模糊集合及应用

1、模糊集合及应用,郑亚林 zheng-yl bgzhengyl 东莞理工学院 软件学院 计算机科学与技术系 智能信息技术研究中心 2007-03-18,模糊集合是模拟人脑日常思维方式的一种新思想，新方法和新工具。,1965年，美国加州大学自动控制论专家 L. A. Zadeh 首次提出模糊集合（Fuzzy Set）的思想和方法。,1973年，L. A. Zadeh 首次提出模糊推理的基本框架。,1974年，英国科学家 E .H. Mamdani 首次将模糊推理技术应用于工业自动控制并获成功。,1980年代末至1990年代前半期，随着 计算机 技术的 飞速发展，模糊控制技术得以广泛应用并获蓬勃发展

2、。1990年代后半期至2000年代初，基于模糊推理的模糊控制在全球蔚为大观。,同时有大批科学家，工程技术专家，和人文社会科学工作者，加入到开发模糊理论的行列，分别在各自的领域作出了很多优秀的工作。,如今的模糊理论，已经发展成为包括模糊识别，模糊推理，模糊分类，模糊决策，模糊控制，模糊逻辑，模糊拓扑等众多分支的庞大理论体系，而且在应用上也取得了很大的成功。,应当指出，模糊理论与应用虽已涉及很广的领域，但其方法是远不成熟的。,我们在学习的过程中可以不断地尝试去改进它和完善它。,模糊理论的目的在于从一种角度出发进一步开发人脑的智能和模拟人脑的思维方式。,人脑的智能活动和思维方式，一方面是我们都很熟悉

3、的，另一方面尚有许多运行机理还是我们人类自己所不认识的。,所以，模拟人脑智能活动和思维方式，既是有科学价值和应用价值的极有吸引力的工作，又是富于挑战性的任务和十分艰难的工作。 在这方面的点滴进步都是可贵的。,本课程模糊集合及应用，是模糊理论的入门和导引，主要 内容有,第一章 模糊集合 第一节 通常集合 第二节 模糊集合 第三节 模糊集合的运算 第四节 模糊集合的分解 第五节 模糊程度的度量,第二章 模糊识别 第一节 模糊集之间的距离 第二节 模糊集之间的贴近度 第三节 模糊识别的直接方法 第四节 模糊识别的间接方法,第三章 模糊分类 第一节 通常关系 第二节 模糊关系 第三节 模糊矩阵 第四节

4、 模糊等价关系与模糊分类 第五节 模糊相似关系与模糊分类 第六节 模糊相似矩阵的确定,第四章 模糊推理 第一节 模糊推理的各种模型 第二节 简单模糊推理的Mamdani算法 第三节 多维模糊推理的Mamdani算法 第四节 多重模糊推理的Mamdani算法 第五节 多重多维模糊推理的Mamdani算法 第六节 CRI方案下模糊推理的其他算法 第七节 模糊推理算法的MP再现分析 第八节 3I方案下的模糊推理算法,第五章 模糊控制 第一节 模糊控制器的设计 第二节 目标跟踪系统的模糊控制 第三节 还原炉氢气流量的模糊控制 第四节 模糊逻辑的硬件实现,教材及教学参考书： 1 陈水利，李敬功，王向公

5、编著 模糊集理论及其应用 （第一章，第三章，第四章，第九章） 科学出版社，2005年9月第一版。 2 徐宗本，张讲社，郑亚林 编著， 计算智能中的仿生学：理论与算法 （第三部分） 科学出版社，2003年5月第一版， 2005年9月第二次印刷。,第一章 模糊集合 第一节 通常集合,通常集合,论域 （讨论问题的范围） U 张三，李四，王五，赵六，丁丽，刘丽，白丽 通常子集合（论域的一部分） A 男生之集合张三，李四，王五，赵六 B 女生之集合丁丽，刘丽，白丽 C 东莞籍学生张三，李四，丁丽，刘丽 D 惠州籍学生王五，赵六，白丽 这里，A, B, C, D 都叫做论域 U 的通常子集合，并记 为 A

6、 U, B U, C U, D U,通常集合的运算,交集合（两个子集合的共同部分） AC 东莞籍男生 张三，李四 AD 惠州籍男生 王五，赵六 BC 东莞籍女生 丁丽，刘丽 BD 惠州籍女生 白丽,通常集合的运算,并集合（两个子集合的联合） E 东莞籍男生 张三，李四 F 惠州籍男生 王五，赵六 I 东莞籍女生 丁丽，刘丽 J 惠州籍女生 白丽 EJ 东莞籍男生与惠州籍女生之联合 张三，李四，白丽 FI 惠州籍男生与东莞籍女生之联合 王五，赵六，丁丽，刘丽,通常集合的运算,补集合（论域中去掉一个子集合后的剩余部分） C 非东莞籍学生 王五，赵六，白丽 D 非惠州籍学生 张三，李四，丁丽，刘丽,

7、通常集合及其运算,通常集合具有两条基本属性：元素彼此相异，即无重复性；范围边界分明,即一个元素 a 要么属于集合A (记做 a A ), 要么不属于集合(记做 a A )，二者必居其一.,通常集合及其运算,一般地，通常集合有如下的表示法： (1)枚举法，A=a , b , c, d, e, f, g, , x, y, z ； (2)描述法，A=x | P (x) . A B 若x A，则x B； A B 若x B，则x A； A =B A B 且 A B.,通常集合及其运算,并集 AB = x | x A 或 x B ； 交集 AB = x | x A 且 x B ； 补集 A= x | x

8、A .,通常集合及其运算,论域U 的所有子集所组成的集合称为U 的幂集，记为 (U). 集合A 的所有子集所组成的集合称为A 的幂集，记为 (A).,通常集合的运算律,幂等律： AA = A， AA = A； 交换律： AB = BA， AB = BA； 结合律： ( AB )C = A( BC )， ( AB )C = A( BC )； 吸收律： A( AB ) = A， A( AB ) = A；,通常集合的运算律,分配律： ( AB )C = ( AC )( BC )， ( AB )C = ( AC )( BC )； 0-1律： AU = U ， AU = A ； A = A ， A =

9、； 还原律： (A) = A ； 对偶律： (AB ) = AB， (AB ) = AB； 排中律： AA = U， AA= 。,第一章 模糊集合 第二节 模糊集合 第三节 模糊集合的运算,模糊集合(作为通常集合的推广),论域 （讨论问题的范围） U 张三，李四，王五，赵六，丁丽，刘丽，白丽,它是分明的！ 它是讨论问题的出发点。,通常子集合（论域的一个部分） A 男生的集合张三，李四，王五，赵六 B 女生的集合丁丽，刘丽，白丽,C 东莞籍学生张三，李四，丁丽，刘丽 D 惠州籍学生王五，赵六，白丽,它是分明的！ 张三百分之百属于集合C， 赵六百分之百不属于集合C，毫不含糊!不容许说“张三十有八九

10、属于这个集合”这样的话。,模糊子集合（论域的一个模糊的部分） K 高个子的集合 ？,诸如此类的“集合”，大胖子的集合，学习好的学生的集合，能力强的学生的集合，如何表达？,K 高个子的集合 ？,如果规定1.80米及以上为高个子，那么1.79米的人就相当委屈，1.78米的人就很委屈，1.77米的人就有点委屈， 。,我们给论域 U 中每个元素 x 指定它隶属于这种集合 K 的程度（叫做 x 对 K 的隶属度），就可以比较好地描述和表达诸如此类的“集合”。,模糊集合(作为通常集合的推广),论域 （讨论问题的范围） U 张三，李四，王五，赵六，丁丽，刘丽，白丽,模糊子集合（论域的一个模糊的部分） K 高

11、个子的集合 ( 张三，0.9 )，( 李四，1 )，( 王五，0.8 )， ( 赵六，0.4 )，( 丁丽，0.6 )，( 刘丽，0.8 )， ( 白丽，0.5 ),模糊集合(作为通常集合的推广),论域 （讨论问题的范围） U 张三，李四，王五，赵六，丁丽，刘丽，白丽,模糊子集合（论域的一个模糊的部分） L 胖子的集合 ( 张三，0.93 )，( 李四，0.4 )，( 王五，0.88 )， ( 赵六，0.9 )，( 丁丽，0.66 )，( 刘丽，0.7 )， ( 白丽，0.4 ),程度化地描写元素对集合的隶属关系，是模糊集合论的基本思想。,模糊集合的运算,模糊交运算,K L 又高又胖者集合 (

12、 张三，? )，( 李四，? )， ( 王五，? )，( 赵六，? )， ( 丁丽，? )，( 刘丽，?)， ( 白丽，? ),赵六隶属于高个子集合的程度为0.4；赵六隶属于胖子集合的程度为0.9； 这两个数字中取小 0.4 0.90.4， 作为赵六隶属于又高又胖者集合的程度。,还可以采取其他的方案! 比如取平均数，加权平均数，几何平均数等方案。 但是模糊集合论的大多数应用者都采用Zadeh的取小方案。,模糊集合的运算,模糊交运算,K L 又高又胖者集合 ( 张三，0.90.93 )，( 李四，10.4 )， ( 王五，0.80.88 )，( 赵六，0.40.9 )， ( 丁丽，0.60.66

13、 )，( 刘丽，0.80.7 )， ( 白丽，0.5 0.4 ), ( 张三，0.9 )，( 李四，0.4 )， ( 王五，0.8 )，( 赵六，0.4 )， ( 丁丽，0.6 )，( 刘丽，0.7 )， ( 白丽，0.4 ),模糊集合的运算,模糊并运算,K L 或高或胖者集合 ( 张三，0.90.93 )，( 李四，10.4 )， ( 王五，0.80.88 )，( 赵六，0.40.9)， ( 丁丽，0.60.66 )，(刘丽，0.80.7 )， ( 白丽，0.5 0.4 ), ( 张三，0.93 )，( 李四，1 )， ( 王五，0.88 )，( 赵六，0.9 )， ( 丁丽，0.66 )，

14、(刘丽，0.8 )， ( 白丽，0.5 ),模糊并运算使用Zadeh的取大方案。 (也可以有其他的方案),模糊集合的运算,模糊补运算,K 个子不高者集合 ( 张三，10.9 )，( 李四，11 )， ( 王五，10.8 )，( 赵六，10.4 )， ( 丁丽，10.6 )，( 刘丽，10.8 )， ( 白丽，10.5 ), ( 张三，0.1 )，( 李四，0 )， ( 王五，0.2 )，( 赵六，0.6 )， ( 丁丽，0.4 )，( 刘丽，0.2 )， ( 白丽，0.5 ),模糊集合的运算,模糊补运算,L 算不上胖子者集合 ( 张三，10.93 )，( 李四，10.4 )， ( 王五，10.

15、88 )，( 赵六，10.9 )， ( 丁丽，10.66 )，( 刘丽，10.7 )， ( 白丽，10.4 ), ( 张三，0.07 )，( 李四，0.6 )， ( 王五，0.12 )，( 赵六，0.1 )， ( 丁丽，0.34 )，( 刘丽，0.3 )， ( 白丽，0.6 ),模糊集合的表示法,模糊集合的简化表示法,K 高个子的集合 ( 张三，0.9 )，( 李四，1 )，( 王五，0.8 )， ( 赵六，0.4 )，( 丁丽，0.6 )，( 刘丽，0.8 )， ( 白丽，0.5 ),K （ 0.9 ，1 ，0.8 ，0.4 ，0.6 ，0.8 ，0.5 ）,模糊集合的表示法,模糊集合的简化

16、表示法,K 高个子之集合 （ 0.9 ， 1 ， 0.8 ， 0.4 ，0.6 ， 0.8 ，0.5 ） L 胖子之集合 ( 0.93 ，0.4 ，0.88 ，0.9 ，0.66，0.7 ，0.4 ) K L 又高又胖者集合 ( 0.9， 0.4 ，0.8， 0.4， 0.6， 0.7 ，0.4 ) K L 或高或胖者集合 ( 0.93 ，1 ， 0.88 ，0.9， 0.66，0.8 ，0.5 ) K 个子不高者集合 ( 0.1 ， 0 ， 0.2 ， 0.6 ， 0.4 ，0.2 ，0.5 ) L 算不上胖子者集合 ( 0.07 ，0.6 ，0.12 ， 0.1 ，0.34，0.3 ，0.

17、6 ),现在， 我们给模糊集合及其运算 正式地下定义。,模糊集合及其运算,一般地，设U是论域（有限或无限），称一个映射 A：U 0,1 确定了论域U 上的一个模糊子集A，映射A 称为模糊子集 A 的隶属函数， 数 A (x) 叫做论域U 中的元素x 对模糊子集A 的隶属度，它表示元素 x 对模糊子集A 的隶属程度。,模糊集合及其运算,使得 A ( x ) = 0.5 的点 x 相对于A 来说最具有模糊性。,模糊集合及其运算,如果对论域U 中所有点x 来说，当A ( x )只取 0 或 1 时，模糊子集A 就是通常子集。可见通常子集就是模糊子集的特殊情形；模糊子集就是通常子集的推广。,模糊集合及

18、其运算,模糊相等：A = B A (x ) = B (x ) ；,模糊包含：A B A (x )B (x ) ；,模糊并集：AB的隶属函数为 (AB )(x ) =A (x )B (x ) ；,模糊交集：AB的隶属函数为 (AB )(x ) =A (x )B (x ) ；,模糊补集：A的隶属函数为 A (x ) = 1 A (x ),模糊集合的运算律,幂等律：AA = A， AA = A； 交换律：AB = BA，AB = BA； 结合律：(AB )C = A(BC )， (AB )C = A(BC ) ； 吸收律：A(AB ) = A，A( AB )= A； 分配律：(AB )C = (AC

19、 )(BC )； (AB )C = (AC )(BC )；,模糊集合的运算律,0-1律： AU = U，AU = A； A = A，A = ； 还原律： (A ) = A ； 对偶律：(AB ) = AB， (AB ) = AB；,模糊集合的运算律,模糊集合的上述运算律与通常集合从形式上保持一致。,但是，模糊集合不拥有互补律，即，一般地，在模糊集合的场合， 下述公式不必成立： AA = U， AA= ,第一章 模糊集合 第四节 模糊集合的分解 第五节 模糊程度的度量,它是分明的！ 它是论域 U 的通常子集合。,模糊集合的-截集 （从一个模糊集合可以截得一族通常集合） 定义(-截集) 设 A 是

20、论域 U 的一个模糊子集， 0, 1，称 A x U A(x) 为模糊集合 A 的 -截集 ，它是 U 的通常子集。,例(-截集) 设 U x1, x2, x3, x4, x5, x6 A ( 0.9, 1, 0.2, 0.5, 0.7, 0.3 ) 则 A1 x2 A0.8 x1, x2 A0.6 x1, x2, x5 A0.4 x1, x2, x4, x5 A0.2 x1, x2, x3, x4, x5, x6 ,-截集的性质（1） 如果 12 ，则 A2 A1 。 （模糊集合 A 的全体-截集是一族一个比一 个小的通常集合。）,-截集的性质（2） (AB ) = AB ， (AB ) =

21、 AB 。 （模糊集合 的-截运算保有限并，保有限交。）,模糊集合的-截积 （从一个-截集构造一个特殊的模糊集合） 定义(-截积) 设 A 是论域 U 的一个模糊子集， 0, 1，制作模糊集A如下 A(x) , 当x A时; 0 , 当x A时 。 称模糊集A为模糊集 A 的 -截积 ，也叫做-截集的数乘。,-截积也可表示如下 A(x) , 当A(x) 时; 0, 当A(x) 时 。,模糊集合的分解定理 设 A 是论域 U 的一个模糊子集， 则 A 0, 1（A） 即，一个复杂模糊集 A 可以表达为一族简单模糊集 (-截积) A 0, 1 的并。,模糊程度的度量 同一个论域上不同的两个模糊集的

22、模糊程度是有区别的。如何定量地刻画模糊集的模糊程度呢？这是我们处理模糊概念和模糊信息时非常重要的一种指标。,设 A 是论域 U 的一个模糊集， x U 。 如果 x 对 A 的隶属度 A(x) 接近于 1 ，就说明肯定的程度高，相应的模糊性小； 如果 x 对 A 的隶属度 A(x) 接近于 0 ，就说明否定的程度高，相应的模糊性也是小； 如果 x 对 A 的隶属度 A(x) 在 0.5 附近，就说明x 对 A 的隶属关系最不稳定，相应的模糊性也就最大。,因此，如果我们用 D(A) 来度量模糊集 A 的模糊性程度，则 D(A) 应当满足下列条件：,(1) 如果 A 是通常集合，则 D(A) =

23、0 , 即通常集合的模糊程度为0。,(2) 如果 A 的隶属度恒为 0.5 , 则 D(A) = 1 , 即隶属度恒为 0.5 的模糊集其模糊程度最大，最模糊，因为此时 A(x)=A(x), 无法判断 x 对 A 和 A的归属问题。,(3) 如果 A0.5 的值越大，则模糊程度 D(A) 越小，模糊集 A 越清晰；如果 A0.5 的值越小，则模糊程度 D(A) 越大，模糊集 A 越模糊。,(4) D(A)=D(A) ，即，模糊集 A 和它的补集 A的模糊程度相同。,由此我们给出模糊集的模糊度的公理化定义如下： 设映射 D: F (U) 0, 1 满足下列5个条件： (1) 清晰性：D(A)=0

24、 当且仅当 A P (U) ; (2) 模糊性：D(A)=1 当且仅当 对每个 x U, A(x)=0.5 ; (3) 单调性：若对每个 x U, A(x) B(x) 0.5 , 或者 A(x) B(x) 0.5, 则 D(A) D(B) ; (4) 对称性：对每个 A F (U)， D(A)=D(A) ； (5) 可加性：D(A)+D(B)=D(AB)+D(AB) ; 则称 D 为定义在 F (U) 上的模糊度函数， 而称 D(A) 为模糊集 A 的模糊度。,Hamming 模糊度 设 U = x1, x2, , xn , A 是 U 的模糊子集。,Euclid 模糊度 设 U = x1,

25、x2, , xn , A 是 U 的模糊子集。,一般来说，用 Hamming 模糊度计算较为简单，但误差较大，而用 Euclid 模糊度计算虽然复杂些，但较精确。,Minkowski 模糊度 设 U = x1, x2, , xn , A 是 U 的模糊子集, p0。,例：设 U = x1, x2, x3, x4 , A = ( 0.6, 0.9, 0.7, 0.4 ) 是 U 的模糊子集。 求 A 的 Hamming 模糊度和 Euclid 模糊度。 解：,习题 1 1. 设论域 U=a, b, c, d, A, B, C 是 U 的模糊子集， 且 A = (0.6, 0.3, 0.8, 0.

26、2) B = (1, 0.5, 0.2, 0.7) C = (0.4, 0.9, 0.1, 0.4) 试计算 AB, AC , A , (AB)C 。 2. 设论域 U = a, b, c, d , A, B 是 U 的模糊子集，且 A = (0.8, 0.9, 0.1, 0.8) , B = (0.3, 0, 0.3, 0) 试求 A, B 的 Hamming 模糊度和Euclid 模糊度。, 2 R-1 -1 ,第二章 模糊识别 第一节 模糊集之间的距离 第二节 模糊集之间的贴近度,模糊集之间的距离 考察和度量两个模糊集之间的接近程度和关系密切程度，可以用两者之间的距离来描述表达。 距离越

27、大，关系越稀疏；距离越小，关系越密切。,1. 模糊 Chebyshev 距离 U= x1, x2, , xn , A, BF (U)，,2. 模糊 Hamming 距离 (1) U= x1, x2, , xn , A, BF (U)， (2) U=a, b, A, BF (U)，,3. 模糊 Euclid 距离 (1) U= x1, x2, , xn , A, BF (U)， (2) U=a, b, A, BF (U)，,4. 模糊 Minkowski 距离 (1) U= x1, x2, , xn , A, BF (U), p1, (2) U=a, b, A, BF (U), p1,5. 模糊

28、 Lambert 距离 (1) U= x1, x2, , xn , A, BF (U), (2) U=a, b, A, BF (U),6. 模糊绝对和差距离 (1) U= x1, x2, , xn , A, BF (U), (2) U=a, b, A, BF (U),例：设 U = x1, x2, x3, x4, x5 , A = ( 0.5, 0.3, 0.8, 0.2, 0.4 ) B = ( 0.6, 0.8, 0.9, 0.5, 0.2 ) 是 U 的模糊子集。 求 A 与 B 的 6 种模糊距离。 解：利用模糊距离公式计算可得 d1(A,B)=0.5 , d2(A,B)=0.24 ,

29、 d3(A,B)0.28 , d4(A,B)0.32(取p=3), d5(A,B)0.27 , d6(A,B)0.23 。 讨论：模糊距离d1比较粗糙， d2, d3, d4, d5, d6比较 细致。,模糊集之间的距离 使用不同的距离公式计算两个模糊集之间的接近程度和关系密切程度，所得结果是有差别的，它们各有其优缺点，在实际应用中，应根据具体情况加以选择。,习题 2 1. 设论域 U=a, b, c, d, e, A, B是 U 的模糊子集, 且 A = ( 0.6, 0.9, 0.3, 0.9, 0.5 ) B = ( 0.5, 0.8, 0.7, 0.2, 0.4 ) 试求 A 与 B

30、的 6 种模糊距离。,模糊集之间的贴近度 考察和度量两个模糊集之间的接近程度和关系密切程度，还可以用两者之间的贴近度来描述表达。 贴近度越大，关系越密切；贴近度越小，关系越稀疏。,模糊集合的内积与外积 设 U 为论域，A, BF (U), A 与 B 的内积和外积分别定义如下： (1) 内积： (2) 外积：,模糊集合的内积与外积 设论域 U= x1, x2, , xn , A, BF (U), (1) 内积： (2) 外积：,例：设 U= x1, x2, x3, x4 , A, BF (U), A=( 0.3, 0.6, 0.9, 0.4 ) B=( 0.8, 0.5, 0.8, 0.6 )

31、 试求 AB, AB 。 解 由模糊集的内积外积公式计算得 AB=(0.30.8)(0.60.5) (0.90.8) (0.40.6) = 0.30.50.80.4 = 0.8 AB=(0.30.8)(0.60.5) (0.90.8)(0.40.6) = 0.80.60.90.6 = 0.6,模糊集合的高度 设 U 是论域， AF (U), 我们记 Hgt A = xU A(x) 称 Hgt A 为模糊集合 A 的高度。,两个模糊集合的交集合 设 U 是论域， A, BF (U), 我们令 (AB)(x) = A(x)B(x) , xU 称 AB 为模糊集合 A 与 B 的交集合。,两个模糊集

32、合的交集合的高度 设 U 是论域， A, BF (U), 则模糊集合 A 与 B 的交集合 AB 的高度为 Hgt (AB) = xU (AB)(x) = xU (A(x)B(x),两个模糊集合的交集合的高度 设 U 是论域， A, BF (U), 则模糊集合 A 与 B 的交集合 AB 的高度为 Hgt (AB) = xU (AB)(x) = xU (A(x)B(x) = AB,A 和 B 的内积 AB 恰好正是 A 与 B 这两个模糊集合的交集合 AB 的高度 AB = Hgt (AB),我们观察到，粗糙地说，交集合 AB 的高度 AB = Hgt (AB)越高，这两个模糊集合 A 与 B

33、 就越接近 !,模糊集合的深度 设 U 是论域， AF (U), 我们记 Dpn A = xU A(x) 称 Dpn A为模糊集合 A 的深度。,两个模糊集合的并集合 设 U 是论域， A, BF (U), 我们令 (AB)(x) = A(x)B(x) , xU 称 AB 为模糊集合 A 与 B 的并集合。,两个模糊集合的并集合的深度 设 U 是论域， A, BF (U), 则模糊集合 A 与 B 的并集合 AB 的深度为 Dpn (AB) = xU (AB)(x) = xU (A(x)B(x),两个模糊集合的并集合的深度 设 U 是论域， A, BF (U), 则模糊集合 A 与 B 的并集

34、合 AB 的深度为 Dpn (AB) = xU (AB)(x) = xU (A(x)B(x) = AB,A 和 B 的外积 AB 恰好正是 A 与 B 这两个模糊集合的并集合 AB 的深度 AB = Dpn (AB),我们观察到，粗糙地说，并集合 AB 的深度 AB = Dpn(AB)越深(即, 越小)，这两个模糊集合 A 与 B 就越接近 !,或者这样说，1 减去深度所剩的值 1-AB = 1-Dpn(AB) 越大，这两个模糊集合 A 与 B 就越接近 !,将交集合的高度 AB = Hgt (AB) 与 并集合的深度 AB = Dpn(AB) 结合起来，就可以这样说： 如果高度 AB = H

35、gt (AB) 较大，且 深度 AB = Dpn(AB) 较小，则这两个模糊集合 A 与 B 就比较接近。,交集合的高度 AB = Hgt (AB) 与 并集合的深度 AB = Dpn(AB) 配合起来可以很好地刻划两个模糊集合 A 与 B 之间的接近程度。,两个模糊集合之间的格贴近度 设 U 是论域， A, BF (U), 记 Q(A, B) = AB 1- AB = Hgt (AB) 1- Dpn(AB) 称 Q(A, B) 为模糊集合A与B的格贴近度。,格贴近度 Q(A, B) 越大，模糊集合 A 与 B 越贴近。,例： 设 U= x1, x2, x3, x4, x5 , A, B, C

36、F (U), 且 A=( 0.8, 0.6, 0.9, 0.7, 1.0 ) B=( 0.4, 0.6, 0.8, 0.5, 0.8 ) C=( 0.6, 0.8, 0.5, 0.7, 0.9 ) 试判断 B 和 C 中哪一个与 A 最接近。 解：因为 AB = (0.80.4)(0.60.6)(0.90.8)(0.70.5)(1.00.8) = 0.4 0.6 0.8 0.5 0.8 = 0.8 AB = (0.80.4)(0.60.6)(0.90.8)(0.70.5)(1.00.8) = 0.8 0.6 0.9 0.7 1.0 = 0.6 所以 Q(A,B) = 0.8 (1 - 0.6)

37、 = 0.4 因为 AC = (0.80.6)(0.60.8)(0.90.5)(0.70.7)(1.00.9) = 0.6 0.6 0.5 0.7 0.9 = 0.9 AC = (0.80.6)(0.60.8)(0.90.5)(0.70.7)(1.00.9) = 0.8 0.8 0.9 0.7 1.0 = 0.7 所以 Q(A,C) = 0.9 (1 - 0.7) = 0.3 由于 Q(A,B) Q(A,C) ，所以 B 比 C 更贴近于 A 。,习题 2 2. 设论域 U=a, b, c, d, e, A, B是 U 的模糊子集, 且 A = ( 0.6, 0.9, 0.3, 0.9, 0.

38、5 ) B = ( 0.5, 0.8, 0.7, 0.2, 0.4 ) 试求 A 与 B 的格贴近度。,由格贴近度的计算公式 Q(A, B) = Hgt (AB) 1- Dpn(AB) 易见, Q(A, A) = Hgt (AA) 1- Dpn(AA) = Hgt A ( 1- Dpn A ) 于是 Q(A, A) = 1 当且仅当 Hgt A 和( 1- Dpn A )都=1, 当且仅当 Hgt A = 1 且 Dpn A = 0 。,Q(A, A) = 1 当且仅当 Hgt A = 1 且 Dpn A = 0 ( 一个模糊集合 A 能够和它自己的贴近度为1，即最大，最贴近，当且仅当这个模糊

39、集合 A 既能够顶天，又能够立地! ),Q(A, A) 1 当且仅当 Hgt A 1 或 Dpn A 0 ( 一个模糊集合 A 不能够和它自己的贴近度为1，即最大，最贴近，当且仅当这个模糊集合 A 不能够顶天，或者不能够立地! ),一个模糊集合 A ， 如果它不能够顶天（Hgt A 1）, 或者它不能够立地（Dpn A 0）, 那么它就不能够与自己最贴近（Q(A, A) 1）。 这个结果是不合理的，不符合我们的常识的。,格贴近度能够很好地和直观地刻划两个模糊集合之间的接近程度，但它不能完全确切地反映两个模糊集合之间的接近程度。 我们对格贴近度加以改进，使得任何一个模糊集合都能够与自己本身是最贴

40、近的。为此，我们下面给出贴近度的公理化的定义。,贴近度的公理化定义 考虑 F (U) 上的二元函数 : F (U)F (U) 0, 1 , (A, B) (A, B) 如果 满足下列 3 条公理： (1) (A, A) = 1 , (U, ) = 0 ; (2) (A, B) = (B, A) ; (3) 当A B C 时一定有 (A, C) (A, B) (B, C) ; 则称 为F (U) 上的贴近度函数， 称(A, B) 为 A 与 B 的贴近度。 如果将公理 (1) 换为 (1) (A, A) = 1 当且仅当 A=B, 且 (U, ) = 0 ; 则称 为F (U) 上的严格贴近度函

41、数。,格贴近度Q不是贴近度函数。但是若记 F 0 (U) = AF (U) Hgt A = 1 且 Dpn A = 0 = F (U)中所有既能够顶天又能够立地的模糊集之族 则格贴近度Q是F 0 (U) 上一个贴近度函数，但不是严格贴近度函数。,若干常用的贴近度 1. Chebyshev 贴近度 U= x1, x2, , xn , A, BF (U),2. Hamming 贴近度 (1) U= x1, x2, , xn , A, BF (U), (2) U= a, b, A, BF (U),3. Euclid 贴近度 (1) U= x1, x2, , xn , A, BF (U), (2) U

42、= a, b, A, BF (U),4. Minkowski 贴近度 (1) U= x1, x2, , xn , A, BF (U), p1, (2) U= a, b, A, BF (U), p1,5. Lambert 贴近度 (1) U= x1, x2, , xn , A, BF (U), (2) U= a, b, A, BF (U),6. 绝对和差贴近度 (1) U= x1, x2, , xn , A, BF (U), (2) U= a, b, A, BF (U),7. 最大最小贴近度 (1) U= x1, x2, , xn , A, BF (U), (2) U= a, b, A, BF

43、(U),8. 算术平均最小贴近度 (1) U= x1, x2, , xn , A, BF (U), (2) U= a, b, A, BF (U),9. 几何平均最小贴近度 (1) U= x1, x2, , xn , A, BF (U), (2) U= a, b, A, BF (U),各种贴近度在应用问题中各有其作用，很难一般比较优劣，只有在实际应用中根据不同情况加以选择和修正。,习题 2 3. 设论域 U=a, b, c, d, e, A, B是 U 的模糊子集, 且 A = ( 0.6, 0.9, 0.3, 0.9, 0.5 ) B = ( 0.5, 0.8, 0.7, 0.2, 0.4 )

44、 试求 A 与 B 的 9 种贴近度。,第二章 模糊识别 第三节 模糊识别的直接方法 第四节 模糊识别的间接方法,模糊识别， 是模糊模式识别的简称。,模式识别 已知某类事物的若干标准模型，现有这类事物中的一个具体对象，问把它归到哪一模型，这 就是模式识别。,模糊模式识别 所谓模糊模式识别，是指在模式识别中，模型是模糊的。也就是说，标准模型库中提供的模型是模糊的。,模式识别， 以及模糊模式识别， 是属于人工智能和计算机应用科学范畴的一门新兴学科，具有丰富的研究内容和广泛的应用背景。,模式识别问题举例,海关边防对指纹图像和人脸图像的识别 破案时对指纹图像的识别 目标跟踪雷达系统对入侵目标的识别 邮

45、政自动分拣系统对手写邮政编码的识别 手写文字的自动识别系统 自动语音识别系统 电子鼻对气味类型的识别 科学家对生物种群的识别 气象专家对天气状况的识别 农业专家对优良品种的识别 医学专家对癌细胞类型的识别,模糊模式识别问题 大致分为两类 (1) 模式库，即标准模型库是模糊的，而待识别 对象是分明的。将使用模糊模式识别的直接 方法。待识别对象对模糊模式的隶属程度将 发挥作用。 (2) 模式库即标准模型库，与待识别对象都是模 糊的。将使用模糊模式识别的间接方法。待 识别对象与模糊模式之间的各种模糊距离和 各种贴近度将发挥作用。,模糊模式识别直接方法的 基本原理和应用步骤,问题的提法 U=x1, x

46、2, , xn 是 n 个待识别对象x1, x2, , xn 所构成的集合。 待识别对象的集合 U 可分为 p 个模糊的类别。 p 个模糊类别事实上是 U 的 p 个模糊子集合。 记为 A1, A2, , Ap, 称它们为模糊模式。,问题的提法 现在的问题是： 给定一个待识别对象 xiU, 如何识别 xi 应该归属于 p 个模糊模式 A1, A2, , Ap 中哪一个比较合适？,问题的提法 首先我们注意到 p 个模糊模式 A1, A2, , Ap 是 U 的 p 个模糊子集合，因此可以计算出待识别对象 xi 分别对 p 个模糊模式A1, A2, , Ap 的隶属度 A1(xi), A2(xi)

47、, , Ap(xi) ; 显然， xi 对哪一个模糊模式的隶属程度最大, 就把 xi 归属于哪一类是比较合理的。 这就是我们下面要介绍的隶属原则。,最大隶属度原则,最大隶属度原则 给定论域 U， 设 A 是论域 U 上一个模糊模式， x1, x2, , xn 是U中 n 个待识别对象。 如果某个待识别对象 xi 使得 A(xi) = max A(x1), A(x2), , A(xn) 则认为 xi 优先归属于模糊模式 A 。 (优先录取 xi ) 。,例：在医学中，利用计算机识别染色体，或进行白血球分类等研究中，常把问题归结为几何图形的识别。今考虑三角形的识别问题。设 U 为所有待识别的三角形

48、所构成的集合。由于一个三角形完全由其三个内角所确定，故可以三个内角,作为三角形的特征指标，来代表一个三角形。于是，论域 U 可以记为 U= x x=(,), 0, +=180 现在给出 U 上一个模糊模式 A , 让 A 代表 “近似等腰三角形 ” 这样一个模糊类型，人们给出它的隶属函数为,现在给出 4 个待识别的三角形如下： x1 = ( 93, 50, 37 ) x2 = (100, 45, 35 ) x3 = (125, 38, 17 ) x4 = ( 80, 56, 44 ) 试用最大隶属度原则识别这 4 个三角形中哪一个优先归属于近似等腰三角形 A 。,解：因为 ,易见 A(x2)=

49、 maxA(x1), A(x2), A(x3), A(x4) = max0.614, 0.694, 0.423, 0.640 根据最大隶属度原则，x2 应优先归属于 模糊模式 A 。 ,最大隶属原则,最大隶属原则 给定论域 U， 设A1, A2, , Ap是论域 U上p个模糊模式， x0是U中一个待识别对象。 如果某个模糊模式 Ai 使得待识别对象 x0满足 Ai(x0) = max A1(x0), A2(x0), , Ap(x0) 则认为 x0 优先归属于模糊模式 Ai 。 ( 将 xi 优先划归于 Ai ) 。,例：考虑通货膨胀问题。 设论域为价格指数(即物价上涨率)的 集合，记为 R+=

50、 x xR, x0 我们将通货状态分为下列 5 个类型 (1) 通货稳定，用 A1 表示； (2) 轻度通货膨胀，用 A2 表示； (3) 中度通货膨胀，用 A3 表示； (4) 重度通货膨胀，用 A4 表示； (5) 恶性通货膨胀，用 A5 表示。 则它们是 R+ 上的 5 个模糊模式。,人们取这 5 个模糊模式的隶属函数分别为 ,今取价格指数 x0 = 8 , 即，物价上涨率为 8， 问此价格指数应属于哪一种通货状态类型？ 解：因为,易见 A2(8) = max A1(8), A2(8), A3(8), A4(8), A5(8) = max 0.3679, 0.8521, 0.0529,

51、0.0001, 0.0001 根据最大隶属原则，价格指数 x0 = 8 时，可视为轻度通货膨胀。 ,阈值原则,阈值原则 设A1, A2, , Ap是论域 U上p个模糊模式，规定一个阈值(置信水平)， (0, 1, x0U 为一个待识别对象。 (1) 如果 max A1(x0), A2(x0), , Ap(x0) , 则做“拒绝识别”的判决，这时应查找原因， 另作分析。 (2) 如果 max A1(x0), A2(x0), , Ap(x0) , 则认为识别可行，并将 x0 划归于在 x0 取值为 最大的模糊模式。,阈值原则与权重因子,阈值原则与权重因子 设 A1, A2, , Ap 是论域 U上

52、 p 个模糊模式， 用1,2,p 分别表示 p 个模糊模式在识别中所起的作用的权重，使满足1+2+p = 1。 设 x0U 是一个待识别对象。 (1) 如果 1 A1(x0)+2 A2(x0)+ + p Ap(x0) , 则拒绝识别。 (2) 如果 1 A1(x0)+2 A2(x0)+ + p Ap(x0) , 则认为识别可行，并继续识别过程。,模糊模式识别直接方法 的一般应用步骤 1。抽取识别对象的特征指标 2。构造模糊模式的隶属函数 3。利用最大隶属度原则，最大隶属 原则，以及阈值原则，进行识别 判断。,习题2 4. (p185, 11.) 5. (p185, 12.),模糊模式识别间接方法的 基本原理和应用步骤,间接方法所面对的问题 不仅作为 标准模型的 模糊模式是模糊的，它们是论域 U 的模糊子集合；而且待识别对象也是模糊的，它们也是论域 U 的模糊子集合。,间接方法的基本思想 选择使用 6 种模糊距离，或者选择使用 9 种贴近度，来计算待识别对象与标准模型之间的接近程度，从而判决待识别对象应该归属于哪一类。,最小距离原则 设 U 是论域， A1, A2, , Ap 是论域 U 上 p 个模糊模式， BF (U) 是论域 U 上一个待识别对象, d 是F (U) 上一个模糊距离函数。 如果待识别对象 B 与第 i 个模糊模式 Ai 的模糊 距离最小, 即 d