高一数学函数应用题专题整理

1、数学应用问题，就是指用数学的方法将一个表面 上非数学问题或非完全的数学问题转化成完全形式化 的数学问题。,求解数学应用问题的思路和方法，我们可以用 示意图表示为：,实际问题,建立数学模型,数学结果,实际结果,就是采用数学的方法，解决数学模型所表达 的数学问题。,这一步可以称之为数学解决。,就是将数学结论转译成实际问题的结论。,这一步可以称之为实际化。,就是对实际问题的结论作出回答。,应以审题(即明确题意)开始，通过分析和抽象找出题设与结论的数学关系，建立合理的数学模型。,这一步可以称之为数学化。,1. 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入 成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量

2、 为1000辆本年度为适应市场需求，计划提高产 品档次，适度增加投入成本若每辆车投入成本 增加的比例为x (0x1) ，则出厂价相应提高的 比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x 已知年利润=（出厂价投入成本）年销售量 （）写出本年度预计的年利润y与投入成本增 加的比例x 的关系式； （）为使本年度的年利润比上年有所增加， 问投入成本增加的比例x应在什么范围内？,解：（）由题意得，,整理得 ：,（）要保证本年度的利润比上年度有所增加，必须,即,解不等式得 ,答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加， 投入成本增加的比例应满足 0x0.33 ,2. 某地区上年度电价为0.8元/k

3、Wh，年用电量 为a kWh.本年度计划将电价降到0.55元/ kWh至 0.75元/ kWh之间， 而用户期望电价为 0.4元/ kWh.经测算，下调电价后新增的用电量 与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系 数为k）。该地区电力的成本价为0.3元/ kWh。 ()写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与 实际电价x的函数关系式； ()设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力 部门的收益比上年至少增 长20%? （注：收益=实际用电量(实际电价成本价)）,解：() 设下调电价为 x 元k wh ,() 由题意知,即 x 1.1x0.3 0, x0.5 或 x0.6,又 0.55

4、x 0.75, 0.6x0.75,当电价最低定为 0.6元kwh 时，仍可保证电力 部门的收益比上年至少增长 20 .,3. 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知， 从二月一日起的300天内，西红柿场售价与上市时间 的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本 与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。 （）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系 式 ;写出图二表示的种植成本与时间 的函数关系式 ； （）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时 上市的西红柿纯收益最大？ （注：市场售价各种植成本的单位：元/102，时间 单位：天）,y=atb则b=300,100=200aba=1,解：（）由图

5、一可得市场售价与时间的函数关系为,由图二可得种植成本与时间的函数关系为,（）设时刻的纯收益为h(t) , 则由题意得,h(t)=f(t) g(t),即 h(t)=,当 0t200 时，配方整理得,h(t)=,当t=50时，h(t) 取得区间0，200上的最大值100；,当200t300 时，配方整理得,h(t)=,当 t=300时, 取得区间（200，300上的最大值87.5,综上，由10087.5 可知，在区间0，300上可以 取得最大值100，此时 t=50 ，,即从二月一日开始的第50天时， 上市的西红柿纯收益最大。,4、我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控手段来达到节约用水

6、的目的，某市用水收收费的方法是： 水费=基本费+损耗费+超额费 若每月用水量不超过最低限量am3时，只付基本费8元和每户每月的定额损耗费c元；若用水量超过am3时，除了付同上的基本费和损耗费外，超过部分每m3付b元的超额费，已知每户每月的定额损耗费不超过5元。 该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示： 月 份 用水量（m3） 水费（元） （1）根据上表中的数据，求a、b、c； （2）若用户四月份用水量为30立方米，应交水费多少元？,月 份 1 2 3,用水量（m3） 9 15 22,水费（元） 9 19 33,解：设每月用水量为xm3，支付费用为y元，则：,由题意知0C5 8+C1

7、3,答：a、b、c的值依次为10，2，1；四月份应交水费49元。,（2）四月份应交水费为: 8+1+2(30-10)=49 (元),故a=10，b=2，c=1,一月份的付款方式应选式，由8+c=9得c=1,不妨设9a，将x=9代入得 9=8+c+2（9a） 2a=c+17 与矛盾 9a,再分析一月份的用水量是否超过最低限量,2a=c+19 ,由表知第二、三月份的费用均大于13元，故用水量15m3， 22m3均大于最低限量am3，将x=15，x=22分别代入，得,5. 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级 污水处理池（平面图如下图），由于地形限制，长、宽都不 能超过16米。如果池

8、四周围壁建造单价为每米长400元，中间 两道隔墙建造单价为每米长248元，池底建造单价为每平方米 80元，池壁的厚度忽略不计。试设计污水池的长和宽，使总 造价最低，并求出最低造价。,解：设污水池长为 x ，,则宽为,解之得：12.5x16,y400(x ) 22248 80200,总造价y为,800(x ) 16000,令ux ,设,答：当污水长为16米，宽为12.5米时； 总造价最低为45000元.,u16 时,6. 一辆新汽车使用一段时间后，就值不到原来的价钱了。 假若一辆新车价值18万元，按下列方式贬值：每年的车价 是原来的 。问：购买18个月后，此车贬值多少？从购买日 起t个月后呢？（

9、贬值量Q原价P汽车现在价值W）,解：先建立汽车的现价W与使用时间t（t以月为单位） 的函数关系Wf（t）。,当t0时，即刚买来，显然f（0）180000；,当t12时，即买了一年，f（12）180000 120000；,当买了两年后，f（24）180000 80000；,一般地，f（12n）180000 。,设t12n，则f（t）180000 。,18个月后，W180000 98000，,Q1800009800082000，即贬值了82000元。,从购买日起t个月后，Q180000 。,7.某工厂生产一种机器的固定成本为5000元，且每生产100部需要增加投入2500元，对销售市场进行调查后得

10、知，市场对此产品的需求量为每年500部，已知销售收入的函数为 H（x）=500 x x2 其中x是产品售出的数量，且0x500 （1）若x为年产量，y表示利润，求y=f(x)的解析式； （2）当年产量为何值时，工厂的年利润最大，其最大值是多少？ （3）当年产量为何值时，工厂有盈利（已知： =4.65）,解：（1）当0x500时，产品全部售出；当x500时， 产品只能销售500部，故利润函数为：,125000(5000+25x) (x 500),（2）当0x500时， f(x)= 0. 5(x475)2+107812.5;,当x500时， f(x)=12000025x0的一个子集内增大时，y也增大。,所在 ，,解之 0 k 0 得定义域