期权的二叉树定价模型

1、1、期权的二叉树价格模型在实际金融市场最重要的问题是，在一定条件下，期权价格的合理值应该是多少，本节研究了对象资产离散且连续的情况下的欧元购买期权(call option )价格问题进行期权准确评价的一种常用方法是构建二叉树图。 此二叉树的图可以描述目标资产(股份)可以在可选的有效期内到达的路径。 2，1，单期二叉树模型，1 .二叉树模型的例子先看下面的例子。 假设某股票目前价格为$20，三个月后，股票价格可能为2美元22美元或$18美元。 假设股票不支付奖金，我们将在三个月后以$21的执行价格评估购买股票的欧元买入期权。 根据期权合同的定义，在期权的到期日，如果股价为$22，期权的价值为$1

2、；如果股价为$18，期权的价值为0。 3、股票和期权的取法如图所示，4、根据对冲定价的思想，根据期权定价，对冲定价的前提条件，如何利用二叉树模型进行期权定价。 我们能构筑股票和期权的投资组合，特别是把股票和期权分别做成合适的头型，我们能构筑期权和该股票的头型的无风险组合，无风险组合的价值三个月底就能确定。 因为这个组合没有风险，所以基于对冲的前提条件，所以这个组合的收益率一定等于没有风险的收益率，由此，求出关于期权价格的方程式，通过解这个方程式，可以求出期权价格。 组合只有两种证券(股票和股票期权)，结果只有两种，所以只要选择合适的股票和期权的比例，我们就一定能建立没有风险的组合。 5、建立以

3、下证券组合： 此组合包含股多头尺寸和购买期权的空头尺寸。 首先计算的值有多少，结构的组合就成为没有风险的组合。 股价从$20上升到$22时，股票价值为22，期权价值为$1，在此情况下，该证券组合价值为22-1，股价从$20下降到$18时，股票价值为18，期权价值为0，在此情况下，该证券的选择特定的值，两者的组合的最终价值相等的话，证券组合一定是没有风险的组合。 即，22-1=18，因为求出的：=0.25，6，所以根据以上求出的值，多头： 0.25股的股票的卖空：价格上升到$22时，这个组合的价值是，22*0.25-1=4.5股的价格下降到$18 无论股价如何变化，最终上升还是下降，期权的有效期

4、结束后，我们构建的证券组合的价值总是$4.5。 7、在无对冲的假设下，无风险证券组合的收益率一定是无风险的利率。 假定无风险利率为年率12%。 这个组合的现值一定是$4.5，也就是说可以用f来表示期权的价格。 因为我知道股票的当前价格是$20，所以此组合的当前价值是20*0.25-f=5-f，5-f=4.367中求出的f=0.633，除非对冲前提，否则期权的价值一定是$0.633。 8、如果期权价值超过$ 0.633，投资者就会发现这种组合的成本可能低于$ 4.367，而额外的利润超过无风险利率，与套期保值的前提条件相矛盾，如果期权价值低于$ 0.633，投资者就会把这种证券组合这与套利的前提

5、条件相矛盾。从9，2期权的二叉树计算公式中，考虑不支付红利的股票，把股票的现行价格设为s，把该股票作为目标资产，把有效期设为t，把某期权的价格设为f，在将来的t时股票的价格取2种值的情况下，股票的价格从s上升到新的价格，或从s更新股价向下变化时，股价减少率为1-d。 在期权的有效期t时，我们可以基于股票的获取情况计算期权的获取情况。 在股价变化为Su时，我们假定期权收益为fu，在股价变化为Sd时，我们假定期权收益为fd。 利用前面例子的想法，可以利用股票和期权合同建立无风险的证券的组合。 在证券组合中选择股的多头尺寸和期权合同的空头尺寸构成证券组合。 为了使这个证券的组合成为没有风险的组合，需

6、要计算股票多头英寸数的具体取法。 10、股价和期权价格的单步二叉树图，SufuSdfd股价从s上涨到su，该组合的价值从Su - fu股价从s下降到sd，该组合的价值从su到sd，该组合的价值从su到sd 11、上述证券组合无风险组合无论股价上升还是下降，在期权的到期日，上述两个值必须相等，即Su - fu=Sd - fd是整理得到的(1)，12，组合中股票的结构组合一定是没有风险的组合，根据没有对冲的假设条件，组合的收益一定是没有风险的利率。 如果用r表示无风险的利率，则其组合的现值为S -f，所以在上式中代入，则使用(2)、(3)、13 )单期二叉树模型公式来估计期权的价值，u=1.1、d

7、=0.9、r=0.12、T=0.25、fu=1、FD=。 由式得到的p=(e0.03-0.9)/(1.1-0.9)=0.6523选项的价值与先前的计算结果相同。 我们注意到，14，3期权的风险中性价格，二叉树期权的计算公式没有利用股票上涨和下降的概率。 例如，在上升概率为0.5时计算的欧元期权价格与在上升概率为0.9时计算的欧元期权价格相等。 直观上认为，如果股价上升的概率增加，基于股票的收购期权的价值也增加，收购期权的价值也会减少，这是自然的。 事实上，情况并非如此。 虽然没有必要假定股价上升和下降的概率，但是根据期权计算公式，变量p可以解释为股价上升的概率，所以变量1-p是股价下降的概率。

8、 十五、期权的预期收益。 根据这样的p的解释，公式意味着期权的现值是通过无风险利率减去未来期权的期望值的值。 16、假设上升变化的概率，考察股票的预期收益。 t时预测的股价由下式给出：将p式代入上式，简化：上式的说明，股价平均以无风险的利率增加。 因此，上升变化的概率等价于假定股价收益为无风险利率。 (4)、17、所有投资者都是风险中性的世界，被称为风险中性世界(risk-neutraldl )。 在这样的世界里，投资者对风险不要求补偿，证券市场的所有证券的预期收益假定为无风险的利率。 公式(4)表示：将上升变化的概率设定为时，假定所有投资者都是风险中立。 公式(2)的说明：在风险中性世界中，

9、设定期权价格时，可以假定证券市场上所有证券的预期收益是无风险利率，期权的价值是用无风险利率减去的值。18、采用风险中性价格法计算上述例题，发现股价现在为$ 20，3个月末股价有可能上涨到$22或下降到$18。 本例中考虑的期权是实行价格为$21，有效期为3个月的欧元购买期权，无风险利率为年利率12%。 在风险中性假设下股价上升变化的概率是p。 在这样的世界里，股票的预期收益率一定等于无风险利率的12%。 这意味着必须满足22p 18 (1- p )=20e 0.12 * 0.25 p=0.6523。 在三个月结束时，期权价值为$1的概率为0.6523，价值为0的概率为0.3477。 因此，期权的预期值与通过用0.6523 1 0.3477 0=$0.6523无风险的利率折扣得到的： 0.6523e-0.12*0.25=0.633的计算结果相同，这是套期保值理论和、19、二、二叉树模型的应用很明显，期权有效期内的股价变化只由一期或二期构成，不符合金融市场股价的实际变化情况。 因此我们列