多元函数微分学习题课.ppt

1、1,A,6.8 多元函数微分学习题课,多元函数微分学的知识要点,首页 上页 下页 返回 结束,多元函数微分学的例题选讲,2,A,6.8.1 多元函数微分学的知识要点,首页 上页 下页 返回 结束,1、了解空间直角坐标系，熟悉常见空间曲面的方,程和图形,之间,空间中两点,的距离公式：,3,A,首页 上页 下页 返回 结束,本章的概念都是先从二元函数给出，然后进行推,广,所以一定要熟悉常见空间曲面的方程和图形,例如，,表示以定点,为球心， R为半径的球面,表示空间中的平面,（,全为常数，且,不全为零 ）,4,A,首页 上页 下页 返回 结束,表示以xOy面上的圆,为母线，以平行于z轴的直线为准线的

2、圆柱面,5,A,首页 上页 下页 返回 结束,表示旋转抛物面，,而,表示圆锥面.,x,y,z,o,6,A,首页 上页 下页 返回 结束,2、理解多元函数极限、连续的概念，了解二元,理解好多元函数极限与一元函数极限的区别，会,以二元函数为切入点，理解好多元函数概念，会,连续函数在有界闭区域上的性质,求其定义域,证明二元函数在某点极限不存在,二元函数极限的定义,A是一个常数,设二元函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个去心邻域,有定义,如果对任意给定的正数,总存在正数,使得当,时，,7,A,首页 上页 下页 返回 结束,都有,则称常数A是二元函数z=f(x,y)当,时,的极限，,记作,如

3、果我们发现点P(x,y)以不同方式趋近于P0(x0,y0),时，函数值趋于不同的值，那么就可以断定这个函数,当,时极限不存在,我们经常利用这一点来证明二元函数在某点处,极限不存在,8,A,首页 上页 下页 返回 结束,以计算一些简单的二元函数极限,多元函数的连续也可以用 “连续,极限值=函数,利用以前学过的求极限方法，通过变量替换，可,值”来理解,3、理解多元函数偏导数的概念，会求多元函数的,偏导数和高阶偏导数,偏导数的定义,固定y = y0，当x在x0有增量x时，相应地函数有增量,设二元函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义,9,A,首页 上页 下页 返回 结束,如果,存

4、在，,则称此极限为,函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，,记为,或,z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数，,类似可定义,记为,或,10,A,首页 上页 下页 返回 结束,多元函数求偏导数的实质仍是一元函数求导,例如求z=f (x,y)对某一个自变量的偏导数时，只需把,另一个自变量看成常数，这就是一元函数的求导问题，,并没有引进新的方法,也就是说，求,看作常数，对x求导即可；,时，只要把 y,作常数，对y求导即可,同理，求,时，只要把 x看,4、理解全微分的概念，会求多元函数的全微分,全微分的概念,设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个邻域有定义，,11

5、,A,首页 上页 下页 返回 结束,若z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处的全增量z可以表示为,其中A，B是不依赖于x ，y ，仅与x0，y0有关的常,数，,则称函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处,可微，,且称Ax +By为函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处的,全微分，,记作dz，,即,此外，要理解全微分、偏导数、连续之间的关系,以二元函数z=f (x,y)为例：,两个偏导数连续,可微,两个偏导数存在,连续,12,A,首页 上页 下页 返回 结束,5、掌握多元复合函数的微分法,掌握多元复合函数的求导法关键在于对复合函数,多个变量之间的关系进行正确的分析，分清哪一个是,自

6、变量，哪一个是中间变量，它们之间具有什么关系,避免求导步骤的遗漏或增添,在求二阶偏导数时，必须要清楚一阶偏导中的,仍然是以u，v为中间变量， x，y为自变量的复合函数！,抽象的多元复合函数求二阶偏导数是本章的难点,13,A,首页 上页 下页 返回 结束,6、熟练掌握隐函数的微分法,定理6-6,偏导数，,则方程F(x,y)=0,在点(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个具有连续,导数的函数y=f(x) ，它满足y0=f(x0) ，并且,设函数F(x,y)在点(x0,y0)的某邻域有连续的,本章的两个定理将求隐函数所确定函数的导数或偏,导数公式化,14,A,首页 上页 下页 返回 结束,定理6

7、-7,的偏导数，,F(x,y,z)=0在点(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个,具有连续偏导数的函数z=f(x,y) ，它满足z0=f(x0,y0) ，且,则方程,设函数F(x,y,z)在点(x0,y0,z0)的某邻域有连续,6、熟练掌握多元函数无条件极值和条件极值的求法,多元函数极值,无条件极值,条件极值,15,A,首页 上页 下页 返回 结束,无条件极值的求法,具有二阶连续偏导数的函数z=f(x,y)的极值求法：,第一步 解方程组,求得一切实数解，即可求出一切驻点,第二步 对于每个驻点(x0,y0) ，求出二阶偏导数,的值A，B和C,第三步 定出,的符号，按定理6-9的结论,判

8、定f(x0,y0)是不是极值，是极大值还是极小值,16,A,首页 上页 下页 返回 结束,条件极值的求法,拉格朗日乘数法具体求解步骤如下：,首先，构造拉格朗日函数,接着，求拉格朗日函数关于自变量一阶偏导数，,并使之为零，然后与约束条件联立成方程组解出,最后，判别求出的可疑极值点是否为真的极值点，,通常由实际问题的具体意义来判定,可疑极值点,17,A,6.8.2 多元函数微分学的例题选讲,首页 上页 下页 返回 结束,例1,在z轴上求与两点A(4, 1, 7)和B(3, 5, 2)等,解,距离的点.,设该点为M(0, 0, z),由题设|MA| = |MB|,即,解得,即所求点为,18,A,首页

9、 上页 下页 返回 结束,解,19,A,首页 上页 下页 返回 结束,例3,证明,证明,在(0,0)连续.,因为,由夹逼准则得,所以f (x,y)在(0,0)连续.,20,A,首页 上页 下页 返回 结束,例4,求,解,设,21,A,首页 上页 下页 返回 结束,解,例5,求函数,的二阶,偏导数,22,A,首页 上页 下页 返回 结束,解,例6,设二元函数,求全微分 dz .,因为,由全微分定义得,23,A,首页 上页 下页 返回 结束,解,例7,设,求,及,如图,z,u,x,v,y,24,A,首页 上页 下页 返回 结束,解,例8,设,如图，,求全导数,z,u,v,t,则,25,A,首页 上

10、页 下页 返回 结束,解,例9,令,设,其中f 可微，求,及,则,于是,26,A,首页 上页 下页 返回 结束,例10,设,解,设,确定了函数,求,及,则,27,A,首页 上页 下页 返回 结束,解,例11,求函数,的极值,解方程组,求得驻点为(0,0)、(1,1) ,再求出二阶偏导数：,在点(0,0)处，A=0，B=3 ，C=0，B2AC=90，,28,A,首页 上页 下页 返回 结束,所以函数在(0,0)处无极值 ,在点(1,1)处，A=6，B=3 ，C=6，B2AC=270，所以函数在(1,1)处有极小值f(1,1)=1 ,例12,某企业在雇用x名技术工人、y名非技术,工人时，产品的产量