概率论课件第十五讲

1、概率论与数理统计,随机样本 抽样分布（1）,2, 对随机现象进行观测、试验，以取得有代表性的观测值., 对已取得的观测值进行整理、分析,作出推断、决策,从而找出所研究的对象的规律性.,一、引言,3,统计学的特点：,数理统计与计算机的结合是发展的必然趋势.,1. 应用面广;,重点介绍数理统计的一些重要概念和典型的统计方法.,把时间用在基本概念、方法、原理的正确理解上.,软件包： SAS，SPSS，STAT等.,2. 分支较多;,3. 不断提出新问题.,4,统计学的作用：研究怎样以有效的方式收集、 整理和分析带有随机性的数据，以便对所考察的问题作出推断和预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建

2、议.,数理统计更侧重于应用随机现象本身的规律性进行资料的收集、整理和分析.,一方面，由于大量随机现象必然呈现出它的规律性，因而从理论上讲，只要对随机现象进行足够多次观察，被研究的随机现象的规律性一定能清楚地呈现出来.,5,由于推断是基于抽样数据，抽样数据又不能包括研究对象的全部信息. 因而由此获得的结论必然包含不肯定性.,在数理统计中，不是对所研究的对象全体（称为总体）进行观察，而是抽取其中的部分（称为样本）进行观察获得数据（抽样），并通过这些数据对总体进行推断.,另一方面，只允许我们对随机现象进行次数不多的观察试验，即我们获得的只是局部观察资料.,6,某种子公司栽种了几种类别的 鲜花，收获了

3、大量的花籽，并把每25粒花籽扎成一小包出售(共有一百万包).一个零售商批发了200包，并向顾客保证：在每包25粒花籽中至少有22粒将能发芽，否则的话可免费调换另一包.,零售商面临以下两种类型的不肯定性：,(1)由于种子公司出售的花籽的货单上，这类花籽共有一百万包，而零售商只购买了200包.,这一类不肯定性是由于“随机性”所引起的.,这种不肯定性已在概率论部分作过讨论.,7,(1) 怎样设计试验，决定观察的数目；,怎样利用试验观察的结果作出一个 “好”的推断等.,这都是数理统计所要研究的问题.,问题:,本课程着重讨论第一个问题，即最常用统计推断方法.,8,二、随机样本,一个统计问题总有它明确的研

4、究对象.,常把所研究的对象的某个(或某些)数量指标的全体称为总体.它是一个随机变量(或多维随机变量)，记为X .,X的分布函数和数字特征称为总体的分布函数和数字特征.,9,样本 从总体中抽取的部分个体.,称 为总体 X 的一个容量为n的样本观测值,或称样本的一个实现.,用 表示, n 为样本容量.,样本空间 样本所有可能取值的集合.,个体 组成总体的每一个元素.,即总体的每个数量指标,可看作随机 变量 X 的某个取值.用 表示.,10,2. 独立性： X1,X2,Xn是相互独立的随机变量.,由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必须考虑抽样方法.,最常

5、用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样”，它要求抽取的样本满足下面两点:,1. 代表性： X1,X2,Xn中每一个与所考察 的总体有相同的分布.,11,由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本，它可以用与总体独立同分布的n个相互独立的随机变量X1,X2,Xn表示.,简单随机样本是应用中最常见的情形，今后，当说到“X1,X2,Xn是取自某总体的样本”时，若不特别说明，就指简单随机样本.,若总体的分布函数为F(x)，则其简单随机样本的联合分布函数为,F(x1) F(x2) F(xn),12,由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行“加工”。,四、统计量和抽样分布,1. 统计量,这种不含任何未知参数的样

6、本的函数g(X1,X2,Xn)称为统计量.,需要构造一些样本的函数，把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来.,三、直方图,频率直方图的画法,直方图与密度,13,几个常见统计量,样本均值,样本方差,样本标准差 S,样本k阶（原点）矩,k=1,2,14,样本k阶中心矩,k=2,3,可分别写出它们的观察值.,2）,15,例1 从一批机器零件毛坯中随机地抽取10件, 测得其重量为(单位: 公斤): 210, 243, 185, 240, 215, 228, 196, 235, 200, 199 求这组样本值的均值、方差、二阶原点矩与二阶中心矩.,解,令,16,则,17,例2 在总体 中,随机抽取一个

7、容量 为36的样本,求样本均值 落在50.8到53.8 之间的概率.,解,故,18,例3 设总体X 的概率密度函数为,为总体的样本,求,(2),解(1),(2),(3),19,近似,由中心极限定理(p148, 2.3),(3),20,3. 抽样分布,统计量是依赖于样本的，而样本是随机变量.,2. 经验分布函数,经验分布函数,统计量也是随机变量，因而就有一定的分布.,这个分布叫做统计量的“抽样分布” .,可证n充分大时Fn (x)与F(x)近似相等.,21,五、三大统计量分布,记为,定义: 设 相互独立, 都服从正态 分布N(0,1), 则称随机变量： 所服从的分布为自由度为 n 的 分布.,分

8、布是由正态分布派生出来的一种分布.,22,分布的密度函数为,演示,c2 分布,23,分布的性质：,2. 设 且X1,X2相互 独立，则,这个性质叫 分布的可加性.,24,应用中心极限定理可得，若,的分布近似正态分布N(0,1).,则： E(X)=n, D(X)=2n,若,25,T的密度函数为：,记为Tt(n).,2、t 分布,26,具有自由度为n的t分布的随机变量T的数学期望和方差为: E(T)=0; D(T)=n / (n-2) , 对n 2,当n充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形.,t分布的密度函数关于x=0对称，且,t 分布,当n充分大时，t 分布近似N (0,1)分布. 但对于较小的n，t分布与N (0,1)分布相差很大.,27,由定义：,3、F分布,F(n2,n1),28