概率论课件3.2(10.11)

1、概率论与数理统计,3.2 连续型随机变量,第三章,概率论与数理统计,主要内容,一、连续型随机变量的概念,二、常 见 的 连 续 型 分 布,一、连续型随机变量的概念,定义3.2 如果对于随机变量 的分布函数F(x)，存在非负函数 p (x)，使得对于任意的实数 x，有,则称 为连续型随机变量，其中函数 p (x) 称为 的概率密度函数,简称概率密度 （probability density function） .,注：连续型随机变量 由其密度函数唯一确定,1.定义,分布函数与密度函数的几何意义,由定义知道，概率密度 p(x) 具有以下性质：,2.性质,（非负性）,（规范性）,反过来，定义在R上

2、的函数p(x)，如果具有上述两个性质，即可定义一个分布函数F(x),(3) F(x)在R上连续，且在 p ( x ) 的连续点处，有,对连续型随机变量，分布函数和密度函数可以相互确定，因此密度函数也完全刻画了连续型随机变量的分布规律,(4) 设 为连续型r.v ,对任意的实数 x 有,这表明连续型随机变量取个别值的概率为0，这与离散型随机变量有本质的区别，顺便指出 并不意味着 是不可能事件,若 是连续型随机变量， =a 是不,若 为离散型随机变量,连 续 型,离 散 型,可能事件，则有,不可能事件,注,（5）对任意 ，有,这一个结果从几何上来讲， 落在区间 中的概率恰好等于在区间 上曲线y=p

3、(x)的曲边梯形的面积同时可发现整个曲线y=p(x)与x轴所围成的图形面积为1,连续型随机变量取值落在某一 区间的概率与区间的开闭无关,例1 设 是连续型随机变量，其密度函数为,解 由密度函数的性质知,试求：1）常数c ； 2）分布函数F(x)； 3）,从而,于是,(2),(3),例2 设 是连续型随机变量，其密度函数为,解 由密度函数的性质知,试求：1）常数c ； 2）分布函数F(x)； 3）,从而,于是,(2),(3),于是,当 时，,当 时，,2）分布函数F(x)； 3）,例3 设 是连续型随机变量，其分布函数为,试求 密度函数.,设 密度函数为p(x)，则,例4 已知某型号电子管的使用

4、寿命 为连续r.v., 其 密度函数为,(1) 求常数 c ；,(3) 已知一设备装有3个这样的电子管, 每个电子管能否正常工作相互独立, 求在使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.,(2) 计算,解,(1),c = 1000.,因为,所以,(2),(3),设A 表示“一个电子管的寿命小于1500小时”，则,设在使用的最初1500小时三个电子管中损坏的个数为 ，则,所以,(3) 已知一设备装有3个这样的电子管, 每个电子管能否正常工作相互独立, 求在使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.,二、常见的连续型分布,1.均匀分布,则称 服从区间 a , b 上的均匀分布. 记为 U a ,

5、b.,若随机变量 的密度函数为,的分布函数为,x,p ( x),a,b,b,a,密度函数的验证,是密度函数.,即 落在(a,b)内任何长为 d c 的小区间的概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正比. 这正是几何概型的情形.,进行大量数值计算时, 若在小数点后第k 位进行四舍五入, 则产生的误差可以看作服从 的 r.v. 随机变量.,应用场合,均匀分布的概率背景,例5 秒表最小刻度值为0.01秒. 若计时精度是取最近的刻度值, 求使用该表计时产生的随机误差 的密度函数并计算误差的绝对值不超过0.004秒的概率.,解 等可能地取得区间,故,上的任一值，则,所以 的密度函数为,例 6,解,设A=

6、方程 有实根，则,若 的d.f. 为,则称 服从参数为 的指数分布,记作,的分布函数为, 0 为常数.,2.指数分布,0,密度函数的验证,是密度函数.,对于任意的 0 a b,应用场合,用指数分布描述的实例有：,随机服务系统中的服务时间,电话问题中的通话时间,无线电元件的寿命,动物的寿命,指数分布 常作为各种“寿命” 分布的近似,指数分布的概率背景,若 (),则,故又把指数分布称为“永远年轻”的分布.,特点：指数分布的“无记忆性”,事实上,命题,例7 假定打一次电话所用的时间 （单位：分）服从参数 的指数分布，试求在排队打电话的人中，后一个人等待前一个人的时间（1）超过10分钟；（2）10分钟

7、到20分钟之间的概率,解,由题设知,，故所求概率为,(2),例8 设某类日光灯管的使用寿命 服从参数为=1/2000的指数分布(单位:小时) (1)任取一只这种灯管, 求能正常使用1000小时以上的概率. (2) 有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以上,求还能使用1000小时以上的概率.,的分布函数为,解,本例则体现了指数分布的重要性质 :“无记忆性”.,若 的密度函数 为,3.正态分布,则称 服从参数为 , 2 的正态分布,记作 N ( , 2 ),亦称高斯 (Gauss)分布,（ 其中 为常数， ）,p(x)所确定的曲线叫作正态曲线.,正态概率密度函数的几何特征,（6)当固定,，改

8、变,的大小,时，p(x)图形的形状不变，只是沿着x轴作平移变换；, 位置参数,（7）当固定,，改变,的大小时，p(x)图形的对称轴,不变，而形状在改变，,越小，图形越高越瘦，,越大，图形越矮越胖。, 形状参数,正态分布的分布函数,密度函数的验证,由数学分析知识可知,从而,是密度函数.,正态分布是最常见最重要的一种分布,例如 测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量 高度等都近似服从正态分布.,正态分布的应用与背景,正态分布的重要性,正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：, 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的

9、随机现象都是服从或近似服从正态分布的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布, 正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的, 正态分布可以作为许多分布的近似分布,正态分布下的概率计算,原函数不是 初等函数,方法一: 利用MATLAB软件包计算,方法二:转化为标准正态分布查表计算,一种重要的正态分布-,标准正态分布N (0,1),分布函数记为,其值有专门的表供查.,例9 证明,证明,解,例6,对一般的正态分布 ： N ( , 2)，,其分布函数为,正态分布标准化,证：,故,设,则,例10 设 N(1,4) , 求 P (0 1.6),解,例11 已知,且 P( 2 4 ) = 0.3,求 P ( 0 ).,解一,解二 图解法,由图,例12 3 原理.,设 N ( , 2), 求,解,一次试验中, 落入区间( - 3 , +3 )的概率为 0.9974, 而超出此区间可能性很小,由3 原理知，,当,标