求抛物线的标准方程和焦点坐标

1、抛物线及其标准方程,请同学们思考两个问题,1、我们对抛物线已有了哪些认识？,2、二次函数的图像抛物线的 开口方向是什么？,想一想？,引入悟境,生活中存在着各种形式的抛物线,赵州桥,喷泉,抛物线的生活实例,投篮运动,抛物线的生活实例,飞机投弹,引领悟识：,若动点M满足到一个定点F的距离和它到一条定直线l 的距离的比是常数e.（直线 l 不经过点F）,（1）当0e 1时，点M的轨迹是什么?,（2）当e1时，点M的轨迹是什么?,是椭圆,是双曲线,e=1？,实验一,平面内与一个定点F和一条定直线l（l不 经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,一、抛物线定义,其中 定点F叫做抛物线的焦点 定直线 l

2、 叫做抛物线的准线,定义告诉我们：,1、判断抛物线的一种方法,2、抛物线上任一点的性质：|MF|=|MH|,求曲线方程的基本步骤是怎样的？,想一想？,抛物线标准方程的推导,回顾求曲线方程的一般步骤是：,1、建立直角坐标系，设动点为(x,y),2、写出适合条件的x,y的关系式,3、列方程,4、化简,5、（证明）,设焦点到准线的距离为常数P(P0)如何建立坐标系,求出抛物线的标准方程呢？,抛物线标准方程的推导,试一试？,K,K,设KF= p,设动点M的坐标为（x，y）,由抛物线的定义可知，,解：如图，取过焦点F且垂直于准线L的直线为x轴，线段KF的中垂线为y轴,抛物线标准方程的推导,( p 0),

3、抛物线标准方程的推导,如图，若以准线所在直线为y轴， 则焦点F(P,0),准线L:x=0,比较之下，显然方程 y2 = 2px（p0）更为简单,方程 y2 = 2px（p0）叫做 抛物线的标准方程,其中 p 为正常数，它的几何意义是: 焦 点 到 准 线 的 距 离,抛物线的标准方程,但是，一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式。,方程 y2 = 2px（p0）表示的抛物线，其焦点 位于X轴的正半轴上，其准线交于X轴的负半轴,抛物线的标准方程,向右,向左,向上,向下,四种抛物线标准方程对比,寻找：区别与联系,一、四种形式标准方程的共同特征,1、二

4、次项系数都化成了_,2、四种形式的方程一次项的系数都含2p,1,3、四种抛物线都过_点 ，且焦点与准线分别位于此点的两侧,O,1、一次项(X或Y)定焦点和对称轴,2、一次项系数符号定开口方向.,二、四种形式标准方程的区别,引导悟技,例1 已知抛物线的标准方程是y2 = 6x， 求它的焦点坐标和准线方程；,解: 2P=6,P=3 所以抛物线的焦点坐标是（ ，0） 准线方程是x=,练习,求下列抛物线的焦点坐标和准线方程,（1）y 2 = -20 x,（2） y = 6 x 2,焦点F ( -5 , 0 ),准线：x =5,例2 已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2） 求它的标准方程。,解: 因为焦点

5、在y的负半轴上,所以设所 求的标准方程为x2= -2py 由题意得 ，即p=4 所求的标准方程为x2= -8y,变式 已知抛物线的准线方程是x = ,求它 的标准方程。,解题感悟:,求抛物线标准方程的步骤：,（1）确定抛物线的形式.,（2）求p值,（3）写抛物线方程,注意:焦点或开口方向不定，则要注意分类讨论,结束,例3：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径）为4.8m，深度为0.5m。建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。,练习1：求过点A（-3，2）的抛物线的 标准方程。,解：1）设抛物线的标准方程为 x2 =2py，把A（-3，2）代入， 得p=,2）设抛物线的标准方程为 y2 = -2px，把A（-3，2）代入， 得p=,抛物线的标准方程为x2 = y或y2 = x 。,课堂练习,练习2:已知抛物线方程为x=ay2（a0)，讨论抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程？,课堂练习