【书城】2017年高考通关讲练高考数学(理科)课标通用第8辑：二、直线的位置关系.doc

1、1.根据两条直线的斜率，可以判断这两条直线是平行的还是垂直的。2.两条相交直线的交点坐标可以通过求解方程得到。3.掌握两点之间的距离公式和点到直线的距离公式，找出两条平行直线之间的距离。高考这一部分的考试方法：(1)两条直线的平行和垂直问题；(2)以直线和圆锥曲线为背景，结合轨迹和可变范围等问题。1.两条直线之间的位置关系斜截式通式与.相交垂直于与平等和或者与.巧合和注：(1)当两条直线平行时，不要忘记它们的斜率不存在的情况；(2)当两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零。2.两条直线的交点对于直线L1: a1x b1y C1=0，L2: a2x b2y C2=0，

2、和的交点坐标是方程的解。(1)方程有唯一的解和交点，交点的坐标就是方程的解；(2)方程组没有解；(3)方程组有许多解和重合。3.距离问题(1)平面上任意两点间的距离P1(x1，y1)，P2(x2，| p1p2 |=。(2)距离d=从点P0(x0，y0)到直线l: ax乘以c=0。(3)两条平行线之间的距离d=ax乘以C1=0，ax乘以C2=0 (C1 C2)。4.对称性问题(1)中心对称：点是点的中点，中点坐标公式为。(2)轴对称：如果一个点相对于一条直线的对称点是。示例1 (1)如果已知直线L1: (a-1) x 2y 1=0平行于L2: 3x ay-2=0，则a=_ _ _ _ _ _ _

3、(2)已知直线L1: 2x y=1，L2: ax-3y=0，如果l1l2，则a=_ _ _ _ _ _ _ _(3)如果已知穿过点A (-2，0)和B (1，3a)的直线l1和穿过点P (0，1)和Q(a，-2a)的直线l2彼此垂直，则实数A=_ _ _ _ _ _。答案 (1)-2或3；(2)；(3)0或1分析 (1)如果a=0，两条直线的方程为-x 2y 1=0，此时，两条直线相交且不平行，因此a 0.当a 0时，如果两条线平行，则解为a=-2或3。(2)在方法一中，因为l1l2，k1k2=-1，也就是说，解是a=。在第二种方法中，因为l1l2，2a1 (-3)=0，所以解是a=。(3)L

4、1的斜率，在那时，l2的斜率，来自l1l2，得到K1K2=-1，即，求解a=1；当A=0，A (-2，0)，B (1，0)，P(0，-1)，Q (0，0)时，当直线l1的斜率为0时，直线l2的斜率不存在，显然L1是 L2。测试位置两条直线平行或垂直近两年来，高考主要以选择题或填空题的形式考查两条直线的平行和垂直问题。直线方程通常包含参数，问题的难点是确定这些参数的值。该方法是根据两条直线平行且垂直时满足的条件列出参数的方程(组)，并求解方程(组)以找到参数的值。同时，应注意：(1)当直线方程中有字母参数时，不仅要考虑斜率的存在。(2)当判断两条直线平行且垂直时，也可以直接利用直线方程系数之间的

5、关系得出结论。【例2】(1)如果直线y=k2k 1和y=x 2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围为_ _ _ _ _ _；(2)穿过L1: 3x 2Y-1=0和L2: 5x 2Y-1=0的交点并垂直于L3: 3x-5Y 6=0的直线L的方程为_ _ _ _ _ _。答案(1)；(2)【分析】(1)方法1可以从问题中得知并求解，所以直线y=k2k 1和y=x 2的交点是，并且交点位于第一象限，所以它被求解。方法两条直线y=x 2分别在点a (4，0)和b (0，2)与x轴和y轴相交，直线方程y=k2k 1可以转换为y-1=k (x 2)，这表示一条斜率为k的移动直线通过固定点p (-2，1)

6、，因为两条直线(2)第一种方法是这样求解的，即直线l1和l2的交点是(-1，2)，而ll3是直线l3的斜率，所以K3Kkl=-1和直线l的斜率kl=，那么直线l的方程是，即。方法2的求解方法是，直线l1和l2的交点是p (-1，2)。因为ll3，可以假设直线l的方程是，点p在直线l上，所以它是解的，所以直线l的方程是。根据第三种方法，直线l的方程可以是3x 2y-1 (5x 2y 1)=0，即，(3 5) x (2 2) y (-1 )=0。因为ll3，3 (3 5)-5 (2 2)=0，解是=，所以直线l的方程是。测试中心位置两条相交线的交点坐标子项目(2)的第二和第三种方法都使用直线系统的

7、方程来建立直线L的方程，而第三种方法使用相交直线系统来建立方程，并且使用待定系数法来寻找直线方程，这避免了寻找直线l1和l2的交点坐标。它方便简单，是最佳解决方案。例3 (1)如果从点a (2，3)和b (-4，5)到直线l的距离相等，并且直线l通过点p (-1，2)，则直线l的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。(2)如果由两条直线L1: X-Y 1=0和L2: X-Y 3=0切割的线段的长度为0，则直线M的倾斜角 (为锐角)为_ _ _ _ _ _。答案 (1) X 3Y-5=0或X=-1；(2)15或75【分析】(1)方法1当直线L的斜率不存在时，直线L: x=

8、-1，点A和点B到直线L的距离相等，这符合问题的含义。当直线L的斜率存在时，让直线L的方程为y-2=k (x 1)，即kx-y k 2=0。从问题的含义，即| 3k-1 |=|-3k-3 |，解是k=。直线l的方程式是y-2=(x 1)，也就是说，x 3y-5=0。总而言之，直线l的方程式是x 3y-5=0或x=-1。方法二：当ABl，KL=kab=，直线l的方程为y-2=(x 1)，即x 3y-5=0。当l通过AB的中点时，直线l的方程是x=-1，假设AB的中点是(-1，4)。总而言之，直线l的方程式是x 3y-5=0或x=-1。(2)显然，直线l1l2与直线L1和L2之间的距离，让直线m在

9、点b和a处与l1和l2相交，然后|AB|=，如果直线l垂直于直线l1，并且垂直脚是c，则|AC|=d=，在，sinABC=，所以ABC=30。直线l1的倾角为45，因此直线m的倾角为45-30=15或45-30=75。因此，直线m的倾斜角为15或75。测试点的位置从一点到一条直线的距离以及两条平行线之间的距离【老师是画龙点睛】(1)要找出两点之间的距离，关键是确定两点的坐标，然后把它们代入公式；(2)要解决点到直线的距离问题，应该记住点到直线的距离公式。如果已知点到直线的距离，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在；(3)为了求两条平行线之间的距离，首先将线性方程中x和y的对应系数转化为

10、相等的形式，然后用距离公式求解，也可以转化为点到直线的距离问题。例4 (1)如果通过点p (0，1)的直线l的线段的中点是p，其被直线L1: 2x y-8=0和L2: x-3y 10=0所切割，则直线l的方程是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；(2)假设直线L: 2x-3y 1=0且点A (-1，-2)，点A的对称点A相对于直线L的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _。(3)如果直线L: 2x-3y 1=0是已知的，那么对称直线相对于直线L的方程是_ _ _ _ _ _。答案(1)X4Y-4=0；(2)；(3)9x-46y+102=0分析 (1)假设l1和l的交点

11、是a (a，8-2a)，那么点A相对于点p的对称点b (-a，2a-6)在l2上，并且l2的方程被替换以得到-a-3 (2a-6) 10=0，并且解是a=4，其由点A(4，2a-6)定义(2)让A(x，y)由已知解，所以。(3)如果y测试点位置两条相交线交点的坐标和两条线之间的位置关系要解决对称问题，我们必须掌握以下两点：(1)已知点与对称点的连接垂直于对称轴；(2)以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上。例5给定点a (3，1)，分别求出直线y=x和y=0上的点m和n，从而求出最短周长和最短周长。分辨率从点a (3，1)和直线y=x，可以获得点a相对于y=x的对称点b (1，3)。类似

12、地，可以获得点A相对于y=0的对称点C(3，-1)。如图所示，|AM| |AN| |MN|=|BM| |CN| |MN|BC|，并且当且仅当四个点B、M、N和C共线时，| BC |=。根据b (1，3)和c (3，1)，直线BC的方程是2xy-5=0。所以点m的坐标是。对于2x y-5=0，让y=0，那么点n的坐标为。因此，找到直线y=x上的点m和y=0上的点n可以使周长最短，也就是。测试点位置两条相交线交点的坐标和两条线之间的位置关系【名师点睛】如果一条直线上从一个点P到两个固定点A和B的距离之和是最小的，那么点P必须在线段AN上，所以在L的同一侧的点通过对称变换成在另一侧的点；如果点P与两

13、个固定点A和B之间的距离最大，那么点P必须在点AN或点BM的延长线上。因此，L的不同边上的点通过对称性被转换成同一边上的点(M，N是点A和B关于L的对称点)。跟踪培训1.2016济南三款“M=3”是“直线L1: 2 (M 1) X (M-3) Y 7-5m=0和L2线：(m-3) x 2y-5=0是垂直的A.充分和不必要的条件C.充分和必要条件2.2016湖北八市联考已知M=，N=(x，y) | ax 2y a=0，然后a=A.-6或-2b-6 C2或-6d-23.已知直线L的倾斜角是直线l1通过点A (3，2)和B(a，-1)，并且l1垂直于L，并且直线L2: 2x乘1=0平行于直线l1，那

14、么甲乙等于_ _ _ _ _ _。从点p (2，1)到直线l: MX-y-3=0()的最大距离是_ _ _ _ _ _。5.2016深圳模拟假设通过固定点A的移动直线x my=0和通过固定点B的移动直线MX-y-m 3=0相交于一点，峰均比的最大值为。6.已知平面上有三条直线x 2y-1=0，x 1=0，x ky=0。如果平面被这三条直线分成六个部分，那么实数k的所有可能值的集合就是_ _ _ _ _ _ _。7.(1)正方形的中心是点C (-1，0)，一条边所在的直线方程是X 3Y-5=0，所以求其他三条边所在的直线方程；(2)如图所示，让线l通过点(-1，1)，由两条平行线L1: x 2y

15、-1=0，L2: x 2y-3=0切割的线段中点位于线L3: x-y-1=0，并求出线l的方程.图7图88.如图所示，在等腰直角三角形中，AB=AC=4，点P是边AB上不同于A和b的一点。光线从点P开始，经点BC和点CA发射后返回原点P。如果光线QR穿过三角形ABC的重心，则计算AP的长度。1.a分析 2 (m 1) (m-3) 2 (m-3)=0来自l1l2，并且解是m=3或m=-2，因此m=3是l1l2.的一个充分和不必要的条件2.分析集合m表示去除了点a (2，3)的直线3x-y-3=0，集合n表示通过固定点b (-1，0)的直线ax 2y a=0。由此可以得出结论，两条直线是平行的，或

16、者直线ax 2y a=0，直线3x-y-0。3.-2分析因为直线L的斜率是-1，所以直线l1的斜率是1，也就是说，KAB=1，并且解是A=0。从L1L2，=1，即b=-2，所以a b=-2。4.分析对于直线L: MX-Y-3=0()，让m=0，然后-Y-3=0；让m=1，然后x-y-3=0，求解方程，然后直线l通过固定点Q(0，-3)，如fi所示当点p与点a和b不重合时，很容易知道p是直线x my=0和MX-y-m 3=0的交点，因此它是一个直角三角形。因此，当且仅当pa=Pb时，等号成立，因此PA=PB的最大值为5。6.0，1，2 分析如果三条直线中的两条平行，另一条与这两条直线相交，则满足要求，此时k=0或2；如果三条直线在一点上满足要求，此时k=1，那么由实数k的所有可能值组成的集合为0，1，2。7.分析 (1)距离d=从点c到直线x 3y-5=0。平行于x 3y-5=0的直线方程是x3y m=0(m - 5)。那么从点c到直线x 3y m=0的距离是d=，解是m=-5或m=7。因此，平行于x 3y-5=0的边的直线方程是x 3y 7=0。假设垂直于x 3y-5=0的直线方程是3x-y n=0，然后，从点c到直线3x-y n=0的距离d=被求解为n=-3或n=9。因此，垂直于x 3y-5=0的直线的方程分别是3x-y-3=0和3x-y 9=0。(2)平行于l1和l2且距