金融数学课件（南京大学）

1、2020/7/2,1,金融数学,南京大学金融与保险学系,2020/7/2,2,导论 第一章 金融数学基础 第二章 金融市场 第三章 资产组合复制和套利 第四章 股票与期权的二叉树模型 第五章 连续时间模型和Black-Scholes公式 第六章 Black-Scholes模型的解析方法 第七章 对冲 第八章 互换 第九章 债券模型,金融数学,2020/7/2,3,导 论,在人类发展史上，伴随着第一张借据的出现，金融（finance）就产生了。时至今日，金融学已形成了宏观金融学和微观金融学两个分支，其需要解决的核心问题是：如何在不确定（uncertainty）的环境下，通过资本市场对资源进行跨期

2、的（intertemporally）最优配置（allocation）。金融发展史表明，伴随着金融学两个分支学科的深化与发展，金融数学（Financial Mathematics）应运而生。,2020/7/2,4,如何理解：在不确定（uncertainty）的环境下，对资源进行跨期的最优配置？ 荒岛鲁宾逊传奇（Robinson Crusoe） 思路：求一个终身的跨期最优消费投资问题； 工具：随机最优控制（Stochastic optimal control）,导 论,2020/7/2,5,被萨缪尔森誉为金融理论“专家中的专家”、站在众多“巨人肩上的巨人”的莫顿(Robert C Merton)曾

3、这样说过： 优美的科学不一定是实用的，实用的科学也未必给人以美感，而现代金融理论却兼备了优美和实用。,导 论,2020/7/2,6,导论,一、金融与金融数学 二、金融数学的发展历程 三、金融数学的结构框架,2020/7/2,7,一、金融与金融数学,金融是一个经济学的概念和范畴。通常，“金”是指资金，“融”是指融通，“金融”则指资金的融通，或者说资本的借贷，即由资金融通的工具、机构、市场和制度构成的有机系统，是经济系统的重要组成部分。 金融核心：在不确定的环境下，通过资本市场，对资源进行跨期（最优）配置。 如何理解其与传统经济学的联系与区别？,2020/7/2,9,微观金融分析和宏观金融分析分别

4、从个体和整体角度研究金融运行规律。 金融决策分析主要研究金融主体投资决策行为及其规律，服务于决策的“金融理论由一系列概念和定量模型组成。” 金融中介分析主要研究金融中介机构的组织、管理和经营。包括对金融机构的职能和作用及其存在形态的演进趋势的分析；金融机构的组织形式、经济效率、混业与分业、金融机构的脆弱性、风险转移和控制等。,一、金融与金融数学,2020/7/2,10,宏观金融分析从整体角度讨论金融系统的运行规律，重点讨论货币供求均衡、金融经济关系、通货膨胀与通货紧缩、金融危机、金融体系与金融制度、货币政策与金融宏观调控、国际金融体系等问题。 与经济学的发展历程相反，金融学是先有宏观部分再有微

5、观部分。,一、金融与金融数学,2020/7/2,11,完整的现代金融学体系将以微观金融学和宏观金融学为理论基础，扩展到各种具体的应用金融学学科，而数理化（同时辅助以实证计量）的研究风格将贯穿从理论到实践的整个过程。在现代金融学的发展历程中，两次华尔街革命产生了一门新兴的学科，即金融数学。随着金融市场的发展，金融创新日益涌现，各种金融衍生产品层出不穷，这给金融数学的发展提出了更高的要求，同时也为金融数学这一门学科的发展提供了广阔的空间。,一、金融与金融数学,2020/7/2,12,金融数学是金融学自身发展而衍生出来的一个新的分支，是数学与金融学相结合而产生的一门新的学科，是金融学由定性分析向定性

6、分析与定量分析相结合，由规范研究向实证研究为主转变，由理论阐述向理论研究与实用研究并重，金融模糊决策向精确化决策发展的结果。,一、金融与金融数学,数学：研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。 金融学：研究运作“金钱”事务的科学。 金融数学：运用数学工具来定量研究金融问题的一门学科。 与其说是一门独立学科，还不如说是作为一系列方法而存在 。,2020/7/2,13,金融数学 是金融经济学的数学化。金融经济学的主要研究对象是在证券市场上的投资和交 易，金融数学则是通过建立证券市场的数学模型，研究证券市场的运作规律。 金融数学研究的中心问题是风险资产（包括衍生金融产品和金融工具）的定价和最优投资策

7、略的选择，它的主要理论有：资本资产定价模型，套利定价理论，期权定价理论 及动态投资组合理论。,一、金融与金融数学,2020/7/2,14,金融数学研究的主要内容： 风险管理 效用优化 金融数学的主要工具是随机分析和数理统计 （特别是非线性时间序列分析）。,一、金融与金融数学,2020/7/2,15,一、金融与金融数学,依据研究方法：,2020/7/2,16,规范金融数学： 强调运用高等数学、最优化、概率论、微分方程等知识对金融原理进行推导。 如：第一次华尔街革命（资产组合问题、资本资产定价模型）；第二次华尔街革命（期权定价公式）。 实证金融数学： 强调运用统计学、计量经济学、时间序列分析等知识

8、对金融原理进行假设检验，并得出一些经验结论。 如：资产定价模型的检验、行为金融学的检验。,一、金融与金融数学,2020/7/2,17,金融数学的研究历程大致可分为三个时期： 第一个时期为发展初期： 代表人物有阿罗（K . A rrow ）、德布鲁（G . Debreu ）、林特纳（J . Lintner ）、马柯维茨（H . M . Markowitz ）、夏普（w . Sharp ）和莫迪利亚尼（F . Modigliani ）等。,二、金融数学的发展历程,2020/7/2,18,尽管早在1900年，法国人L巴恰利尔(Louis Bachelier)在一篇关于金融投机的论文中，已经开始利用随

9、机过程工具探索那时尚无实物的金融衍生资产定价问题，但巴恰利尔仅是那个时代的一颗孤星，因为在随后的半个世纪中，他的论文只是在几个数学家和物理学家手中流传（奠定了现代金融学发展的基调）。 马科维茨(HMarkowitz)1952年发表的那篇仅有14页的论文既是现代资产组合理论的发端，同时也标志着现代金融理论的诞生。稍后，莫迪利亚尼和米勒(Modigliani and Miller，1958)第一次应用无套利原理证明了以他们名字命名的M-M定理。直到今天，这也许仍然是公司金融理论中最重要的定理。同时，德布鲁(Debreu，1959)和阿罗(Arrow，1964)将一般均衡模型推广至不确定性经济中，为

10、日后金融理论的发展提供了灵活而统一的分析框架。,二、金融数学的发展历程,2020/7/2,19,这些基础性的工作在后来的10年内得到了两个重要的发展：其一是，在马科维茨组合理论的基础上，夏普(Sharpe，1964)、林特纳(Lintner，1965)和莫辛(Mossin，1966)揭示，在市场出清状态，所有投资者都将选择无风险资产与市场组合证券的线性组合；另一重要发展是对阿罗-德布鲁理论的推广。赫什雷弗(Hirshleifer，1965，1966)显示了阿罗-德布鲁理论在一些基本的金融理论问题中的应用，并在一般均衡体系中证明了M-M定理，第一次将阿罗-德布鲁框架与套利理论联系起来。,二、金融

11、数学的发展历程,2020/7/2,20,第二个时期为1969-1979 年： 这一时期是金融数学发展的黄金时代，主要代表人物有莫顿（R . Merton ）、布莱克（F . Black ）、斯科尔斯( M . Scholes ）、考克斯（J . Cox ）、罗斯（.Ross）、鲁宾斯坦（M . Rubinstein ）、莱克(S.Lekoy）、卢卡斯（D . Lucas ）、布雷登（D . Breeden ）和哈里森（J . M . Harrison ) 等。,二、金融数学的发展历程,2020/7/2,21,首先，CAPM理论得到一系列的发展。在夏普-林特纳-莫辛单期CAPM基础上，布莱克(B

12、lack，1972)对借贷引入限制，推导了无风险资产不存在情况下的“CAPM”。萨缪尔森(1969)、鲁宾斯坦(Rubinstein，1974，1976)、克劳斯和利曾伯格(Kraus and Litzenberger，1978)以及布伦南(Brennan，1970)等将马科维茨的静态分析扩充至离散时间的多期分析，得到了跨期CAPM。莫顿(Merton，1969，1971，1973a)则提供了连续时间的CAPM版本(称为ICAPM)。罗斯(Ross，1976a)提出与CAPM竞争的套利定价理论(APT)。值得强调的是，莫顿的这些文献不仅是建立了连续时间内最优资产组合模型和资产定价公式，而且首次

13、将伊藤积分引入经济分析。,二、金融数学的发展历程,2020/7/2,22,二、金融数学的发展历程,1970年代最具革命性意义的事件无疑当数布莱克和斯科尔斯(Black and Scholes，1973)推导出简单的期权定价公式，以及莫顿(Merton，1973b)对该定价公式的发展和深化。 在这个阶段的后期，哈里森和克雷普斯(Harrison and Kreps，1979)发展了证券定价鞅理论(theory of martingale pricing)，这个理论在目前也仍然是金融研究的前沿课题。 同一时期另一引人注目的发展是非对称信息分析方法开始使用。,2020/7/2,23,金融数学发展的第

14、三个时期： 1980 年至今是金融数学发展的第三个时期，是成果频出、不断成熟完善的时期。该期间的代表人物有达菲（D . Duffie ）、卡瑞撤斯（I . Karatzas ）、考克斯（J . Cox ）、黄（C . F . Huang ）等。,二、金融数学的发展历程,2020/7/2,24,1980年代以后，资产定价理论和不完全信息金融市场分析继续发展。在资产定价理论方面，各种概念被统一到阿罗-德布鲁一般均衡框架下，显得更为灵活和适用。鞅定价原理逐渐在资产定价模型中占据了中心位置，达菲和黄(Duffle and Huang，1985)等在此基础上大大地推广了布莱克-斯科尔斯模型。 在非对称信

15、息分析方面，非合作博弈论及新产业组织理论的研究方法得到广泛应用。戴蒙德(Diamond，1984)在利兰-派尔模型基础上，进一步揭示了金融中介因风险分散产生的规模经济利益，并提出了金融中介代理最终贷款者监督借款企业的效率优势。戴蒙德和迪布维克(Diamond and Dybvig，1983)建立了提供流动性调节服务的银行模型；戴蒙德(1989)、霍姆斯特龙和梯罗尔(Holmstrom and Tirole，1993)又以道德危险(moral hazard)现象为基础，解释了直接金融和中介金融共存的理由。至此，金融中介最基本的经济功能得到了较为完整的模型刻画。,二、金融数学的发展历程,2020/

16、7/2,25,三、金融数学的结构框架,2020/7/2,26,第一部分是金融数学方法篇，阐述了金融数学的基本数学方法和计量经济学在金融数学中的应用，重点讲述了微积分、线性代数、概率论、计量经济学在金融数学中的应用。 第二部分是金融数学方法核心篇，阐述了资本资产定价模型和期权定价模型。 第三部分是金融数学应用篇，阐述了金融数学在货币市场、外汇市场、证券市场的应用。,三、金融数学的结构框架,2020/7/2,27,第一章 金融数学基础,第一节 微积分在数理金融中的应用 第二节 线性代数在数理金融中的应用 第三节 随机过程在数理金融中的应用,2020/7/2,28,第一节 微积分在数理金融中的应用,

17、一、指数和对数函数的应用 （一）连续复利和实际利率,若在任何时刻 ，某人在银行存款总额为A(t)，计算周期为h0，则在t=h，初始的存款总额A(0)增至A(h),2020/7/2,29,第一节 微积分在数理金融中的应用,利息,仅仅考虑利息的大小是没有意义的，必须考虑本金和存期,称单位时间内的相对回报率r(h)为0,h上的利率,2020/7/2,30,第一节 微积分在数理金融中的应用,2020/7/2,31,第一节 微积分在数理金融中的应用,一般而言，利率r不是常数，若记rj为时间区间jh,(j+1)h上的定期存款利率，则在时刻t=kh，存款总额为：,若h=1， rj=r，则,2020/7/2,

18、32,第一节 微积分在数理金融中的应用,通常利率是指年利率，活期利率类似于期限为1天的定期，但它始终是单利。,在美国的利率史上，曾经有过长期利率低于短期利率的例子，这种情况会在什么情况下出现？ 在经济由高速增长阶段进入衰退阶段时会出现。,2020/7/2,33,第一节 微积分在数理金融中的应用,对给定t0(由于r为年利率，t的单位为年)，记k=t/h，则在时刻t的存款总额A(t;h)(其中对任意h大于0，A(0;h)=A(0)，,2020/7/2,34,第一节 微积分在数理金融中的应用,A(t)称为是由（常值）利率为r连续复利得到的存款总额。,注意： 是 的一个近似，而不是相反。,2020/7

19、/2,35,第一节 微积分在数理金融中的应用,考虑任何一个时间区间t,t+h(h0)，则瞬时利率被定义为瞬时单位时间中的相对回报率，即,解此微分方程得,2020/7/2,36,第一节 微积分在数理金融中的应用,只要利率是非负的，总有,即，银行存款总额是非减的。 基于此，银行存款是无风险的。,2020/7/2,37,第一节 微积分在数理金融中的应用,附：,2020/7/2,38,例：求100元本金，以10%复利两年的终值 每年计算复利一次 半年计算复利一次 连续计算复利 能得出什么结论？,第一节 微积分在数理金融中的应用,2020/7/2,39,第一节 微积分在数理金融中的应用,解：,2020/

20、7/2,40,（二）实际利率与名义利率,第一节 微积分在数理金融中的应用,2020/7/2,41,第一节 微积分在数理金融中的应用,例：名义利率为10% ，期限为2 年，求： （1）半年计算复利一次的实际年利率； （2）连续计算复利的实际年利率。 能得出什么结论？,2020/7/2,42,第一节 微积分在数理金融中的应用,解：,2020/7/2,43,（三）银行按揭贷款,第一节 微积分在数理金融中的应用,贷款P元，年利率为r，分n期等额偿还，每期应偿还多少？,已知现值求年金（资金还原公式）,2020/7/2,44,例：某人贷款余额为20万元，年利率为6 %，计划办理5 年银行按揭，每个月月未应

21、向银行还款多少钱？,第一节 微积分在数理金融中的应用,2020/7/2,45,第一节 微积分在数理金融中的应用,解：,2020/7/2,46,第一节 微积分在数理金融中的应用,例：汽车每辆售价100000元，成交时付款34000元，其余66000元分11个月付款，即每月6000 元，试以月息4.2 ，求其现值。,（四）分期付款,已知年金求现值,2020/7/2,47,第一节 微积分在数理金融中的应用,解：,2020/7/2,48,（五）银行贴现,第一节 微积分在数理金融中的应用,应得兑现额,实得兑现额,2020/7/2,49,例 面值5000元的汇票，20天后到期，银行月息为6，求贴息额与兑现

22、额。,第一节 微积分在数理金融中的应用,2020/7/2,50,第一节 微积分在数理金融中的应用,课后思考,应得兑现额（4980.08） 应贴利息(19.92) 实际贴息(20) 实际兑现额(4980),2020/7/2,51,（六）利用指数、对数函数计算时间最优问题 例 为投资买入的土地以下面的公式增值： 在连续计算复利下贴现率为0.09，为使土地的现值最大，应该持有该土地多久？,第一节 微积分在数理金融中的应用,2020/7/2,52,第一节 微积分在数理金融中的应用,解：,2020/7/2,53,第一节 微积分在数理金融中的应用,二、微分方法的运用 （一）边际效用函数的分析 例：已知总成

23、本函数 利用微积分知识做出总成本、平均成本和边际成本三者之间关系的图形。 课后习题！,2020/7/2,54,某债券面额为1000元，5年期，票面利率为10%，现以950元的发行价向全社会公开发行。（1）若投资者认购后持至第3年末以995元的市价出售，则持有期收益率是多少？（2）若投资者认购后持至期满，则其到期收益率是多少？,第一节 微积分在数理金融中的应用,2020/7/2,55,第一节 微积分在数理金融中的应用,（12.11%，11.58%）,2020/7/2,56,（二）经济函数最优化 例：已知一个企业的总收益水平是 总成本函数是 设 ，求其最大利润,第一节 微积分在数理金融中的应用,2

24、020/7/2,57,第一节 微积分在数理金融中的应用,解：,建立利润函数 一阶条件 二阶条件,2020/7/2,58,某个企业的生产函数为 ，其中K和L分别为资本和劳动的投入量，资本和劳动的价格分别为r和w。请写出该企业的成本函数C（q,r,w）的具体形式。,第一节 微积分在数理金融中的应用,2020/7/2,59,第一节 微积分在数理金融中的应用,由该企业的生产函数可以知道，该企业必定会在K=L时组织生产，否则有一种要素存在浪费现象。（3分） 因此，生产函数可以表示为 （2分） 可以得到成本最小化时的 （2分） 所以企业的成本 （3分）,2020/7/2,60,第一节 微积分在数理金融中的

25、应用,三、积分方法的运用 （一）净投资时间积分的测度 例：给定净投资 ，且当 时初始资本存量是150，求资本函数 ，即时间路径,2020/7/2,61,第一节 微积分在数理金融中的应用,解：,为什么？,2020/7/2,62,第一节 微积分在数理金融中的应用,例：边际储蓄倾向， 当收入是25时，储蓄为5。 求储蓄函数。,2020/7/2,63,第一节 微积分在数理金融中的应用,解：,2020/7/2,64,第一节 微积分在数理金融中的应用,（二）消费者剩余和生产者剩余的测度 例：若市场所销售商品的数量和市场价格是由需求函数决定的，设一个利益最大化的厂商所面临的需求函数是 ，其边际成本函数为 求

26、消费者剩余。,2020/7/2,65,第一节 微积分在数理金融中的应用,解：,收益函数TR 边际成本等于边际收益 市场均衡价格与产量 消费者剩余,2020/7/2,66,第一节 微积分在数理金融中的应用,四、微分方程和差分方程的运用 （一）运用微分方程决定动态平衡点 例：给定需求函数 和供给函数 ，均衡价格是： 。 若市场上价格的变化率 是正的，且为关于超额需求 的线性函数 分析在什么条件下，当 时， 将趋近于 ，这个条件就是市场上的动态价格稳定的条件。,2020/7/2,67,第一节 微积分在数理金融中的应用,解：,2020/7/2,68,第一节 微积分在数理金融中的应用,2020/7/2,

27、69,第一节 微积分在数理金融中的应用,（二）运用可分离变量微分方程求投资函数 例：若边际储蓄倾向s和边际资本产出比率R都是常数，计算可达到预期增长所需的投资函数。,2020/7/2,70,第一节 微积分在数理金融中的应用,解：,2020/7/2,71,第一节 微积分在数理金融中的应用,（三）运用差分方程制定滞后收入决定模型,2020/7/2,72,第一节 微积分在数理金融中的应用,例：给出 求解 。,2020/7/2,73,第一节 微积分在数理金融中的应用,解：,计算Y1,Y0并检验。,2020/7/2,74,第二节 线性代数在数理金融中的应用,（一）矩阵的运用 对于一个简单的二部门经济，当

28、Y=C+I，商品市场是均衡的，当货币供给（Ms）等于货币需求（Md）时，货币市场是均衡的，货币需求由货币的预备交易需求（Mt）和特殊需求（Mz）组成。 例：一个二部门经济 求均衡收入 和均衡利率 。,2020/7/2,75,第二节 线性代数在数理金融中的应用,解：,2020/7/2,76,第二节 线性代数在数理金融中的应用,（二）证券组合收益率和风险的测度 例：某投资组合由一个风险资产组合和一个无风险资产构成，风险资产组合中包括两个证券A、B，它们的预期收益率分别为10%和8%，证券A的方差为 ，证券B的方差为 ，协方差为 ，两种证券权重均为0.5，无风险证券的预期收益率为5%，在证券组合中的

29、权重为0.25，试计算该投资组合的总预期收益率和总风险。,2020/7/2,77,第二节 线性代数在数理金融中的应用,解：,2020/7/2,78,第二节 线性代数在数理金融中的应用,二、特殊行列式和矩阵的应用 （一）雅可比(Jacobi) 行列式,对m个n（m=n）元函数,2020/7/2,79,第二节 线性代数在数理金融中的应用,例：已知 利用雅可比行列式判断其函数相关性。,2020/7/2,80,第二节 线性代数在数理金融中的应用,设,种产品的市场需求映射为,其中,为价格向量,为需求向量,就是第,种产品的需求函数,2020/7/2,81,第二节 线性代数在数理金融中的应用,2020/7/

30、2,82,第二节 线性代数在数理金融中的应用,2020/7/2,83,垄断厂商的利润函数为,厂商要决定一个产出向量,，使利润最大化，根据一阶条件,即每种产品的边际成本都等于这种产品的各种边际收益之和,第二节 线性代数在数理金融中的应用,2020/7/2,84,第二节 线性代数在数理金融中的应用,（二）海塞行列式,2020/7/2,85,第二节 线性代数在数理金融中的应用,如果|H|的所有主子式为正，则|H|为正定的， 满足极小值的二阶条件；,如果|H|的所有主子式的符号在负与正之间交替出现， 则|H|为负定的，满足极大值的二阶条件；,2020/7/2,86,第二节 线性代数在数理金融中的应用,

31、例：已知需求函数和总成本函数为： 试求：（1） ； （2）检验利润函数的一阶条件； （3）利用海塞行列式检验二阶条件，使利润最大化。,2020/7/2,87,第二节 线性代数在数理金融中的应用,解：,2020/7/2,88,第二节 线性代数在数理金融中的应用,2020/7/2,89,第三节 随机过程在数理金融中的应用,一、随机过程的含义,1. 如果对变化过程的全过程做一次观察,得到一个位置与时间关系的函数x1(t ),若再次观察，又得到函数x2(t ), ,因而得到一族函数. 2. 如果在时刻t观察质点的位置x(t ),则x(t )是一个随机变量,这样对于每个时刻t便得到一个随机变量X(t )

32、,于是就得到一族随机变量X(t),t0（最初始时刻为t=0）,它描述了此随机的运动过程.,2020/7/2,90,定义1 设E是一随机实验,样本空间为=，参数 T(-,+),如果对每个 ,总有一个确定的时间函数X(,t)与之对应,这样对于所有的 ,就得到一族时间t的函数, 称此族时间t的函数为随机过程,而族中每一个函数称为这个随机过程的样本函数。,第三节 随机过程在数理金融中的应用,2020/7/2,91,定义2：设E是一随机实验，样本空间为=，参数T(-,+),如果对任意t T ，有一定义在上的随机变量X(,t)与之对应,则称X(,t),t T为随机过程，简记为X(t),t T 或X(t),

33、也可记为X(t).,第三节 随机过程在数理金融中的应用,2020/7/2,92,注释： (1) 随机过程X(t),t T是定义在T上的二元函数，可以从两个角度去理解, 因而有如上的两个定义。 在理论分析往往用随机变量族的描述方式，在实际测量和处理中往往采用样本函数族的描述方式。 (2)通常将随机过程X(t),t T 解释为一个物理系统， X(t) 表示系统在时刻t所处的状态, X(t)的所有可能状态所构成的集合称为状态空间，记为I，对于给定的t0 T，及x I, X(t0)=x 说成是在时刻 t0，系统处于状态 x。 (3)从定义2的角度上看，随机过程是有限维随机变量的推广。,第三节 随机过程

34、在数理金融中的应用,2020/7/2,93,随机变量： 设E是随机试验，它的样本空间是 ,如果对其中的每一个 i，总有一个实数X( i)与之对应，这样就得到一个定义在S上的单值实值函数X=X()，称之为随机变量。 随机变量X是定义在样本空间上的取值为实数的函数，即样本空间中每一个点，也就是每个基本事件都有实数轴上的点与之对应。,第三节 随机过程在数理金融中的应用,2020/7/2,94,利用抛掷一枚硬币的试验定义,此时，样本空间,相应的样本函数,第三节 随机过程在数理金融中的应用,2020/7/2,95,第三节 随机过程在数理金融中的应用,2020/7/2,96,第三节 随机过程在数理金融中的

35、应用,2020/7/2,97,二、随机过程的分类,第三节 随机过程在数理金融中的应用,1按状态空间I和时间T是可列集还是连续集分类： (1). 连续型随机过程:T是连续集,且tT,X(t)是连续型随机变量,则称过程X(t),tT为连续型随机过程. (2).离散型随机过程:T是连续集，且tT,X(t)是离散型随机变量，则称过程X(t),tT为离散型随机过程。,2020/7/2,98,第三节 随机过程在数理金融中的应用,(3).连续型随机序列: T是可列集,且tT, X(t)是连续型随机变量，则称过程X(t),tT为连续型随机序列. (4).离散型随机序列:T是可列集, 且tT, X(t)为离散型

36、随机变量, 则称过程X(t),tT为离散型随机序列。 通常T取为T =0,1,2或T =0, 1，2,此时随机序列常记成Xn,n=0,1,或 Xn,n0。,2020/7/2,99,2按分布特性分类： 依照过程在不同时刻状态的统计依赖关系分类。 独立增量过程 马尔可夫过程 平稳过程 等等,第三节 随机过程在数理金融中的应用,2020/7/2,100,1n维分布函数： 设X(t),tT是随机过程，对于任意整数n1及T中任意n个不同的参数t1,t2，tn，称随机向量（X(t1),X(t2),X(tn)）的分布函数,为随机过程X(t),tT的n维分布函数.,三、随机过程的概率分布,第三节 随机过程在数

37、理金融中的应用,2020/7/2,101,变化n及t1,t2，tn所得到的有限维分布函数的全体,称为X(t),tT的有限维分布函数族。,当n=1时,得到一维分布函数F(x;t)=PX(t)x, 一维分布函数的全体 F(x;t), tT称为一维分布函数族.,第三节 随机过程在数理金融中的应用,2020/7/2,102,2随机过程的数字特征,为X(t),tT的均方值函数.,为X(t),tT的方差函数.,为X(t),tT的协方差函数.,为X(t),tT的均值函数.,第三节 随机过程在数理金融中的应用, Rx(s,t)=EX(s)X(t)为X(t),tT的自相关函数， 简称相关函数,2020/7/2,

38、103,均值函数表示X(t),tT在各时刻摆动的中心；方差函数表示X(t),tT在各时刻关于均值函数的平均偏离程度； Rx(s,t)，Cx(s,t) 表示X(t),tT在两个不同时刻状态的统计依赖关系。,第三节 随机过程在数理金融中的应用,释义：,2020/7/2,104,第三节 随机过程在数理金融中的应用,2020/7/2,105,第三节 随机过程在数理金融中的应用,2020/7/2,106,3.诸数字特征的关系,第三节 随机过程在数理金融中的应用,其中，最重要的数字特征是均值函数与自相关函数。,2020/7/2,107,例: 设随机过程 X(t)=Ycost+Zsint,t0,其中Y,Z是

39、相互独立的随机变量，且E(Y)=E(Z)=0, D(Y)=D(Z)= 2，求X(t),t0均值函数 x(t)和自相关函数Rx(s,t)。,第三节 随机过程在数理金融中的应用,2020/7/2,108,第三节 随机过程在数理金融中的应用,解: x(t)=EX(t)=EYcost+Zsint =costE(Y)+sint E(Z)=0, 因为Y与Z相互独立,于是,2020/7/2,109,第三节 随机过程在数理金融中的应用,例2: 考虑随机过程 X(t)=acos(t+),t(-,+) 其中a和是常数，是在（0，2）上服从均匀分布的 随机变量，通常称此随机过程为随机相位正弦波，求随机 相位正弦波的

40、均值函数、方差函数和自相关函数.,2020/7/2,110,解:的概率密度为,于是,第三节 随机过程在数理金融中的应用,2020/7/2,111,例3: 设随机过程X(t)=Y+Zt, tT=(-,+),其中Y，Z是相互独立的服从N(0,1)的随机变量，求X(t),-t+的一，二维概率密度。 注：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布,第三节 随机过程在数理金融中的应用,2020/7/2,112,解: tT，由正态分布的性质知X(t)服从正态分布: EX(t)=E(Y)+tE(Z)=0 DX(t)=D(Y)+t 2 =1+t 2,第三节 随机过程在数理金融中的应用,所以一维概率

41、密度为,2020/7/2,113,又由正态分布的性质知，对于任意 s,tT，(X(s),X(t)服从二维正态分布而 EX(s)= EX(t)=0 DX(s)=1+s2 DX(t)=1+t2,第三节 随机过程在数理金融中的应用,2020/7/2,114,所以二维概率密度为,其中=X(t1, t2).,第三节 随机过程在数理金融中的应用,2020/7/2,115,四、二维随机过程 1定义： X(t)、Y(t)为定义在同一样本空间和同一参数集T上的随机过程，对于任意tT， (X(t),Y(t)是二维随机变量，则称(X(t),Y(t),tT为二维随机过程。,第三节 随机过程在数理金融中的应用,2020

42、/7/2,116,2有限维分布函数和独立性 (1) (X(t),Y(t),tT为二维随机过程,对于任意的正整数n和m，以及任意的t1,t2,tn；t1, t2,tmT ，任意的x1,x2,xn；y1,y2,ym R,称n+m元函数,F(x1,x2,xn；y1,y2,ym；t1,t2,tn；t1,t2,tm) =PX(t1)x1, X(tn) xn；Y(t1) y1,Y(tm) ym 为(X(t),Y(t),tT的n+m维分布函数，类似的可定义有限维分布函数族。,第三节 随机过程在数理金融中的应用,2020/7/2,117,（2）若对于任意的正整数n和m，以及任意的t1,t2,tn； t1, t

43、2,tmT，任意的x1,x2,xn；y1,y2,ym R,有,F(x1,x2,xn；y1,y2,ym；t1,t2,tn；t1,t2,tm) =FXX(t1)x1, X(tn) xn FYY(t1) y1,Y(tm) ym,第三节 随机过程在数理金融中的应用,称X(t)与Y(t)相互独立，其中FX，FY分别为X(t)，Y(t)的有限维分布函数.,2020/7/2,118,3二维随机过程的数字特征 (1) 互相关函数: 称 RXY(s,t)=EX(s)Y(t) 为(X(t),Y(t),tT的互相关函数. 若对于任意的s,tT, RXY(s,t)=0,称X(t)与Y(t)正交.,第三节 随机过程在数

44、理金融中的应用,2020/7/2,119,(2)互协方差函数：,若对于任意的s,tT,有CXY(s,t)=0, 称X(t),Y(t)不相关. 若X(t),Y(t)相互独立，且二阶矩存在，则X(t),Y(t)不相关.,称,为(X(t),Y(t),tT的互协方差函数.,显然,第三节 随机过程在数理金融中的应用,2020/7/2,120,例: 设有两个随机过程X(t)=g1(t+ )和Y(t)=g2(t + )，其中g1(t )和g2(t )都是周期为L的周期函数, 是在(0,L)上服从均匀分布的随机变量.求互相关函数RXY(s，t)的表达式.,第三节 随机过程在数理金融中的应用,2020/7/2,

45、121,第三节 随机过程在数理金融中的应用,令v=s+x , 利用g1(t )和g2(t )的周期性，有,解:,2020/7/2,122,例: 设X(t)为信号过程,Y(t)为噪声过程，令W(t)=X(t)+Y(t)，则 (1) W(t)的均值函数为 W(t)= X(t)+ Y(t). (2) 其自相关函数为 RW(s,t)=EX(s)+Y(s)X(t)+Y(t) =RX(s,t)+RXY(s,t)+RYX(s,t)+RY(s,t) 两个随机过程之和的自相关函数为各个随机过程的相关函数与它们的互相关函数之和。若两个随机过程的均值函数均恒为零，且互不相关时，有 RW(s,t)= RX(s,t)+

46、RY(s,t),第三节 随机过程在数理金融中的应用,2020/7/2,123,五、各态历经性,如果能对过程X(t)进行多次重复观察从而得到多条样本曲线，用统计方法可以估计其均值及自相关函数,在实际中,常用如下的方法确定x及Rx()：,第三节 随机过程在数理金融中的应用,2020/7/2,124,由于所采用的极限(收敛)的标准不同得到的遍历性定理也不同，关于平稳过程的遍历性主要有两类： (1)对强平稳过程在几乎处处收敛的意义下的遍历性定理； (2)对弱平稳过程在均方收敛的意义下的遍历性定理；,其中T充分大，X(t)是X(t)的一个样本函数。 即：集平均（均值和自相关函数等）实际上可以用一个样本函

47、数在整个时间轴上的平均值代替。这样节约了大量的工作量。,第三节 随机过程在数理金融中的应用,2020/7/2,125,平稳过程遍历性的定义： 首先引入平稳过程X(t)，-t+沿整个时间轴上的两种时间平均：设X(t)为均方连续的平稳过程，且对固定的， X(t)X(t+) 也是均方连续的平稳过程,时间相关函数：,时间均值：,第三节 随机过程在数理金融中的应用,2020/7/2,126,1定义 (1). 设X(t)为平稳过程，若=EX(t)=x以概率1成立，称X(t)的均值具有均方遍历性。 (2)若对，=EX(t)X(t+)=Rx()以概率1成立，称X(t)的自相关函数具有均方遍历性。 (3)若(1

48、)、(2)均成立，则称该过程具有均方遍历性，或称为遍历过程。,第三节 随机过程在数理金融中的应用,2020/7/2,127,均方收敛的定义：设有二阶矩随机序列Xn,n=1,2,和随机变量X,E(X2)+,若有,则称Xn均方收敛于X,记作,均方极限的性质,第三节 随机过程在数理金融中的应用,2020/7/2,128,均方连续 设X(t),tT是随机过程,若对某t0T,有,称X(t),tT在t0均方连续，若对任意tT，X(t),tT均方连续，称X(t),tT在T上均方连续。记为,第三节 随机过程在数理金融中的应用,2020/7/2,129,解：此过程为平稳过程,即：用时间平均和集平均算得的均值和自

49、相关函数相同。 但并不是任意一个平稳过程都是具有遍历性的。,第三节 随机过程在数理金融中的应用,例：计算随机相位正弦波 X(t)=acos(t+)=acostcos-sintsin的时间平均和.,2020/7/2,130,事实上， = = =Y. 即：时间均值随Y取不同的可能值而不同。,因Y的方差异于0，这样就不可能以概率1等于确定函数EX(t)=EY。,第三节 随机过程在数理金融中的应用,例如：平稳过程X(t)=Y，Y是方差异于0的随机变量，就不是遍历的。,2020/7/2,131,平稳过程遍历性的充要条件 (均值遍历性定理) ：均方连续的平稳过程X(t)关于均值具有遍历性,第三节 随机过程

50、在数理金融中的应用,2020/7/2,132,证明：由遍历性定义，只须证：,与上式等价（方差为零）。,第三节 随机过程在数理金融中的应用,2020/7/2,133,第三节 随机过程在数理金融中的应用,其中，令,，则,2020/7/2,134,第三节 随机过程在数理金融中的应用,2020/7/2,135,推论1. 均方连续的平稳过程关于均值具有遍历性,推论2. 均方连续的平稳过程X(t)， 若满足 ，则它关于平均值具有均 方遍历性X=0。,证：因为,第三节 随机过程在数理金融中的应用,2020/7/2,136,2(自相关函数遍历性定理) 均方连续的平稳过程X(t)，且对给定,X(t)X(t+)也

51、是均方连续的平稳过程，则X(t)关于自相关函数具有遍历性,令=0，即得均方值遍历性定理。 在实际问题中，通常只考虑定义在0t+上的平稳过程，此时上两定理所有时间平均应以0t+上的平均代替，相应的各态历经性如下：,第三节 随机过程在数理金融中的应用,2020/7/2,137,1.X(t)关于均值具有遍历性,2.X(t)关于自相关函数具有遍历性,第三节 随机过程在数理金融中的应用,2020/7/2,138,说明：各态历经性定理的重要价值在于它从理论上给出了如下保证： 一个平稳过程X(t)，只要满足上述两条件，便可以根据“以概率1成立”的含义，从一次试验所得到的样本函数x(t)来确定该过程的均值和自

52、相关函数。即：,第三节 随机过程在数理金融中的应用,2020/7/2,139,六、几类随机过程,第三节 随机过程在数理金融中的应用,（一）平稳过程 严平稳随机过程 弱平稳随机过程,2020/7/2,140,严平稳随机过程 1定义：设X(t),tT是随机过程,如果对于任意的常数h和任意正整数n,及任意的n维随机向量(X(t1),X(t2),X(tn)和(X(t1+h),X(t2+h),X(tn+h)具有相同的分布,则称随机过程X(t),tT具有平稳性,并同时称此过程为严平稳过程。 平稳过程的参数集T,一般为(- ,+),0,+, 0,1,2,0,1,2,以下如无特殊说明，均认为参数集 T=(-,

53、+).当定义在离散参数集上时,也称过程为严平稳时间序列。,第三节 随机过程在数理金融中的应用,2020/7/2,141,例： 设Xn,n1是独立同分布的随机变量序列,且 XnU(0,1),n=1,2, 讨论Xn,n1是否为严平稳时间序列 并求E(Xn)与E(Xn Xm),n、m=1,2,.,第三节 随机过程在数理金融中的应用,2020/7/2,142,解：设U(0,1)的分布函数为F(x),则对任意的正整数k,任意0n1 n2 nk , 及,的分布函数均为,可见，满足定义条件，故Xn,n0是严平稳时间序列。,因为XnU(0,1)，且相互独立，所以 E(Xn)=1/2，,第三节 随机过程在数理金

54、融中的应用,2020/7/2,143,2严平稳过程的数字特征 定理 如果X(t),tT是严平稳过程，且对任意的tT， EX2(t)+（二阶矩过程）,则有 (1)EX(t)=常数，tT； (2)EX(s)X(t)只依赖于t-s,而与s,tT的具体取值无关。,第三节 随机过程在数理金融中的应用,2020/7/2,144,证：(1)由Cauchy-Schwarze不等式 EX(t)2EX2(t)+, 所以EX(t)存在。 在严平稳过程的定义中，令h=-s,由定义X(s)与X(0)同分布，所以EX(t)= EX(0)为常数。一般记为X.,第三节 随机过程在数理金融中的应用,2020/7/2,145,(

55、2) 由Cauchy-Schwarze不等式 EX(s)X(t)2 EX2(s)EX2(t)+, 所以EX(s)X(t)存在。 在严平稳过程的定义中，令h=-s, 由定义(X(s),X(t)与(X(0),X(t-s)同分布，即有EX(s)X(t)= EX(0)X(t-s) ,即Rx(t,t+)=EX(0)X()=Rx () 所以，Rx (s,t)只依赖于t-s,而与s,tT的具体取值无关。 进而，Cx()=EX(t)-xX(t+)-x=Rx ()-x2只与有关； x2=Cx (0)=Rx (0)-x2 为常数.,第三节 随机过程在数理金融中的应用,2020/7/2,146,(弱)平稳过程 1 定义 设X(t),tT是二阶矩过程(EX2(t)+),如果 (1) EX(t)=x(常数)，tT； (2) 对任意的t,t+T, Rx()=EX(t)X(t+)只依赖于。 则称X(t),tT为宽平稳过程,简称为平稳过程.,第三节 随机过程在数理金融中的应用,2020/7/2,147,特别地，当T为离散参数集时，若随机序列Xn(t)满足E(Xn2)+,以及 (1) EXn= X(常数)，nT；