材料力学--附录A截面的几何性质

1、附录A 截面的几何性质,附录A 截面的几何性质,在工程中，我们总是希望在满足安全条件的前提下，尽可能地使用较少的材料，以取得较好的经济效果，由此就会遇到一些与构件的截面形状和尺寸有关的几何量，这些量统称为截面的几何性质。 截面的几何性质是影响构件的承载力的重要因素之一。一般工程问题，截面的几何性质主要包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、形心主轴和形心主矩等。工程力学中，研究杆件的应力与变形，研究失效问题以及强度、刚度、稳定性问题，都要涉及到与截面的几何性质有关的量。,附录A 截面的几何性质, 静矩、形心及其相互关系, 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径, 惯性矩与惯性积的平行

2、移轴定理, 惯性矩与惯性积的转轴定理, 主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩, 组合图形形心、形心主轴和形心主矩的计算,附录A 截面的几何性质, 静矩、形心及其相互关系, 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径, 惯性矩与惯性积的平行移轴定理, 惯性矩与惯性积的转轴定理, 主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩, 组合图形形心、形心主轴和形心主矩的计算,截面A对于 y 轴的静矩,截面A对于 z 轴的静矩,注意：, 静矩是一个代数量，可正、可负或为零；, 同一截面对不同坐标轴的静矩不同；, 静矩的常用单位是m3或mm3。,附录A 截面的几何性质,点C (zC，yC)称为截面形心，通过形心的坐标轴称

3、为形心轴。,1、截面对形心轴的静矩为零；,2、若截面对某轴的静矩为零，则该轴必为形心轴。,3、已知静矩可确定截面的形心坐标；已知截面的形心坐标可确定静矩。,附录A 截面的几何性质,由若干个简单截面（如矩形、圆形、三角形等）组成的截面称为组合截面。组合截面对于某一轴的静矩等于各组成部分对同一轴的静矩的代数和，即,也可以通过静矩来计算组合截面的形心位置，即,其中Ai、zCi、yCi分别表示第 i 个简单截面的面积及形心坐标。,附录A 截面的几何性质,试确定下图的形心。, 【例1】,【解】,方法一：用正面积法求解。将截面分割为两个矩形，建立坐标系如图所示。,形心C坐标为（-20.3，34.7）。,附

4、录A 截面的几何性质,C1（0,0） C2（5,5）,【解】,方法二：用负面积法求解。将截面分割为两个矩形，建立坐标系如图所示。,形心C坐标为（-20.3， -20.3）。,这两种方法所得到的形心坐标不同是由于选择不同的坐标系引起的。,附录A 截面的几何性质,试确定等腰梯形面积的形心和对底边的静矩。,C1,C2,截面对底边的静矩,形心位置, 【例2】,【解】,附录A 截面的几何性质,附录A 截面的几何性质, 静矩、形心及其相互关系, 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径, 惯性矩与惯性积的平行移轴定理, 惯性矩与惯性积的转轴定理, 主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩, 组合图形形心、形心主轴

5、和形心主矩的计算,截面对 y 轴的惯性矩,截面对 z 轴的惯性矩,截面对O点的极惯性矩,注意：, 惯性矩恒为正值；, 同一截面对不同坐标轴的惯性矩不同；, 惯性矩的常用单位是m4或mm4。,附录A 截面的几何性质,力学计算中，常将惯性矩写成截面面积A与某一长度（称为惯性半径）平方的乘积，即,或,注意：, 惯性半径恒为正值；, 同一截面对不同坐标轴的惯性半径不同；, 惯性矩的常用单位是m或mm。,附录A 截面的几何性质,截面对 yz 轴的惯性积,注意：, 惯性积是一个代数量，可正、可负或为零；, 惯性积是对一对坐标轴而言的，这与静矩、惯性矩和惯性半径是不同的；, 惯性积的常用单位是m4或mm4；

6、, 如果一对相互垂直的轴中一个坐标轴通过截面形心，则截面对这一对轴的惯性积为零，反之，如果截面对一对轴的惯性积为零，则其中一轴必通过截面形心。,附录A 截面的几何性质,已知：圆截面直径d，求：Iy， Iz， IP。,取圆环微元面积, 【例3】,【解】,附录A 截面的几何性质, 【例4】,【解】,已知：矩形截面b h，求：Iy， Iz 。,分别取平行于 x 轴和 y 轴的微元面积，,附录A 截面的几何性质,附录A 截面的几何性质, 静矩、形心及其相互关系, 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径, 惯性矩与惯性积的平行移轴定理, 惯性矩与惯性积的转轴定理, 主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩,

7、组合图形形心、形心主轴和形心主矩的计算,平行移轴定理（parallel-axis theorem）是指截面对于互相平行轴的惯性矩、惯性积之间有如下关系：,其中：A为截面面积，x、 y轴为形心轴， x1、 y1为分别与x、y轴平行的轴，a、b分别为相应平行轴之间的距离。,附录A 截面的几何性质,证明：,根据惯性矩和惯性积的定义显然有,即推导Iy、Iz、Iyz与 Iy1、Iz1、Iy1z1的关系。,代入上式得,附录A 截面的几何性质,证明：,即,y1=ya z1=zb,附录A 截面的几何性质,由于 y、z 轴通过截面形心，所以SySz0，即有,证明：,证毕,利用平行移轴定理可以通过已知截面对一对坐

8、标的惯性矩和惯性积，求其对另一对坐标的惯性矩与惯性积。,附录A 截面的几何性质, 因为面积及包含 a2、b2 的项恒为正，故自形心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。, a、b为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，要注意二者的正负号；二者同号时abA为正，异号时为负。所以，移轴后惯性积有可能增加也可能减少。, 在所有互相平行的轴中，对形心轴的惯性矩是最小的。,附录A 截面的几何性质,试求三角形对 z、z1 轴的惯性矩。,zC, 【例5】,【解】,附录A 截面的几何性质,附录A 截面的几何性质, 静矩、形心及其相互关系, 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径, 惯性矩与惯性积的平行移轴定理, 惯

9、性矩与惯性积的转轴定理, 主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩, 组合图形形心、形心主轴和形心主矩的计算,所谓转轴定理就是坐标轴绕原点转动时，截面对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。,附录A 截面的几何性质,现在推导图示截面的Iy、Iz、Iyz与 Iy1、Iz1、Iy1z1的关系。,附录A 截面的几何性质,同理，可得,这就是惯性矩与惯性积的转轴公式。,附录A 截面的几何性质,这就是惯性矩与惯性积的转轴公式：,即：截面对通过同一坐标原点任意一对相互垂直的轴的惯性矩之和为常量，等于截面对原点的极惯性矩。,显然有,附录A 截面的几何性质,附录A 截面的几何性质, 静矩、形心及其相互关系, 惯性

10、矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径, 惯性矩与惯性积的平行移轴定理, 惯性矩与惯性积的转轴定理, 主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩, 组合图形形心、形心主轴和形心主矩的计算,有,即截面对轴的惯性矩中存在一对坐标轴x0、y0，使其惯性矩成为极值，且使惯性积为零。,附录A 截面的几何性质,又,代入右边两式，化简后得惯性矩的极值的计算公式,附录A 截面的几何性质,通常称惯性积为零的一对坐标轴为主惯性轴，简称主轴；对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。,截面对于过一点不同坐标轴的惯性矩各不相同，而对于主惯性矩是这些惯性矩的极大值和极小值。,由于截面惯性积是对一对坐标轴而言的，截面主惯性轴总是成对的。,附录

11、A 截面的几何性质,对于任意截面都有主轴，如果坐标轴交点正好是截面形心，就称为形心主轴，其惯性矩称为形心主惯性矩，简称形心主矩。工程中最有意义的是形心主轴与形心主矩。,当截面至少有一根对称轴时，对称轴及通过形心与之垂直的另一轴即为形心主轴，截面对这两根轴的惯性矩就是形心主矩。,附录A 截面的几何性质,附录A 截面的几何性质, 静矩、形心及其相互关系, 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径, 惯性矩与惯性积的平行移轴定理, 惯性矩与惯性积的转轴定理, 主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩, 组合图形形心、形心主轴和形心主矩的计算,工程计算中应用最广泛的是组合截面的形心主惯性矩，即截面对于通过其形

12、心的主轴之惯性矩。为此，必须首先确定截面的形心以及形心主轴的位置。,因为组合截面都是由一些简单截面组成，在确定其形心、形心主轴以至形心主矩时，通常不采用积分法，而是利用简单截面的几何性质以及平行移轴定理，按以下步骤进行：, 将组合截面分解为若干简单截面，确定其形心；,附录A 截面的几何性质, 以形心为坐标原点，设Oyz坐标系，y、z轴一般与简单截面的形心主轴平行。确定简单截面对自身形心轴的惯性矩，利用移轴定理确定各个简单截面对y、z轴的惯性矩和惯性积，相加（或相减）后便得到整个截面的Iy、Iz 和Izy。, 确定形心主轴的位置，即形心主轴与 z 轴的夹角。,附录A 截面的几何性质, 计算形心主惯性矩Iy0和Iz0。,附录A 截面的几何性质,1将所给截面分解为简单截面的组合,求：图示截面的形心和形心主矩。, 【例6】,【解】,附录A 截面的几何性质,2. 建立初始坐标，确定形心位置,附录A 截面的几何性质,Iy0=Iy0(I)+Iy0(II),3. 确定形心主惯性矩,Iz0=Iz0(I)+Iz0(),附录A 截面的几何性质,在矩形内挖去一内切圆