材料力学(静不定)

1、第11章，超静定结构，总结了现有的基础：什么是超静定；解决超静定问题的基本方法：超静定结构的性质。现在的问题是：如何利用对称性和反对称性来减少未知力的数量？如何应用能量原理：写出变形协调方程并求出方程中的位移？能量原理在求解超静定问题中的应用，超静定问题的11-1解法，超静定问题：如果未知力(外力或内力)的数量等于独立平衡方程的数量，所有未知力只能通过静态平衡方程求解。这类问题称为静定问题，相应的结构称为静定结构。静定和超静定的概念，超静定问题：如果未知力(外力或内力)的数量大于独立平衡方程的数量，所有未知力不能仅由静态平衡方程确定。这种问题称为超静定问题或超静定问题。“两个和尚挑水吃，三个和

2、尚没水吃”可能是超静物学问题的最早例子。冗余约束：添加到静定结构中的一个或几个约束，对于保持平衡是不必要的(但对于特定的工程要求是必要的)，称为冗余约束。相应的约束力称为冗余约束反作用力(B-固定端约束)。由于超静定结构能有效地减小结构的内力和变形，因此在工程中得到广泛应用(如桥梁等)。)。超静定的数量：未知力的数量和平衡方程的数量之间的差也等于冗余约束的数量，相应的结构称为超静定结构或超静定结构。根据结构及其约束的特点，超静定结构可分为三类：(2)超静定问题的分类；(1)具有外力的超静定结构-外部约束具有冗余约束。例如，它是一个外力超静定，3，一个内部和外部超静定结构，2，一个内力超静定结构

3、只有内部有多余的约束。例如，一个封闭的刚架在一般横截面上有三个内部约束力n，q和m。具有内力的超静定结构，3。拉(压)杆超静定问题的解法：1。比较变形法，将超静定问题转化为超静定问题求解，但必须满足原结构的变形约束条件。(1)选择基本静定结构(静定基础如图所示)，B端将释放多余约束，用约束反力代替。解决方案：示例1。杆的上半部分是铜的，下半部分是钢的，杆的两端是固定的，所以要计算两部分的轴向力。(3)比较两次计算的变形，其值应满足变形协调条件，并建立方程求解。(2)仅在原始外力作用下，仅在约束反力而非约束作用下，求静定基础在约束解除处的位移。(1)画出解：的节点A的应力图，建立平衡方程。有2个

4、未知力和1个平衡方程，所以它是超静定的。2.几何分析法，例2。结构如图所示。解决超静定问题的关键是找出求解所有未知约束反力所缺少的补充方程。变形后，结构的所有部分必须像以前一样完整和连续，并满足约束条件，即满足变形协调条件。、(3)代入物理关系建立补充方程，、(2)如图3所示，铰链，画出节点A的位移图，列出变形协调条件。应该注意的是，设置的变形属性必须与力属性设置一致然而，通常很难分析变形并找到等效关系。11-2力法用于求解超静定系统，力法是求解未知反作用力的直接方法。基本思想：是建立未知约束反作用力x(反作用力m)为未知的变形方程。变形比较法：是一种通过几何关系直接建立补充方程来求解超静定梁

5、的方法。1.对于弹性体，变形量与外力2成正比。未知力引起的变形量是单位力引起的变形量的X (M)倍。3.单位力产生的变形可用莫尔积分法求解。通过计算这些变形，最终得到未知的约束反力。基本原理：受均布载荷的中点支承简支梁的受力分析。(1)以基本结构为例(消除多余的约束，弥补多余的反作用力)，在基本结构中，点C的挠度是由Q和X1载荷引起的。使用叠加法：和2求出点c的总变形，1)由外部载荷q引起的X1方向的位移1P，符号中：第一个下脚标记“1”表示位移发生在X1方向的X1作用点；第二个脚标记“P”表示位移是由实际载荷P、引起的，2)位移1P+ 1x1， 1x1方向由多余约束反应X1引起，点C的总位移

6、： 1p 1x1，1X 1需要找到新的算法。在符号中，第一个脚标记“1”表示位移沿X1方向发生在X1作用点；第二个脚标记“X1”表示位移是由多余的约束反作用力X1引起的。如果 1用于表示在外力(Q)和多余约束反作用力(X1)的共同作用下，点C沿X1方向的位移。点c的总位移为 1= 1 p 1 X1， 1=0，并且因为点c是扭转轴承，所以在X1方向上 1的实际位移为零，即 1= 1 p 1 x 1=0，并且因为实际载荷p是已知的，所以 1 p可以通过单位力法来计算。并且冗余约束反应X1是未知的，因此有必要考虑如何计算 1x1。 1x1(X1(由X1引起的X1方向的位移)很难直接计算1 X1。首先

7、，假设在X1的作用下沿X1方向施加单位力，并且仅在单位力的作用下获得变形11。也就是说， 1X1= 11X1，由 1p 1x1=0给出，其中11和 1p可以通过单位力法获得，然后可以获得x1。 1p 11X1=0，约束反作用力X1是单位力的X1倍。根据“弹性体变形与力成正比”的特点。根据“弹性体的变形与力成正比”的特性，单位力的X1倍的约束反应X1产生的变形 1X1也是11的X1倍。1) 1p(仅在外部载荷下的中点偏转):2)11(仅在单位力下的中点偏转)，1p=5q 14/(384 ei)， 1p 11X1=0，单位力的方向与X1相同。 1p 11x1=0。力法的基本思想是建立未知约束反力x

8、(反力m)的变形方程。对于弹性体，变形与外力成正比，未知力引起的变形是单位力引起的变形的X(M)倍。单位力引起的变形可用莫尔积分法求解。通过计算这些变形，最终得到未知的约束反力。力法可以写成一个标准的正则方程： 11x1 1p=0。当有许多未知力时，它可以写成线性代数方程组。求解线性方程组的算法很多，而且计算简单。因此，力法适用于求解具有更多未知力的超静定结构。特别适用于计算机求解，参考实例：立方超静定刚架，首先，取基本结构，其次，计算荷载下的变形，第三，计算变形， 1= 11x1 12x2 13x3 1p=0， 2= 21x1 22x2 23x3 2。 3= 31x1 32X2 33X3 3

9、p=0，x1方向变形：X2方向变形：X3方向变形： 11x1 12x2 13x3 1p=0， 21x1 22x2 23x3 2p=0， 31x1 32X2 33X3 3p=0，成为三阶l系统，计算1P:计算11:并推导出其他系数。系数矩阵已知，非齐次项已知，可得到未知量矩阵：将等效计算量代入矩阵：超静定问题的力法正则方程，悬臂梁实例AB如图所示，A端和B端固定。问题是三次超静定。去掉A端的固定支撑，得到反力未知的静定结构，称为静定基础。利用叠加原理，分别画出外荷载(图B)；反作用力X1和X2的单独作用图(图b和图c)。其中，在静定基础上，由X1和X2方向的外荷载引起的位移分别表示。根据归一化要

10、求重写，其中，它是Xi方向上的总位移；是静定基础中外部荷载(p)在Xi方向上的位移；在静定基础上，未知反作用力Xj=1在Xi方向上的位移；上述公式称为力法正则方程和柔度系数。用莫尔积分，正则方程中的柔度系数写成：二次超静定问题应画多少个弯矩图，莫尔图应乘以多少次？三次超静定问题怎么样？问题：利用已有知识，证明柔度系数具有对称性dij=dji，悬臂梁AB如图所示，A端和B端是固定的。找到反作用力。解决方法：分别绘制静定基础(图a)和弯矩图b-d。用常规的力法方程代替，并求解联立方程得到，实例的内力是一个超静定桁架，如图6-15(a)所示，假设每根杆件的轴向力相等，计算两种情况下每根杆件的轴向力：

11、(1)在力p的作用下；(2) P=0，但是杆5被t加热，并且材料的膨胀系数是已知的。解决方案：(1)断开杆5，并添加一对约束内力X1，以获得静定基础，如图6-15(b)所示。(2)只有杆5加热，常规方程为11x11t=0.1t=L5t，这是杆5加热引起的相对位移。根据表中的数据计算，它是通过代入规则方程11x11p=0而获得的，并且其他杆的内力由读取器计算。问题：当外部负载和温度都发生变化时，如何解决这个问题？第二，用陈宛岚方法理解超静定问题的方法：(1)去掉多余的约束，用多余的未知力X1，X2，Xm代替它们。(2)应变能u表示为原始载荷P1，p2.pn；和多余的未知力的作用U=U(P1，P2

12、，Pn；X1，X2，圣诞节).(3)利用冗余约束下的位移条件和陈宛岚定理，得到：(Ci为Xi方向的广义位移，i=1，2，m)；(3)有时，利用对称性和反对称性可以简化超静定问题的计算。结论：对于对称结构(几何对称、约束对称、刚度对称)，1 .如果它们受到对称载荷(这意味着它们根据对称轴对折后重叠)，对称截面上只有对称内力，即只有M和N是可能的，而Q 0，Mt 0，2。如果它们承受反对称载荷，则它们处于对称截面。3。有时这个问题可以分解成对称和反对称问题，例如：一个M N N 2PA分解成P P P一个对称Q P P反对称、例4:用能量法计算刚架A、B和c的约束力。已知每根杆的EI相同(不包括n和q的影响)。解决方案是对称结构承受反对称载荷，因此在对称截面c处只有反对称内力Qc，如图(b)所示，、P、A、b、l、l、l、l、P、然后，从图(a)的反对称，很容易找到反作用力在b(略)，F，D，M=QCL，M=QCL-Px，C，如果它是一个不对称问题，它应该转化为对称和反对称问题。变形分析采用解析法。对于变形复杂、几何分析困难的问题，可将结构放入坐标系和e