线不旋转时，我们也认为它形成了一个角，称为零角。 一个角的大小可以超过360。为了表达准确，我们在画一个角的时候，不仅要表示出旋转方向，而且要把形成这个角的旋转过程表示出来。,课堂练习： 1时钟从3

30、点走到3点15分，分针旋转了多少度？ 2当把手表倒拨（逆时针）1小时20分钟，分针旋转了多少度？ 3分别画出以下各角： 150、420、750、120、390。,象限角与终边相同的角 在平面直角坐标系xOy中，把角的顶点放在原点O的位置上，让角的始边与x轴的正半轴重合，这时角的终边落在坐标系中的第几象限，就说这个角是第几象限角。比如，45角是第一象限角；240角是第二象限角； 585角是第三象限角；300角是第四象限角 如果一个角的终边落在坐标轴上，就说这个角是轴线角。例如，90、180角都是轴线角,在0360范围内，各象限角的范围如下：,在0360范围内，各轴线角的大小如下：,思考 在同一坐

31、标系中观察下面角的共同点？ 30、390、750、330、690,通过观察可以发现，这些角的终边位置是相同的。我们把它们称为是与30终边相同的角。 很显然，与30终边相同的角有无限多个。 30300360 390301360 750302360 33030（1）360 39030（2）360 这样我们可以得到与30角终边相同的角（含30在内）的一般表达式为 30k360，kZ 由此推广，与角终边相同的角（含角在内）的一般表达式是： k360 ，kZ,由此推广，轴线角的一般表达式如下：,例题解析 例 下列各角中哪些角与40的角终边相同? 390、400、320、320 解 因为 39030360

32、 40040360 32040360 32040360 所以400、320角与40角终边相 同（400、320与40的差值正好是 360的整数倍）； 而390、320角与40角终边不相同（390、320与40的差值不是360的整数倍）。,课堂练习： 1下列各角是第几象限角？（如果是轴线角也请说明） 30、 120、 180、 260、300、360、390、450、30、90、 120、180、230、330。 2下列各角中哪些角与80的角终边相同？ 440、280、280、400。,弧度 我们规定，长度等于半径的圆弧对应的圆心角为1弧度。弧度的单位符号是rad。 根据以上规定，在半径为r的圆

33、中，长度为l的圆弧对应的圆心角的大小是 ，即 例如，圆周的长度是2r，它对应的圆心角的大小是 因为圆周角用角度表示为360，所以可得出 360= 2 rad,例题解析 例1 用弧度表示下列各角的大小： 60、 120、 60、 270 解,例2 用角度表示下列各角的大小： 2.5、 、 、 解,下表列出了一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 ：,采用弧度制后，与角终边相同的角（含角在内）的一般表达式是： =2k，kZ,课堂练习： 1用弧度表示下列各角的大小： 245、420、300、120、330 2用角度表示下列各角的大小： 3、 、 、 。,小 结： 理解角的概念，并会在直角坐标系中表示角，

34、会判断角所在的象限，会表示与终边相同的角。,4.2 任意角的三角函数,教学目的： 理解任意角的三角函数的定义。掌握正、余弦在单位圆上的表示法；掌握三角函数的定义域及在各个象限内的符号 教学重点： 理解任意角的三角函数的定义 教学难点： 掌握三角函数的定义域及在各个象限内的符号,任意角三角函数的定义 以任意角的顶点为原点O，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy，在的终边上任意取一点P（x，y），设点P到原点的距离是r，则有,我们规定： 1比值叫做的正弦，记作sin，即 。 2比值叫做的余弦，记作cos，即 。 3比值叫做的正切，记作tan，即 。 这些比值都是角的函数，分别叫做的正弦

35、函数，余弦函数，正切函数，它们都是三角函数。 由于2k（kZ）表示的所有角的终边相同，根据三角函数的定义，它们的同名三角函数值相等，即 sin(2k)sin，kZ cos(2k)cos，kZ tan(2k)tan，kZ,单位圆 以原点为圆心，半径长为1个单位的圆。 设角的终边与单位圆的交点为P。根据三角函数的定义，由点P的坐标(x，y)可得以下公式： 在正切函数 中，由于分母x不能为零，所以角的终边不能在y轴上。,在弧度制下，正弦、余弦、正切函数的定义域如下表 :,例题解析 例1 已知角的终边经过点P（3，4），求的正弦、余弦及正切函数值。 解 由点P（3，4）可知 x3，y4，,例2 求角3

36、90和 的正弦、余弦和正切值 。 解,课堂练习： 1已知角的终边上一点P（3，4）， 求的正弦、余弦和正切函数值。 2求角420和的三角函数值。 3求下列特殊角的三角函数值：,三角函数值的符号总结如下：,课堂练习： 1用或填空。,小 结： 理解任意角的三角函数的定义，会求任意角的三角函数，由单位圆了解三角函数的定义域。,4.3 三角函数的图像和性质,教学目的： 掌握正弦函数的图像和性质，能用“五点法”作出图像，了解余弦函数、正切函数的图像和性质。 教学重点： 掌握正弦函数的图像和性质，能用“五点法”作出图像。 教学难点： 余弦函数、正切函数的图像和性质。,用描点法完成正弦函数y=sinx，x0

37、，2的图像。 列表：,描点：以表中对应的x、y的值为坐标在坐标系中描点。 连线：将所描各点顺次连接起来，即完成所画的图像。,正弦函数ysinx的图像和性质 正弦函数ysinx的图像 把函数ysin x在区间0，2上的图像向左平移2就能得到正弦函数y=sinx在区间2，0上的图像。 把正弦函数ysinx在区间0，2上的图像向左、右分别平移2、4、6个单位，就能得到正弦函数ysinx，xR的图像。我们把正弦函数ysinx(xR)的图像叫做正弦曲线。由ysinx，x0，2的图像可以看出，下面 五个点在确定图像形状时起着关键的作用： (0，0)、(，1)、(，0)、(，1)、(2，0) 这五个点描出后

38、，正弦函数ysinx，x0，2的图像的形状就基本上确定了。今后，我们只要找出这五个点就可以描点画简图了。这种作图法称为五点法。,例题解析 例 用五点法画出函数ysinx1在0，2上的简图。 分析 比较函数ysinx1和函数ysinx可以看出，对同一个x值，函数ysinx1的值比函数ysinx的值大1。所以 ，函数ysinx1的图像与函数ysinx的图像形状一样，但在坐标系中的位置不同。 列表,正弦函数ysinx的性质 （1）定义域：R。 （2）值域：1，1。 （3）周期性： 由于终边相同的角的正弦函数值相等，即 sin（x2k）sinx，kZ。 所以 sinx在变化过程中，x每增大或减小2k

39、（kZ 且k0），函数值重复出现，我们称y=sinx 为周期函数；而2k（kZ 且k0）为它的周期（周期常用T表示），其中T=2称为它的最小正周期。 今后我们所说的周期都是指最小正周期。 （4）对称性：正弦函数ysinx的图像关于原点对称，即 sin(x)=sinx,课堂练习： 用五点法作出下列函数在区间0，2上的简图。 （1）ysinx1 （2）y2sinx,余弦函数ycosx的图像和性质 余弦函数ycosx的图像 把余弦函数ycosx在区间0，2上的图像向左、右分别平移2、4 个单位，就能得到余弦函数ycosx，xR的图像。 余弦函数ycosx（x）的图像叫做余弦曲线。 余弦函数ycosx

40、的性质 （1）定义域：（，） （2）值域：1，1 （3）周期性：余弦函数ycos x是周期函数，它的周期是2。 （4）对称性：余弦函数ycosx（x）的图像关于y轴对称，即cos(x)=cosx （5）单调性：在区间0，上是减函数，在区间，2上是增函数。,课堂练习： 1将比较cos 与cos 值的大小。 2用五点法画出y2cosx在区间 上的简图。,正切函数ytanx的图像和性质 正切函数ytanx的图像 把正切函数ytan x在x 上的图像向左或向右分 别平移、2、3个单位，就能得到正切函数的图像，即正切曲线。教 案 纸 正切函数ytanx的性质 （1）定义域： （2）值域：（，+），没有最

41、大值和最小值 （3）周期性：函数ytan x是周期函数，周期是 （4）对称性：图像关于原点轴对称 （5）单调性：函数ytanx在开区间 （kZ）内都是增函数。,例题解析 例 比较tan 与tan 值的大小。 解 因为 而ytanx在区间 上是增函 数，所以,课堂练习: 1观察正切曲线，当tanx0时，求x。 2利用正切函数的周期性和单调性比较tan 与tan 值的大小。,小 结： 理解并牢记三角函数在各个象限内的符号，记住同角间三角函数的平方关系、商数关系，能利用这些关系解决有关问题。,第5章 直线和圆的方程,5.1直线的方程 5.2圆的方程,5.1 直线的方程,教学目的： 了解直线方程的概念

42、，以及它的倾斜角和斜率的求法，掌握直线方程的三种形式，掌握两条直线平行和垂直的条件及点到直线的距离公式。 教学重点： 直线方程的概念，以及它的倾斜角和斜率的求法，掌握直线方程的三种形式。 教学难点： 两条直线平行和垂直的条件及点到直线的距离公式。,直线的倾斜角和斜率 直线l向上的方向和x轴的正方向所成的最小正角叫做直线l的倾斜角。规定，当直线l和x轴平行或重合时，0。 倾斜角的取值范围是0，180)。 当倾斜角90时，我们一般使用倾斜角的正切表示直线的方向，以便建立直线方程。我们把倾斜角的正切tan叫做直线l的斜率。直线l的斜率常用k表示即 ktan 当倾斜角90时，直线l没有斜率，而是与y轴

43、平行或重合。此时，直线l上的横坐标都相同。 在平面直角坐标系中，如果已知两点M1(x1，y1)、M2(x2，y2)，那么，M1、M2就确定了一条直线M1M2，当直线M1M2的倾斜角不等于90时，可以求出经过已知两点M1(x1，y1)、M2(x2，y2)的直线M1M2的斜率，即 k （x1x2） 上式叫做斜率公式，用于已知直线上两点，求直线的斜率。,例题解析 例 已知直线l经过两点M1(2，9)、M2(5， 2)，求直线l的斜率k和倾斜角。 解 由直线l过点M1(2，9)、M2(5，2)可 知 x12，y19，x25，y22 代入斜率公式，得 即 tan1 所以 45,课堂练习： 已知直线l经过

44、两点M1、M2，求直线l的斜率。 （1）M1（10，8）、M2（4，4） （2）N1（4，3）、N2（1，2）,直线的方程 点斜式直线方程 yy0k(xx0) （1） 该方程是由l上一点P0(x0，y0)和l的斜率k所确定的，所以方程（1）叫做直线方程的点斜式。,例题解析 例 已知一条直线l经过点P0(2，2)，倾斜角45，求这条直线l的方程。 解 由于直线l经过点P0(2，2)，所以 x02，y02 又由于直线l的倾斜角45，所以 ktan451 代入点斜式方程，得 y21（x2） 即 xy40 为所求直线l的方程。 当一条直线经过点P0（x0，y0）且倾斜角为0时，斜率k0，代入点斜式方程

45、，得 yy0 这是一条与x轴平行的直线。 当一条直线经过P0（x0，y0）且倾斜角90时，这条直线的斜率不存在，它与y轴平行或重合，也就是说这条直线的方程不能用点斜式表示。由于这条直线上每个点的横坐标都等于x0，所以它的方程是xx0,斜截式直线方程 当直线l有斜率且不为0时，直线l在坐标系中同时与x轴、y轴相交。 当直线l与y轴相交于B(0，b)时，则称b为直线l在y轴上的纵截距。 已知直线l经过B(0，b)，斜率为k，则其点斜式方程为 ybk(x0) 即 ykxb （2） 方程（2）是由直线l的斜率k和在y轴上的纵截距b所确定的，所以，把方程（2）叫做直线l的斜截式。,例题解析 例 直线l经

46、过P(0，2)，且斜率k为3，求直 线 l 的 方 程。 解 由已知条件得 b2，k3 代入斜截式方程，得 y3x2 即 3xy20 为所求直线l的方程。,一般式直线方程 形如AxByC0（A、B不全为零）的二元一次方程的图形是否为一条直线呢？ 综上所述，方程AxByC0（A、B不全为零）在平面直角坐标系中表示的是一条直线。 我们把形如AxByC0（A、B不全为零）的二元一次方程叫做直线方程的一般式。,例题解析 例1 已知直线l经过点A(4，2)，斜率为2，求直线l的点斜式方程、斜截式方程和一般式方程。 解 直线l经过点A(4，2)且斜率为2，则点斜式方程为 y22（x4） 将方程y22（x4

47、）变形后，得斜截式方程 y2x6 将方程y2x6移项后，得一般式方程 2xy60,例2 已知直线l的方程为x3y60，求直线l的斜率k，纵截距b 。 解 将直线l的一般式方程x3y60移项后得 3yx6 两边同时除以3，得直线l的斜截式方程 yx2 从而得到直线l的斜率kX ，纵截距b2,例3 判断直线2x3y10与4x6y10的位置关系。 解 2x3y10 4x6y10 显然，这两条直线的斜率一样，但直线方程并不相同，所以这两条直线相互平行。,例4 判断点（1，2）和（2，3）是否在直线4x3y100上。 解 将x=1，y2代入直线方程的左半边4x3y10，得 4132100 所以x=1，y

48、2是方程4x3y100的解，即点（1，2）在这条直线上。 将x=2，y3代入直线方程的左半边4x3y10，得到 4233107 所以x=2，y3不是方程4x3y100的解，即点（2，3）不在这条直线上。,课堂练习： 1判断点（ ，4）和是否在直线6xy20上。 2已知直线l经过点A(3，2)，斜率为 ，求直线l的点斜式方程、截距式方程和一般式方程。 3已知直线l的方程为2x5y40，求直线l的斜率k，纵截距b。,两条直线平行的判定 设直线l1和l2的倾斜角分别为1和2，斜率分别为k1和k2。 如果l1l2，则直线l1与l2的倾斜角相等，即 12。 所以 tan1tan2，即 k1k2 因此，若

49、l1l2，则k1k2。 反之，如果k1k2，且直线l1与l2不重合，则1 2，从而l1l2。因此，若k1k2，则l1l2。 当直线l1或l2的斜率不存在（即1=2=90）且两直线不重合时，这两条直线都平行于y轴或与y轴重合，所以l1l2。,例题解析 例 已知平行四边形ABCD的四个顶点分别为A（1，2），B（0，2），C（3，1）D（2，5），判断四边形ABCD是否平行四边形。 教 案 纸 解 由斜率公式可得 AB所在直线的斜率kAB4 CD所在直线的斜率kCD4 BC所在直线的斜率kBC1 AD所在直线的斜率kAD1 因为kABkCD，kBCkAD，所以ABCD，BCAD，因此，四边形ABCD是平行四边形。,垂直关系的判定 设M1(x1，y1)、M2(x2，y2)是直线l上不 同的两个点，把向量 以及与它平行的向量 都称为直线l的方向向量，记作(x2x1，y2 y1)。 若l1l2，则k1k21；若k1k21，则l1l2。,例题解析 例 已知三角形ABC的三个顶点分别为A(1，1)，B(4，0)，C(5，5)，判断三角形ABC是否为