正弦定理余弦定理及其运用

1、正弦定理、余弦定理及其运用,一、考纲解读：,在课标及教学要求中对正弦定理、余弦定理的要求均为理解。在高考试题中，出现的有关试题大多为容易题，主要考查正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变换的技能及运算能力，以化简、求值或判断三角形形状为主。,二、正弦定理及其变形：,( 其中 R是,外接圆的半径）,1、已知两角和任一边，求其他两边和一角；(三角形形状唯一） 2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。（三角形形状不一定唯一）,解决题型：,三、余弦定理及其变形：,解决题型：,1、已知三边，求三个角；（只有一解） 2、已知两边和它们的夹角，求第三边 和其他两个角。（只有一解）,四、实际应用问题

2、中的基本概念和术语,仰角和俯角是与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，其中目标视线在水平线上方时叫仰角；目标视线在水平线下方时叫俯角。 方位角：一般指北方向线顺时针转到目标方向线的水平角。,(某学生的解）,五、例题讲解,错因分析：,因为,是锐角三角形，则要求,前面解法忽视了对,的讨论。,正确解答,即,若这个三角形有两解，求,的取值范围。,例2.,解得情况如下：,A,B,C,b,a,A,B,B,C,A,B,C,C,B,A,上表中A为锐角时，,A为直角时，,均无解。,时，无解；,解法一：原式可化为,即：,整理得：,即,是等腰三角形或是直角三角形。,解法二：原式可化为,化简得：,也即

3、,即,是等腰三角形或是直角三角形。,判断三角形形状时，可以将边化到角也可以,将角化到边，或边角同时互化。在转化过程,中，三角形边角具有的基本性质不能忘记。,如内角和为,，每个内角大于,等。,点评：,且满足,求证：,例四：,证明：,点评:本题通过基本不等式的运用构造不等关系，再利用三角形的内角具有的范围，得到结论.,例五、如图所示，某海岛上一观察哨A上午,12时20分测得船在海岛北偏西,12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海,如果轮船始终匀速直线前,的B处，,11时测得一轮船在海岛北偏东,的C处，,的E港口，,进，问船速多少？,分析：,已知从C到B及B到E的时间，要知船速度， 只需知道CB,B

4、E或CE中的任一长度即可。 题中只知AE=5km，那么只要将已知长度的边长和需要计算的那个边长纳入到同一个三角形中，或是通过间接的途径纳入到同一个三角形中，再通过正弦定理或余弦定理进行计算即可。,解：轮船从C到B用时80分钟，,从B到E用时20,分钟， 而船始终匀速前进，由此,可见：,设,，则,，由已知得,在,中，由正弦定理,在,中，由正弦定理得：,在,中，由余弦定理得：,所以船速,六、高考题再现：,1.（山东理）已知,的对边，向量,若,且,则角B= ,三个内角,分析：求边长，考虑将角向边转化。,3.（浙江理）,在,中，三个内角,所对的边分别为,且满足,(1)求,的面积；,（2）若,求,的值.,分析：利用倍角公式求出A的三角函数值，,4.（2010江苏）在锐角三角形,的对边分别为,则, ,小结：,处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜