正弦函数、余弦函数的性质(经典)

1、三角函数 1.4正弦函数余弦函数的性质,1.定义域和值域,正弦函数,定义域：R,值域：-1，1,余弦函数,定义域：R,值域：-1，1,练习,P 46 练习2,周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 f (x+T)=f (x) 那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。,2.周期性,判断下列命题是否正确,1、因为f(x+0)=f(0)，所以函数f(x)为周期函数，周期是0； 2、因为f(x+2x)=f(x),所以函数f(x)为周期函数，周期是2x； 3、因为sin(30+120)=sin30,所以函数f(x)=sinx

2、为周期函数，周期是120； 4、因为sin(x+ 4)=sinx,所以函数f(x)=sinx为周期函数，周期是4,举例,解：（1）,自变量x只要并且至少要增加到x+2 ，函数,的值才能重复出现.,的值才能重复出现.,，,自变量x只要并且至少要增加到x+ ，函数,自变量x只要并且至少要增加到x+ ，函数,的值才能重复出现.,所以,函数 的周期是,思考(4),练习,已知函数 的周期是3，且当 时， ，求,思考： 吗？,正弦函数的图象,探究,余弦函数的图象,问题：它们的图象有何对称性？,3.奇偶性,3.奇偶性,为奇函数,为偶函数,正弦函数的图象,对称轴：,对称中心：,余弦函数的图象,对称轴：,对称中

3、心：,练习,为函数 的一条对称轴的是（ ）,解：经验证，当,时,为对称轴,例题,求 函数的对称轴和对称中心,解（1）令,则,的对称轴为,解得：对称轴为,的对称中心为,对称中心为,练习,求 函数的对称轴和对称中心,例1.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.,解：,这两个函数都有最大值、最小值.,（1）使函数 取得最大值的x的集合，就是使函数 取得最大值的x的集合,使函数 取得最小值的x的集合，就是 使函数 取得最小值的x的集合,函数 的最大值是1+1=2；最小值是 -1+1=0.,例1.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取

4、最大、最小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.,解：,（2）令t=2x,因为使函数 取最大值的t的集合是,所以使函数 取最大值的x的集合是,同理，使函数 取最小值的x的集合是,函数 取最大值是3，最小值是-3。,1、_，则f（x）在这个区间上是增函数.,4.正弦余弦函数的单调性,函数,若在指定区间任取 ，,且 ，都有：,函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。,观察正余弦函数的图象，探究其单调性,2、_，则f（x）在这个区间上是减函数.,增函数：上升,减函数：下降,探究：正弦函数的单调性,曲线逐渐上升，sin的值由 增大到 。,当 在区间,上时，曲线逐渐下降， sin的值由 减小到 。,探究：正弦函数的单调性,正弦函数在每个闭区间,都是增函数，其值从1增大到1；,减函数，其值从1减小到1。,探究：余弦函数的单调性,曲线逐渐上升，cos的值由 增大到 。,曲线逐渐下降， sin的值由 减小到 。,探究：余弦函数的单调性,由余弦函数的周期性知：,其值从1减小到1。,其值从1增大到1 ；,例2.求函数的单调增区间 解：,y=sinz的增区间,原函数的增区间,求函数的单调增区间,求函数的单调增区间,增,减,减,增,变式练习,求函数的单调增区间,增,为了防止出错，以及计算方便，遇到负号要提出来,增,增,减,求函数的单调增区间,增,为了防止出错