正定二次型与正定矩阵

1、正定二次型和正定矩阵的概念 判别二次型或矩阵正定的方法,7 正定二次型,下页,关闭,正定二次型是二次型中讨论最多的类型，本节 结合二次型的标准型中系数给出正定二次型的概念， 并给出了判定二次型正定及实对称矩阵的几种方法。,二次型的标准形不是唯一的。 标准形中所含项数是确定的( 即是二次型的秩 )。 限定变换为实变换时，标准形中正系数的个数是不变的。,正定二次型和正定矩阵的概念,定理11 ( 惯性定理 ) 设有实二次型,它的秩是 r ，有两个实的可逆变换,上页,下页,返回,正数的个数称为正惯性指数，负数的个数,称为负惯性指数,对任何 x 0 , 都有 f(x) 0 ；如果,定理12 实二次型,为

2、正定的充分,必要条件是：它的标准形的 n 个系数全为正。,证 设可逆变换,上页,下页,返回,先证充分性,推论 对称阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的特征值全为正。,再证必要性：用反证法。假设有 ks 0 , 则,( 单位坐标向量 ) 时，,这与假设 f 正定矛盾，,上页,下页,返回,定理13 对称阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的各阶主子式都为正。即,对称阵 A 为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正。即,这个定理称为霍尔维兹定理。,上页,下页,返回,注意：对于二次型，除了有正定和负定以外，还有半正定和半负定及不定二次型等概念。,上页,下页,返回,判别矩阵正定的方

3、法,根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵A 的正定性有两种方法。 一是求出A 的所有特征值。若A 的特征值均为正数，则A 是正定的；若A 的特征值均为负数，则A 为负定的。 二是计算A 的各阶主子式。若A 的各阶主子式均大于零，则A 是正定的；若A 的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A 为负定的。,上页,下页,返回,例16,判定对称矩阵,正定性。,解 方法一,所以A 是正定的。,上页,下页,返回,方法二：A 的特征多项式为,上页,下页,返回,由实二次型的矩阵表示及对称矩阵的正定性判别法知，判断二次型的正定性也有两种方法。 一是利用对称矩阵A 的正定性。若二次型 f 的对称矩阵A

4、 是正定的，则f 是正定二次型；若A 是负定的，则 f 也是负定二次型。 二是将 f 化为标准形。若其标准形的 n 个系数全为正，则 f 是正定的；若 f 的标准形的 n 个系数全为负，则 f 是负定的。 由于将 f 化为标准形非常复杂，因此第二种方法一般不用。,上页,下页,返回,判别二次型正定的方法,解 f 的矩阵是,所以 f 是负定的。,例17,判别二次型,的正定性。,A 的各阶主子式为：,上页,下页,返回,例18,设二次型,解,f 的矩阵是,A 的各阶主子式为：,上页,下页,返回,Ex.11,判别二次型,解 f 的矩阵是,所以 f 既不是正定的，也不是负定的，即不定二次型。,的正定性。,

5、A 的各阶主子式为：,上页,下页,返回,例19,设C 是满秩矩阵，实对称矩阵A 是正定的，则C TAC是正定的。,证,因为A 为正定，所以对任意,即C TAC是正定的。,上页,下页,返回,Ex.12,证明：若实对称矩阵A = ( aij ) 为正定矩阵， 则 aii 0 ( i =1, 2, , n ).,证,因为A 为正定，所以对任意,上页,返回,第五章小结,本章通过向量的内积，从而给n维向量建立了度 量的概念，结合方阵的特征值理论，给出了判定矩 阵是否可以对角化的判定方法；通过对实对称矩阵 所具有的特点，说明实对称矩阵不仅可以相似对角 化，而且可以正交对角化；从而为二次型化标准型 提供了一

6、种重要方法：正交变换法。由二次型与实 对称矩阵的一一对应关系，将二次型的讨论转化为 矩阵的讨论，并讨论了正定二次型。,上页,下页,返回,第五章主要方法,一) 方阵的特征值与特征向量的求法,上页,下页,返回,二 ) 用正交方阵将方阵化为对角阵的方法,(1).求A 的特征值； (2).求A 的特征值对应的n 个线性无关的特征向量； (3). 将重特征值所对应的特征向量正交化，连同单特征值所对应的特征向量一起就得到两两正交的特征向量； (4). 将 (3) 中 n 个特征向量单位化，得到 n 个两两正交的单位特征向量； (5). 以这些特征向量作为列向量的矩阵就是所求的正交矩阵，且有,上页,下页,返回,三) 化二次型为标准型的方法,(1).正交变换法 1 .写出二次型对应的矩阵A . 2 .将A化为对角阵，求出正交阵P . 3 .写出标准型，且正交变换为X=PY .,(2).配方法 1.含有平方项，直接配方； 2.不含有平方项,化成含有平方项,再配方;,上页,下页,返回,四 判定矩阵与二次型为正定的方法,1.定义法：