基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

1、1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则,公式二:,公式一:,算一算：求下列函数的导数,(1) y=x4 ;,(2) y=x-5 ;,注意公式中,n的任意性.,4x3,-5x-6,-2x-3,公式三:,公式四:,公式五:对数函数的导数,公式六:指数函数的导数,记 一 记,点评 运算的准确是数学能力高低的重要标志，要从思想上提高认识，养成思维严谨、步骤完整的解题习惯，要形成不仅会求，而且要求对、求好的解题标准,求下列函数的导数： (1)yx2；(2)ycosx；(3)ylog3x；(4)ye0. 解析 由求导公式得,法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两 个函数的导数的和(差),即:

2、,f(x) g(x) = f(x) g(x);,应用1: 求下列函数的导数(1)y=x3+sinx (2)y=x3-2x+3.,一、导数的运算法则,法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:,法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方.即:,点评 1.多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便 2含根号的函数求导一般先化为分数指数幂，再求导,例2:求下列函数的导数:,答案:,题型一：导数公式及导数运算法则的应用,(1)求下列函数的导数 yx2sinx yx2(

3、x21),练一练：,（1）下列各式正确的是（ ）,C,（2）下列各式正确的是（ ）,D,(3) f(x)=80，则f (x)=_;,0,e,例1,假设某国家在20年期间的年通货膨胀率为5，物价p（单位：元）与时间t（单位：年）有函数关系 ，其中 为t=0时的物价.假定某商品的 那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度的大约是多少（精确到0.01）？,解:根据基本初等函数导数公式表,有,所以,因此,在第10个年头,这种商品的价格 约以0.08元/年的速度上涨.,三、解答题 6求下列函数的导数 (1)yx43x25x6； (2)yxtanx； (3)y(x1)(x2)(x3)；,(3)解法1：

4、y(x1)(x2)(x3) (x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3) (x1)(x2)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x2x1)(x3)(x1)(x2) (2x3)(x3)x23x23x212x11； 解法2：(x1)(x2)(x3)(x23x2)(x3) x36x211x6， y(x1)(x2)(x3)(x36x211x6)3x212x11；,例3 已知抛物线yax2bxc通过点(1,1)，且在点(2，1)处与直线yx3相切，求a、b、c的值 分析 题中涉及三个未知量，已知中有三个独立条件，因此，要通过解方程组来确定a、b、c的值 解析 因为yax2bxc过点(1,1)，

5、所以abc1. y2axb，曲线过点P(2，1)的切线的斜率为 4ab1. 又曲线过点(2，1)，所以4a2bc1.,点评 本题主要考查了导数的几何意义，导数的运算法则及运算能力,例2.,日常生活中的饮用水通常是通过净化的。随着水纯 净度的提高，所需净化费用不断增加。已知将1吨水 净化到纯净度为 时所需费用(单位:元)为：,求净化到下列纯净度时 , 所需净化费用的瞬时 变化率： (1)90% (2)98%,1.2.3复合函数求导,基本初等函数的导数公式,导数的运算法则：,法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:,法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第

6、二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:,法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方.即:,练习1、求下列函数的导数。,(1) y= 5 (2) y= x 4 (3) y= x -2 y= 2 x y=log3x,指出下列函数是怎样复合而成：,练习1,二、复合函数的概念,三.复合函数的导数法则:,即复合函数y对x的导数等于: y对u的导数 与 u对x的导数 的乘积.,复合函数 的导数与函数 和 的导数间关系为：,或,复合函数求导步骤: 第一步，分层（从外向内分解成基本函 数用到中间变量u）； 第二步，层层求

7、导（将分解所得的基本函数进行求导）； 第三步，做积还原（将各层基本函数的导数相乘，并将中间变量u还原为原来的自变量x）。,其实， 是一个复合函数，,问题：,分析三个函数解析式以及导数 之间的关系:,例1：求,的导数,分析：,解1：,解2：,可由y=sinu,u=2x复合而成,=2cos2x,?,练习 设 y = (2x + 1)5，求 y ,解 把 2x + 1 看成中间变量 u，,函数 y = u5，和 u = 2x + 1,复合而成，,所以,将 y = (2x + 1)5 看成是由,由于,例2 设 y = sin2 x，求 y ,解 这个函数可以看成是 y = sin x sin x, 可

8、利用乘法的导数公式，,将 y = sin2 x 看成是由 y = u2，u = sin x 复合而成.,而,所以,这里，,我们用复合函数求导法.,求 y ,解 将中间变量 u = 1 - x2 记在脑子中.,这样可以直接写出下式,例 3,练习3：设 f (x) = sinx2 ，求 f (x).,解,【解析】,解：(2)y=(sin3x+sinx3) =(sin3x)+(sinx3) =3sin2x(sinx)+cosx3(x3) =3sin2xcosx+3x2cosx3.,【解析】,复习检测,复习检测,复习检测,复习检测,当堂检测,1函数y=(5x4)3的导数是（ ） （A）y3(5x4)2

9、 （B）y9(5x4)2 （C）y15(5x4)2 （D）y12(5x4)2,C,2函数 yAcos(x+)（A0）的导数是（ ） （A）y=Asin(x+) （B）y=Asin(x+) （C）y=Acos(x+) （D）y=Asin(x+),D,3函数y=sin(x2+1)cos3x的导数是（ ） （A）y=cos(x2+1)sin3x （B）y=2xcos(x2+1)3sin3x （C）y=2xcos(x2+1)+3sin3x （D）y=cos(x2+1)+sin3x,B,4函数y=(1+cosx)3是由 两个函数复合而成,y=u3, u=1+cosx,5函数y=3sin2xl在点(，1)处的切线方程是 .,y=1,6求 的导数,例5.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足 s= -4t3+16t2. (1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零?,解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在始点.,即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8,故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的