武汉理工大学理论力学课件 第五章 点的运动学描述和刚体的简单运动

1、1、运动学、2、运动学是研究物体运动几何学性质的科学。 从几何方面研究物体的机械运动，不研究物体的运动规则和力、惯性等物理因素的关系，而单独研究物体运动的几何性质。 学习运动学的意义：首先为学习动力学奠定必要的基础。 其次，运动学本身也有独立的应用。 因为物体运动的描述是相对的。 观察者所在的物体称为参考体，固定在参考体上的坐标系称为参考系统。 只有明确参照系来分析物体的运动才有意义。 时间概念必须明确：瞬时和时间间隔。 运动学所研究的力学模型是点和刚体。 第3，5章的运动学描述和刚体的简单运动，第4，本章首先介绍了三种方法(向量法，直角坐标法和自然法)，对某参考系的几何位置研究点的时间变化规

2、律(包括点的运动方程式、轨迹、速度和加速度等)，研究刚体的两种基本运动。 在本章中，5. 1点的运动学用向量表示5. 2刚体的平移5. 3刚体的定轴旋转5. 4轮系的速度比5. 5，用向量积表示角速度和角加速度，5、1 .运动方程式以参考系上的某确定点o为坐标原点，从点o到动点m为向量r，设定为点m相对于原点o的位置5.1点的运动学记述，当由向量表示的点的运动方程式、运动点m运动时，向量r随时间变化，时间的单值连续函数，即向量端曲线是运动点的运动轨迹，一、向量法，6、2 .速度，运动点的速度向量是其向量对时间的一次性动点的速度矢量在沿矢量直径的矢量端曲线的切线，即沿动点运动轨迹的切线上，与该点

3、运动的方向一致。7、3 .加速度、点的速度矢量相对于时间的变化率称为加速度。 点的加速度也是矢量，表示速度的大小和方向的变化。 点的加速度等于其速度对时间的一次微分，等于矢量对时间的二次微分。 为了方便起见，在字符上加“.”表示相对于该量的时间的一次导数，加“.”表示相对于该量的时间的二次导数。 当在、8、空间中任意取点o时，移动点m连续地与不同的瞬时速度向量v0、v1、v2、等平行地移动，并且构成连接各向量的端点M1、M2、M3、的向量v的端点的连续曲线被称为速度向量端点曲线。 动点加速度矢量a的方向与速度矢量端曲线在对应点m处的切线平行。 如果决定了加速度的方向，9，取一定的直角坐标系Ox

4、yz，矢量直径的原点与直角坐标系的原点重叠，因此矢量直径r为：可动点m在任意的瞬间的空间位置，能够用相对于o的矢量直径r表示，将该方程式称为用直角坐标表示的点的运动方程式。 有二、直角坐标法、微动点m。 的双曲正切值。 同时也是点运动轨迹的参数方程。 1 .运动方程式、10，速度向各坐标轴的投影等于运动点的各对应坐标对应时间的一次微分。 如果知道速度、速度的投影，则速度的大小，其方向馀弦为、11，加速度在各坐标轴上的投影等于移动点的各对应坐标对应时间的二次微分。 3 .如果知道加速度、加速度的投影，加速度的大小也可以确定其方向。12、解：创建如图所示的坐标系。 m点的坐标将上式带来：j=w t

5、，m点的运动方程式：是：例1是如图所示偏心驱动油泵的曲柄导向机构。 设曲柄OA的长度为r，从水平位置以一定角速度w旋转，即，在j=wt时，滑动槽K-K与导杆B-B成为一体。 曲柄端点a通过滑动块折动滑动槽K-K，曲柄使导杆B-B上下直线运动。 求导杆的运动方程式、速度、加速度吧。 13、例2一人的h2高，在路灯下以等速v1走，把灯距地面的高度设为h1，求出了人影的前端m沿地面移动的速度。如取坐标轴Ox的图所示，是几何关系：上式在t求出一次微分系数，m点的速度是：14，这是点用沿着轨迹的运动方程式或者弧坐标表示的点的运动方程式。 如果将三、自然法、1 .弧坐标、动点m的轨迹设为图像曲线，则动点m

6、的轨迹上的位置，可以将轨迹上的任意点o作为基准点，将点o的一侧设为正方向，将动点m的轨迹上的位置设为弧长s，将弧长s设为代数，可以称为动点m的轨迹上的弧坐标。 当移动点m运动时，s随时间变化，其为时间的单值连续函数，15取轨迹上非常接近的点m和m-1，切线的单位向量与弧坐标正方向一致，和1。 如果1偏移到点m，和1确定平面。 如果m无限靠近点m-1，则该平面接近某个极限位置，该极限平面称为曲线点m处的紧密面。 把越过点m与切线垂直的平面称为法线平面，把法线平面和密切面的交线称为主法线。 设主法线的单位向量为n，指曲线内的凹侧。 越过点m，垂直于切线及主法线的直线称为副法线，将其单位向量作为b，

7、指，n和右手系。 2 .自然轴系、16、以点m为原点，以切线、主法线、副法线为坐标轴的直角坐标系称为曲线在点m的自然坐标系，这3轴称为自然轴。 并且，3个单位向量将右手法则，即曲线切线的角点对弧长一次微分的绝对值称为曲线在m点处的曲率。 曲率的倒数称为m点的曲率半径。 曲率，17，左图：19，另外s为正的情况下，点向切线的正方向运动，指向轨迹内的凹侧的相反方向。 然后，18、3点的速度由矢量表示，在曲线运动中，点的速度是矢量。 其大小与圆弧坐标对时间的一次微分系数相同，其方向沿着轨道的切线，指运动的一方。19、4点的切线加速度和法线加速度，因此，其中17、20、式反映了加速度向量a的切线加速度

8、at相对于速度代数值的时间的变化率，反映了速度的大小的变化，显示该方向沿着轨迹的切线方向的法线加速度an反映了速度方向的变化的速度、21、全加速度是at和an的向量和，大小：方向：22，通过理解上述关系，容易得到曲线运动的运动规则。 例如，曲线等速运动是指动点速度的代数值一定。 如果动点的切线加速度的代数值不变，就把动点的运动称为曲线均匀变速运动。 现在，试着求出运动规则吧。、例3的下图是斗式升降机的示意图。 料斗由绕水平轴o旋转的滚筒用钢缆抬起。 已知卷线筒的半径为R=16cm，料斗垂直上升的运动方程式为y=2t2，y为cm，t为s。 求出卷筒边缘的一点m在t=4s处的速度和加速度。 解：此

9、时m点的切线加速度为：v=44=16 cm/s，t=4 s时的速度为：24，m点的全加速度为：此时的m点的切线加速度为：m点的法线加速度为：25，例4列车沿曲线轨道行驶，初速度v1=18km/h，速度均匀增加，s 在M1、M2点处的曲率半径分别为1=600m、2=800m。 求出列车从m-1到m-2所需时间和通过m-1和m-2的加速度。 求解：，(1)求出从m1到M2的所需时间，26，(2)求出列车通过m1和M2时的法线加速度：，5根棒AB以a点为中心旋转时，使半径r的固定大圆环上嵌入的小保护环m运动，=。 求出小环m的运动方程式、速度、加速度。 解：创建如图所示的笛卡尔坐标系。 即，小环m的

10、运动方程式。 因此m点的速度的大小和方向，其方向馀弦，m点的加速度的大小，并沿轨迹的法线方向，29，例子6半径r的车轮单纯地沿直线轨道滚动(不滑动地滚动)。让我们分析一下车轮边缘稍微m的运动，使车轮在同一垂直平面内移动。30，这里播放着电影。31、解：取坐标系Axy，以m点所在的最低位置为原点a，车轮旋转角度时，m点的坐标为旋转轮廓线的参数方程式。m点的速度和加速度：m点接触地面时，m点的速度等于零。 32、在物体内取直线段，运动中该直线段总是与其最初的位置平行，该运动称为平行移动，简称直线移动。 5.2刚体平行移动、33、34、结论：刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同，每一瞬间，各点的速

11、度相同，加速度也相同。 因此，研究刚体的平移可以归结为研究刚体内哪个点的运动。 在刚体运动过程中，刚体上或其延长部分有直线时，具有此特征的刚体运动称为刚体的定轴旋转，简称旋转。 这个固定的直线称为旋转轴。 5.3刚体的定轴旋转、36、37、固定平面a和动平面b所成的角j称为刚体的旋转角。 拐角j是标识刚体位置的代数，用弧度(rad )表示。 1 .旋转角和旋转方程式，旋转角j是时间t的单一值连续函数，即刚体以轴为中心旋转的运动方程式。一、旋转方程式、角速度和角加速度、38、旋转角j对时间的一次微分称为刚体的瞬时角速度，用w表示：用角速度表示刚体旋转的速度和方向，用代数表示，其单位为rad/s。

12、 2 .角速度和角加速度，(1)角速度，符号，从z轴的正端部看，39，角速度对时间的一次微分，称为刚体的瞬时角加速度，用字符a表示，角加速度表示角速度变化的速度，是代数，单位是rad/s2。 如果w和a相同，旋转就会加速。如果w和a不同，旋转就会减速。 (2)角加速度，40，工程中经常使用的转速n表示刚体的转速。 n的单位为旋转/分钟(r/min )，和n的变换关系为，(1)等速旋转(=常数)，(2)等速旋转(a=常数)，特殊的情况下：41，刚体在与轴垂直的平面内进行圆运动，半径r等于从点到轴的垂直距离。 动点速度的大小为二，旋转刚体上的各点的速度和加速度，如图所示，使任一点从o向m运动。 如

13、果将固定点o作为圆弧坐标s的原点，用j角的正方向规定圆弧坐标s的正方向，则1 .速度相对于刚体整体(各点都相同)，v、a相对于有刚体的点(各点不同)。 42，即，旋转刚体中任意点的速度的大小等于刚体角速度和从该点到轴线的垂直距离的乘积，其方向指沿着圆周切线旋转的方向。43、(1)切线加速度：即，旋转刚体内任意点的切线加速度的大小等于刚体的角加速度与从该点到轴线的垂直距离的积，该方向由角加速度的符号决定，a为正值时，它沿着圆周的切线，除非指向角j的正方向，否则反之。 2 .加速度，44，(2)法线加速度：即旋转刚体内任意点的法线加速度(也称为向心加速度)的大小，等于刚体角速度的平方和从该点到轴的

14、垂直距离的积，其方向和速度垂直地指定轴。 如果、45、w与a相同，则角速度的绝对值增加，刚体加速旋转，此时点的切线加速度at和速度v的方向相同，如果w和a不同，则刚体减速旋转，at和v的方向相反。 在这两种情况下，如图所示，46，(1)每瞬间，旋转刚体的所有点的速度和加速度的大小分别与从这些点到轴线的垂直距离成比例。 (2)每一瞬间，刚体内所有点的加速度a和半径所成的角q具有相同的值。 点的全加速度，47，例5.1齿轮传动是工程中常见的传动方式，可以改变转速和转向。 如图所示，通知r1、r2、1、a1，求出2、a2 .解：由于啮合点没有相对滑动，圆轮的任一瞬间的角速度和角加速度，在求t=1s时

15、，轮圈的任意点m的速度和加速度，方向如图所示。例5.2半径R=0.2m的圆圈围绕固定轴o的旋转方程式，单位为弧度。 求t=1s时，轮圈的任意点m的速度和加速度(图)。 在这个轮圈上卷上不柔软伸长的绳索，在绳索的端部悬挂物体a，求出t=1s时物体a的速度和加速度。 49、m点的全加速度及其偏角如图所示。 求出物体a的速度和加速度。 在上式的两侧求出1次和2次导数就能得到，50，解：51，主动轮和从动轮的角速度的比称为齿轮比，记为i12。 5.4轮系的传动比、齿轮传动(外啮合)、齿轮传动(内啮合)、52、带轮传动、53、1 )齿轮传动，即，相互啮合的两齿轮的角速度之比与它们的节圆半径成反比。 由于齿轮的齿数与其节圆半径成比例，也就是说，相互啮合的两齿轮的角速度之比与角加速度之比与它们的齿数成反比。由于两个齿轮的啮合圆之间没有相对滑动，因此，54、2 )带轮传动，因为vA=vB，55、例5.4下图由四个齿轮构成，齿数分别为Z1=10、Z2=60、Z3=12、Z4 (a )求出减速箱的总减速比i13 (n1=3000 r/min，n3 .求出解：速度比：则用、56、1 .角速度和角加速度的矢量表示，角速度和角加速度用矢量表示，用右手的螺旋法则规定w、a的方向。 可以写角速度矢量，可以写角加速度矢量，5.5用矢量表示角速度和角加速度，用