中南大学高等数学复习题及答案VIP

1、中南大学中南大学复习题及参考答案复习题及参考答案 高等数学高等数学 一、填空题一、填空题 1函数 1 1 4 2 x xy的定义域是 . 解. ), 22,( 。 2若函数52) 1( 2 xxxf，则)(xf 解. 6 2 x 3_ sin lim x xx x 答案：1 正确解法：101 sin lim1lim) sin 1 (lim sin lim x x x x x xx xxxx 4.已知2 2 lim 2 2 2 xx baxx x ，则a_, b_。 由所给极限存在知, 024ba, 得42 ab, 又由 2 3 4 1 2 lim 2 lim 2 2 2 2 a x ax xx

2、 baxx xx , 知8, 2ba 5.已知 ) 1)( lim 0 xax bex x ，则a_, b_。 ) 1)( lim 0 xax be x x , 即0 1 ) 1)( lim 0 b a be xax x x , 1, 0ba 6函数 01 0 1 sin )( xx x x x xf的间断点是x 。 解：由)(xf是分段函数，0x是)(xf的分段点，考虑函数在0x处的连续性。 因为 1)0(1) 1(lim0 1 sinlim 00 fx x x xx 所以函数)(xf在0x处是间断的， 又)(xf在)0 ,(和), 0( 都是连续的，故函数)(xf的间断点是0x。 7. 设

3、nxxxxy21, 则 1n y(1)!n 8 2 )(xxf，则_) 1)( x ff。 答案： 2 ) 12(x或144 2 xx 9函数 )1ln( 4 22 2 yx yx z 的定义域为 。 解：函数 z 的定义域为满足下列不等式的点集。 10 4 0 1 4 11 01 04 22 2 22 22 2 22 22 2 yx xy yx yx xy yx yx yx z 的定义域为：10| ),( 22 yxyx且xy4 2 10已知 22 ),(xyyxyxyxf,则),(yxf . 解 令xyu，xyv，则, 22 uvuv xy ，()()()f xy xyxy xy )( 4

4、222 ),( 22 vu uuvuvu vuf ， 22 ( , )() 4 x f x yxy 11设 22 ),( yx x xyyxf ,则 ) 1 , 0( x f 。 ) 1 , 0( y f ( 0 , 1)000f 2 00 0 (,1)(0,1) 1 (0,1)limlim2 x xx x x fxf x f xx 00 (0,1)(0,1)00 (0,1)limlim0 y yy fyf f yy 。 12 设,cos,sin 32 tytxyxz则 t z d d 。 解 2 2 sin3cos dz xtty dt 13. dxxfdd dx d )( . 解：由导数与

5、积分互为逆运算得，)()(xfdxxfdd dx d . 14.设)(xf是连续函数，且xdttf x 1 0 3 )(，则)7(f . 解： 两边对x求导得1) 1(3 32 xfx， 令71 3 x， 得2x， 所以 12 1 3 1 )7( 2 2 x x f. 15若 2 1 de 0 x kx ，则_k。 答案：)d(e 1 limde 2 1 00 kx k x b kx b kx kkkk kb b b kx b 1 e 1 lim 1 e 1 lim 0 2k 16设函数 f(x,y)连续，且满足 D ydyxfxyxf 2 ),(),(，其中,: 222 ayxD则 f(x,

6、y)=_. 解 . 4 4 4 2 x a y 记 D dyxfA),(， 则 2 ),(yAxyxf， 两 端 在D上 积 分 有 ： DD dyAxdA 2 ，其中 D xdA0（由对称性） ， a D a dddy 0 4 23 2 0 2 . 4 sin 即 4 4 a A ，所以，. 4 ),( 4 2 x a yyxf 17求曲线 2 ,4 22 ay xaxy所围成图形的面积为 ， （a0） 解： 2 2 3 a 18. 1 22 2 12 n n n x n ； 解：令 2 xy ，则原幂级数成为不缺项的幂级数 1 1 2 12 n n n y n ，记其各项系数为 n b，因

7、 为2 12 12 lim2 12 2 2 12 limlim 1 1 n n n n b b R n n n n n n n ，则2022 2 xy， 故22x. 当2x时，幂级数成为数项级数 1 ) 12( 2 1 n n，此级数发散，故原幂级数的收敛区间 为)2,2(. 190 2 yy的满足初始条件 4 1 1, 12 1 1yy的特解为 3 2 1 12 1 xy. 20微分方程03 yy的通解为 x eccy 3 21 . 21微分方程0136 yyy的通解为xcxcey x 2sin2cos 21 3 . 22.设 n 阶方阵 A 满足|A|=3，则=| AA|= . 答案： 3

8、 1 1 n 23. 111 11 111 x 是关于 x 的一次多项式，则该多项式的一次项系数是 . 答案： 2; 24. f(x)= 31 25 14 x x x 是 次多项式，其一次项的系数是 。 解：由对角线法则知，f(x)为二次多项式，一次项系数为 4。 25. A、 B、 C 代表三事件， 事件 “A、 B、 C 至少有二个发生” 可表示为 AB+BC+AC . 26. 事件 A、B 相互独立，且知 0.2,0.5P AP B则P AB U . 解：A、B 相互独立， P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.2+0.50.1=0.6 27. A，

9、B 二个事件互不相容， 0.8,0.1,P AP B则P AB . 解： A、B 互不相容，则 P(AB)=0，P(AB)=P(A)P(AB)=0.8 28. 对同一目标进行三次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别为 0.4,0.5,0.7, 则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为 . 解：设 A、B、C 分别表示事件“第一、二、三次射击时击中目标” ，则三次射击中恰 有一次击中目标可表示为CBACBACBA，即有 P(CBACBACBA) =P(A)()()()()()()()(CPBPAPCPBPAPCPBP=0.36 29. 已知事件 A、 B 的概率分别为 P （A） 0.7,P

10、 （B） 0.6,且 P （AB） 0.4， 则 P （ABU） ；P（AB） ； 解： P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.9 P(AB)=P(A)P(AB)=0.70.4=0.3 30. 若随机事件 A 和 B 都不发生的概率为 p， 则 A 和 B 至少有一个发生的概率为 . 解：P(A+B)=1PpBAPBA1)(1)( 二、单项选择题二、单项选择题 1函数) 1, 0( 1 1 )( aa a a xxf x x （ ） A.是奇函数； B. 是偶函数； C.既奇函数又是偶函数； D.是非奇非偶函数。 解：利用奇偶函数的定义进行验证。 )( 1 1 )1 ( )1 ( 1

11、1 )()(xf a a x aa aa x a a xxf x x xx xx x x 所以 B 正确。 2若函数 2 2 1 ) 1 ( x x x xf，则)(xf（ ） A. 2 x； B. 2 2 x； C. 2 ) 1( x； D. 1 2 x。 解：因为2) 1 (2 1 2 1 2 2 2 2 2 x x x x x x，所以2) 1 () 1 ( 2 x x x xf 则2)( 2 xxf，故选项 B 正确。 3设1)( xxf ，则) 1)(xff=（ ） A x Bx + 1 Cx + 2 Dx + 3 解 由于1)( xxf，得 ) 1)(xff1) 1)(xf2)(x

12、f 将1)( xxf代入，得) 1)(xff=32) 1(xx 正确答案：D 4已知0) 1 (lim 2 bax x x x ，其中a,b是常数，则（ ） (A) 1, 1ba, (B) 1, 1ba (C) 1, 1ba (D) 1, 1ba 解. 0 1 1 lim) 1 (lim 22 x bxbaxa bax x x xx , 1, 1, 0, 01babaa 答案：C 5下列函数在指定的变化过程中， （ ）是无穷小量。 A.e 1 x x,() ； B. sin ,() x x x ； C. ln(),()11xx； D. x x x 11 0,() 解：无穷小量乘以有界变量仍为无

13、穷小量，所以 0 sin lim x x x 而 A, C, D 三个选项中的极限都不为 0，故选项 B 正确。 6下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（ ） (A)( 1 sinx x xy; (B) )( 1 nny n ; (C)0(lnxxy； (D)0( 1 cos 1 x xx y 解. 1 11 sinlim 1 sinlim xxx x xx , 故不选(A). 取12 km, 则 0 12 1 limlim 1 k n kn n , 故不选(B). 取 2 1 n xn, 则0 1 cos 1 lim nn n xx , 故不选 (D). 答案：C 7设 0,

14、 0, 1 sin )( xx x x x xf，则)(xf在0x处（ ） A连续且可导 B连续但不可导 C不连续但可导 D既不连续又不可导 解： （B） 0lim)(lim 00 xxf xx ，0 1 sinlim)(lim 00 x xxf xx ，0)0(f 因此)(xf在0x处连续 xx x x x fxf f xxx 1 sinlim 0 0 1 sin lim 0 )0()( lim)0( 000 ，此极限不存在 从而)0( f 不存在，故)0( f 不存在 8曲线xxy 3 在点（1，0）处的切线是（ ） A 22 xy B 22 xy C 22 xy D 22 xy 解 由导

15、数的定义和它的几何意义可知， 1 3 )() 1 ( x xxy2) 13( 1 2 x x 是曲线xxy 3 在点（1，0）处的切线斜率，故切线方程是 ) 1(20xy，即22 xy 正确答案：A 9已知 4 4 1 xy ，则 y =（ ） A. 3 x B. 2 3x C. x6 D. 6 解 直接利用导数的公式计算： 34) 4 1 (xxy, 23 3)(xxy 正确答案：B 10若x x f) 1 (，则)(xf（ ） 。 A x 1 B 2 1 x C x 1 D 2 1 x 答案：D 先求出)(xf，再求其导数。 11 22 lnyxz 的定义域为（ ） A 1 22 yx B

16、 0 22 yx C 1 22 yx D 0 22 yx 解 z 的定义域为0),( 22 yxyx个，选 D。 12.下列极限存在的是（ ） （A） yx x y x 0 0 lim （B） yx y x 1 lim 0 0 （C） yx x y x 2 0 0 lim （D） yx x y x 1 sinlim 0 0 解 A. 当 P 沿0x时，0), 0(lim 0 yf y ，当 P 沿直线0y时，1)0 ,(lim 0 xf x ，故 0 0 lim y x yx x 不存在； B. yx y x 1 lim 0 0 ， 不存在； C. 如判断题中 1 题可知 yx x y x 2

17、 0 0 lim不存在； D. 因为0lim 1 sin lim 0 0 0 0 x yx x y x y x ，所以0 1 sinlim 0 0 yx x y x ，选 D 13. 若)()(xxfxf， 在), 0(, 0)(, 0)()0 ,( 则在内xfxf内 （ ）. （A）0)(, 0)( xfxf （B）0)(, 0)( xfxf （C）0)(, 0)( xfxf （D）0)(, 0)( xfxf 解：).(,)(,)(,)(Cxfxfxf故应选为偶函数为奇函数则为偶函数因 14设)(xf为奇函数，且0x时0)( x f，则)(xf在 1,10上的最大值为（ ） A)10(f B

18、) 1(f C)10(f D) 1 (f 解： （B） 因为)(xf是奇函数，故)()(xfxf，两边求导)()(xfxf，从而 )()(xfxf，设0x，则0 x，从而0)()(xfxf，所以)(xf在-10，-1 上单调增加，故最大值为) 1(f 15函数 22 )(4),(yxyxzyxf ( ) (A)、有极大值 8 （B） 、有极小值 8 （C）无极值 （D）有无极值不确定 解 42 x fx，42 y fy ， 02 02 x y fx fy 20 02 H 0 20H ，(2, 2)8f为极大值 （A） 15.设的值则为周期的连续函数是以 Ta a dxxfITxf )(,)(（

19、 ）. （A）依赖于Ta, （B）依赖于xTa和, （C）依赖于xT,，不依赖于a （D）依赖于T，不依赖于a 解：根据周期函数定积分的性质有,).(,)()( 0 Ddxxfdxxf TTl l 故应选 17.曲线)0( sin2 3 xxy与x轴围成的图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积为 （ ）. （A） 3 4 （B） 3 4 （C） 2 3 2 （D） 3 2 解：所求旋转体的体积为 . 3 4 3 cos coscos)cos1 (sin 0 3 0 2 0 3 0 2 x xxdxxdxdxyV 故应选(B). 18.设 2 2 4 2 cos 1 sin xdx x x M， 2

20、2 43 )cos(sin dxxxN， 2 2 432 )cossin( dxxxxP，则有（ ）. （A）MPN （B）NPM （C）PMN （D）NMP 解：利用定积分的奇偶性质知0M，0cos2 2 0 4 xdxN，0cos2 2 0 4 xdxP， 所以NMP，故选（D）. 19下列不定积分中，常用分部积分法的是（ ） 。 Axxxdsin 2 Bxxxd ) 12sin( Cx x xdln Dx x x d 1 答案：B。 20设dxdyyxI yx 3 1 2 4 2 )1 ( 22 ，则必有（ ） （A）I0 (B)I0 (C)I=0 （D）I0 的符号位不能确定 解： D

21、： 02 02r 2 14 22 22 33 00 0 3 d(1)d(1)0 4 Irr rr 21设 f(t)是可微函数，且 f(0)=1，则极限（dxdyyxf t tyx t )( 1 lim 222 22 3 0 ）( ) （A）等于 0 （B）等于)0( 3 2 f (C) 等于+ （D）不存在且非 C） 解：由极坐标，原极限 2 0 3300 000 2( ) 12( ) lim( )limlim 3 t t ttt rf r dr f t drf r dr ttt 22.设函数项级数 1 )( n n xu，下列结论中正确的是( ). （A）若函数列)(xun定义在区间I上，则

22、区间I为此级数的收敛区间 （B）若)(xS为此级数的和函数，则余项)()()(xSxSxr nn ，0)(lim xrn n （C）若Ix 0 使 1 0) ( n n xu收敛，则| 0 xx 所有x都使 1 )( n n xu收敛 （D）若)(xS为此级数的和函数，则 1 0) ( n n xu必收敛于)( 0 xS 解：选（B）. 23.设0a为常数，则级数)cos1 () 1( 1 n a n n （ ）. （A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）发散 （D）敛散性与a有关 解：因为 2 2 2 22 sin2)cos1 () 1( n a n a n a n ，而 1 2 2 2 n

23、n a 收敛，因此原级数绝对收敛. 故 选（A）. 24.若级数 1 )( ) 1( n n n n ax 在0x时发散，在0x处收敛，则常数a（ ）. （A）1 （B）-1 （C）2 （D）2 解：由于 1 )( ) 1( n n n n a 收敛，由此知1a.当11a时，由于 1 )( ) 1( n n n n ax 的收 敛半径为 1，因此该幂级数在区间) 1, 1(aa内收敛，特别地，在) 1, 0(a内收敛，此与幂 级数在0x时发散矛盾，因此1a.故选（B）. 25.xeyyy x 2cos52 的特解可设为（ ） （A）;2cos * xAey x （B）;2cos * xAxey

24、 x （C）;2sin2cos * xBxAxey x （D）.2sin2cos * xBxAey x 解：C 26.微分方程的阶数是指（ ） （A）方程中未知函数的最高阶数； （B）方程中未知函数导数或微分的最高阶数； （C）方程中未知函数的最高次数； （D）方程中函数的次数. 解：B 27.下面函数( )可以看作某个二阶微分方程的通解. （A）; 22 cyx （B）; 32 2 1 cxcxcy （C）;cossin 2 2 2 1 xcxcy （D）.coslnln 21 xcxcy 解：C 28.A、B 均为 n 阶可逆矩阵，则 A、B 的伴随矩阵 )(AB=（ ）. （A） B A

25、； （B） BAAB|； （C） AB （D） A B； 解答：D 29. 设 A、B 均为 n 阶方阵，则必有 。 (A) |A+B|=|A|+|B| (B) AB=BA (C) |AB|=|BA| (D) (A+B)1=A1+B1 解：正确答案为(C) 30.A,B 都是 n 阶矩阵,则下列各式成立的是 （ ） （A） TT T BAAB （B） TT T BABA （C） 11 1 BAAB （D） 11 1 BABA 解答：B 31. 在随机事件 A，B，C 中，A 和 B 两事件至少有一个发生而 C 事件不发生的随机事件可表 示为（ ） （A）ACBCU （B）ABC （C）ABCA

26、BCABCUU （D）ABCUU 解 由事件间的关系及运算知，可选（A） 32. 袋中有 5 个黑球，3 个白球，大小相同，一次随机地摸出 4 个球，其中恰有 3 个白球的 概率为（ ） （A） 3 8 （B） 5 31 88 （C） 3 4 8 31 C 88 （D） 4 8 5 C 解 基本事件总数为 4 8 C，设 A 表示“恰有 3 个白球”的事件，A 所包含的基本事件数 为 1 5 C=5，故 P(A)= 4 8 5 C ，故应选（D） 。 33. 已知 0P1,B 1 0P1,A 2 0P A1，且 12 PA|ABU 1 A |PB 2| P AB,则下列选项成立的是（ ） （A

27、） 1212 PA|A |ABPBP ABU; （B） 1212 PA|AABPP AU （C） 121122 P AA|A|BA BPP BP AP B AU （D） 1122 PA|A|BPP BP AP B A 解 由题可知 A1、A2互斥，又 0P(B)1，0P(A1)1，0P(A2)1，所以 P(A1BA2B)=P(A1B)+P(A2B)P(A1A2B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2) 故应选（C） 。 三、解答题 1.设函数 0 sin 0 0 1 sin )( x x x xa xb x x xf 问（1）ba,为何值时，)(xf在0x处有极限存在？ （2）b

28、a,为何值时，)(xf在0x处连续？ 解： （1）要)(xf在0x处有极限存在，即要)(lim)(lim 00 xfxf xx 成立。 因为bb x xxf xx ) 1 sin(lim)(lim 00 所以，当1b时，有)(lim)(lim 00 xfxf xx 成立，即1b时，函数在0x处有极限 存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时a可以取任意值。 （2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是 )()(lim)(lim 0 00 xfxfxf xxxx 于是有afb)0(1，即1 ba时函数在0x处连续。 2已知8 2 lim 23 2 x baxx

29、x ，试确定a和b的值 解. 8 2 lim 23 2 x baxx x ,048lim 23 2 babaxx x ,即ab48 8124422lim 2 84 lim 2 lim 2 2 23 2 23 2 aaxax x aaxx x baxx xxx , , 1a故4b 3设 01),1ln( 0 , )( 1 1 xx xe xf x ，求)(xf的间断点，并说明间断点的所属类型 解. )(xf在 , 1,1 , 0,0 , 1内连续, 1 1 1 lim x x e,0lim 1 1 1 x x e, 00 f, 因此, 1 sin lim)(lim 00 x x xf xx 1x

30、是)(xf的第二类无穷间断点; ,limlim 1 1 1 00 eexf x xx 01lnlimlim 00 xxf xx , 因此0x是)(xf的第一类跳跃间断点. 4求方程中y是x的隐函数的导数 （1）1ee yx xy, y 解：方程两边对自变量x求导，视y为中间变量，即 1)e ()e ()( yx xy 0eeyyxy yx yyx xy e)e( 整理得 y x x y y e e （2）设)sin(yxy，求 dx dy ， 2 2 dx yd ； 解：)1 ()cos(yyxy )cos(1 )cos( yx yx y yyxyyxy )cos()1 ()sin( 2 ，

31、33 )cos(1 )cos(1 )sin( yx y yx yx y 5设),(yxzz 由方程 yz xz e所确定, 求 xy z 2 . 解: 设xzzyxF yz e),(, 1 x F, yz y F e, 1e yz z F, 1e 1 yz x z , zyyz yz y z e1 1 1e e , 3 )(2 2 2 )e1 ( e )e1 ( e ) e1 1 ( zy zy zy zy zy x z xxy z . 6设函数)(xf在0,1上可导，且1)(0xf，对于（0 ,1）内所有 x 有, 1)( xf证明在 （0,1）内有且只有一个数 x 使 xxf)(. .)(

32、 , )1 , 0( , 1)(01)( 0)( , ),( , 1 , 0 , 0)()(, 1 , 0 )( . )( 1 , 0 ,)()( 21 212121 xxfx ffFccRolle cccFcFccxF xFxxfxF 使使内有且只有一个内有且只有一个与题设矛盾，故在与题设矛盾，故在 即即使使定理可得至少有定理可得至少有由由 ，即，即上存在两个零点上存在两个零点在在反设反设 至少有一个零点至少有一个零点上用零点定理，得上用零点定理，得在在设设 7.求函数 12 )1 ( xxy的单调区间和极值. 解解 函数 12 )1 ( xxy的定义域是), 1() 1,( 221 )1)

33、(1()1 (2 xxxxy 2 2 )1 ( )1 (2 x xxx 2 )1 ( )2( x xx 令 0 )1 ( )2( 2 x xx y，得驻点2 1 x，0 2 x )2,( -2 ) 1, 2()0 , 1( 0 ), 0( )(x f + 0 - 0 + )(xf 极大值 极小值 故函数的单调增加区间是)2,(和), 0(，单调减少区间是) 1, 2(及)0 , 1(，当 x-2 时，极大值4)2(f；当x0 时，极小值0)0(f. 8.在过点)6 , 3 , 1 (P的所有平面中, 求一平面, 使之与三个坐标平面所围四面体的 体积最小. 解: 设平面方程为1CzByAx, 其

34、中CBA,均为正, 则它与三坐标平面围成 四面体的体积为 ABC V 1 6 1 , 且163CBA, 令 ) 163(),(CBAABCCBAF, 则由 163 06 03 0 CBA AB A F AC A F BC A F , 求得 18 1 9 1 3 1 C B A . 由于问题存在最小值, 因此所求平面方程为 1 1893 zyx , 且811893 6 1 min V. 9求下列积分 (1)x x d 1 1 3 1 解：) 1( 2 3 lim 1 3 1 1 limd 1 limd 1 3 2 1 3 2 1 3 1 1 3 1 bxx x x x b b b b b 极限不

35、存在，则积分发散. (2) 222 222 ayx dyxa 解 222 ( , )f x yaxy是 D 上的半球面，由 222d D Iaxy 的几何意义知 I=V半球 = 3 2 3 a (3) D yd ，D 由 1,1,0 xyxyx 的围成。 解 关于 x 轴对称，且( , )f x yy是关于 y 的奇函数， 由 I 几何意义知， d0 D y 。 4判别级数 1 )cos1 () 1( n n n a （常数0a）的敛散性. 如果收敛，是绝对收敛还是条 件收敛? 解：由 n a n a n cos1)cos1 () 1(，而 0 2 1 ) 2 (2 lim 1 2 sin2

36、lim 1 cos1 lim 2 2 2 2 2 2 a n n a n n a n n a nnn ， 由正项级数的比较判别法知， 1 )cos1 ( n n a 与 1 2 1 n n 同时敛散. 而 1 2 1 n n 收敛，故 1 )cos1 ( n n a 收敛，从而原级数绝对收敛. 4判别级数 n n n ln 1 ) 1( 2 的敛散性. 如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛? 解：记 ) 1ln( 1 ) 1( 1 n u n n ，则 nn v n u 1 1 . 显见 1 1 n n 去掉首项后所得级数 1n n v仍是发散的， 由比较法知 1n n u发散， 从而 2n n

37、u发 散. 又显见 ) 1ln( 1 ) 1( 1 1 n n n 是 Leibniz 型级数，它收敛. 即 n n n ln 1 ) 1( 2 收敛，从而原 级数条件收敛. 4求幂级数 1 ) 1( n n nn x 在收敛区间上的和函数)(xS： 解：1 )2)(1( ) 1( limlim 1 nn nn a a n n n n ，所以1R. 又当1x时，级数成为 1 ) 1( ) 1( n n nn ，都收敛，故级数的收敛域为 1 , 1. 设级数的和函数为)(xS，即 1 ) 1( )( n n nn x xS. 再令 1 1 ) 1( )()( n n nn x xxSxf， 逐项

38、微分得， 1 )( n n n x xf， x xxf n n 1 1 )( 1 1 ， )1ln( 1 1 )( 0 0 xdx x dxxf xx ， 0)0( ),1ln()()0()(fxxffxf， x x xx dx x x xxdxxdxxf 0 0 0 0 1 )1ln()1ln()( xxxxxxx)1ln()1 ()1ln()1ln(， 故)1ln()1 ()(xxxxf，又显然有1) 1 (S，故 . 1 , 1 , 0 , 0 , 1 , 0 ),1ln( 1 1 )( x x xx x x xS 5求解微分方程 (1) 012 2 ydydxyx的所有解. 解 原方程可化为xdx y ydy 2 1 2 ， （当1 2 y） ，两边积分得cxy 22 1，即 cyx 22 1为通解。当1 2 y时，即1y，显然满足原方程，所以原方程的全部 解为cyx 22 1及1y。 (2) ; 22 yxyyx 解 当0x时，原方程可化为 2 1 x y x y y，令u x y ，得xuy ，原方程化为 2 1 uux，解之得cxu lnarcsin； 当0x时，原方程可化为 2 1 x y x y y，类似