高等数学连续函数的运算法则

1、1,第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性,2,函数 f(x) 在点x0 连续,上一节结论：,在 内都是连续函数 。,初等函数连续性？,由常数和基本初等函数,经过有限次四则运算和,有限次函数的复合所构成并可用一个式子表示,的函数,称为初等函数.,3,初等函数,常数 基本初等函数,四则运算 复合运算,研究初等函数连续性需： (1)基本初等函数连续性 (2) 连续函数四则运算 (3) 连续函数复合运算,4,定理1,一、连续函数的四则运算,结论: （1）三角函数在其定义区间内皆连续,若函数 f(x)与 g(x)在点x0 处连续，,则 f(x)+g(x)， f(x)g(x)，,在点x0 处连续。,故

2、tanx, cotx, secx, cscx在定义域上连续,5,2.反函数与复合函数的连续性,函数y=f(x) 的反函数x=f -1(y),定理2 若函数y=f(x)在 区间 Ix上单调增加且连续, 则它的反函数x=f -1(y)在 对应区间Iy=y|y=f(x),xIx 上单调增加且连续.,6,因为y=sinx在 上单调增加且连续,结论： （1）三角函数在其定义区间内皆连续 （2）反三角函数在其定义区间内皆连续 （3）指数函数在其定义区间内皆连续 （4）对数在其定义区间内皆连续,故y=logax在(0,+)单调增加且连续。,在(-,+)单调增加且连续,故y=arcsinx在-1,1上单调增加

3、且连续,幂函数?,7,幂函数?,复合函数连续性?,问题：,函数y=f(x)在x0点连续,若函数y=f(x)连续，是否成立,9,8,定理3 设y=f(g(x)是由y=f(u)与u=g(x)复合而成,若,而y=f(u)在u0点连续,则,证明：,y=f(u)在u0点连续,当|u-u0|时，,当0|x-x0|时，,当0|x-x0|时，,9,当外层函数连续，内层函数极限存在，且,时，“极限号”可以“穿过”外层“函数号”,例1 证明当x0时，ln(1+x)x ,证：,当x0时，ln(1+x)x，,10,例2 证明当x0时，arcsinxx ,当x0时，t 0,当x0时，arcsinxx,证：设,则 x=s

4、in t,常用等价无穷小 当x0时，,11,练习 1. 计算极限,2. 当x0时，,是x的几阶无穷小？,12,定理4 设y=f(g(x)是由y=f(u)与u=g(x)复合而成,若g(x)在x0点连续, g(x0)=u0,而y=f(u)在u0点连续,则y=f(g(x)在x0点连续。 证明,复合运算保连续,幂函数,故 y=f(g(x)在x0点连续。,13,结论： （1）三角函数在其定义区间内皆连续 （2）反三角函数在其定义区间内皆连续 （3）指数函数在其定义区间内皆连续 （4）对数函数在其定义区间内皆连续 （5）幂函数在其定义区间内皆连续,基本初等函数在其定义区间内皆连续,14,三、初等函数的连续性,初等函数,常数 基本初等函数,四则运算 复合运算,连续,保连续,定理4 初等函数在其定义区间内都是连续的.,15,注: 1. 初等函数在其定义域内不一定连续;,例如,在0点的邻域内没有定义.,2. 初等函数求极限的方法代入法.,函数在区间1,)上连续,例如,16,例3 求极限,计算：,17,设,证,则,幂指函数求极限的方法： 当底数的极限为正，且指数的极限为常数时， 幂指函数求极限等于对其底数和指数分别取极限。,18,例4 求极限,解,1