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1、一、多元函数的极值,第五节 多元函数的极值,第四模块 微积分学的应用,三、条件极值,二、最大值与最小值,一、二元函数的极值,定义 3,设函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某个邻域内有定义，,如果对于该邻域内异于 ( x0 , y0 )的点 ( x , y ) 都有,(或 )，,极大值和极小值统称为极值.,则称 f (x0 , y0) 为函数 f (x , y ) 的极大值(或极小值).,设函数 z = f (x , y )在点 P0( x0 , y0 ) 的偏导数,极大值点和极小值点统称为极值点.,称为极大值点(或极小值点)，,使函数取得极大值的点(或极小值

2、的点)(x0 , y0)，,定理 1 (极值存在的必要条件),且在点 P0 处有极值，,则在该点的偏导数必为零，,即,使得偏导数为 0 点称为函数的驻点.,存在，,设 P0(x0 , y0)是函数 z = f (x , y)的驻点，,且函数在点 P0 的某个邻域内二阶偏导数连续，,定理 2 (极值存在的充分条件),令,则， (1) 当 0 且 A 0 , y 0 , z 0 )，,由题设知,即,解出 z ，得,将 式代入 V = xyz 中， 得二元函数,求 V 对 x, y 的偏导数：,令,得方程组,解之， 得 x = 2 , y = 2 .,再代入 式中得 z = 3 .,所以取长为 2

3、m，宽为 2 m，高为 3 m 时，,水槽的容积最大.,由问题的实际意义得知，,函数 V(x, y) 在 x 0 , y 0 时确有最大值，,又因为 V = V(x, y) 可微，且只有一个驻点，,设二元函数 z = f (x, y) 和 (x, y),在所考虑的区域内有连续的一阶偏导数，,且 不同时为零，,可用下面步骤来求：,(1)构造辅助函数,称为拉格朗日函数，,l 称为拉格朗日乘数；,(2)解联立方程组,求函数 在约束条件 下的极值，,三、条件极值,在实际问题中，往往就是所求的极值点.,即,得可能的极值点(x, y)，,此法称拉格朗日乘数法.,例 8,用拉格朗日乘数法解例 7.,解,按题意组成方程组：,即求函数,构造辅助函数,且可能的极值点只有一个，,解之，得,实际问题的确存在最大值，,所以当长为 2 m，宽为 2 m，高为 3 m 时，,水槽容积最大.,即,哪一个平面,例 9,经过点 (1, 1, 1) 的所有平面中，,在第一卦限与坐标面所围的立体的体积最小，,并求此最小体积.,解,设所求平面方程为,所以该点坐标满足方程，,因为平面过点 (1, 1, 1)，,即,又设所求平面与三个坐标面在第一卦限所围立体的体积为 V ，,所以,现在求函数 在条件 下的最小值.,构造辅助函数,设,即,解得 a = b = c = 3 .,它在第一卦限中与三个坐标面所围立体的体积

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