8.3三重积分的计算.ppt

1、第三节,一、三重积分的概念,二、三重积分的计算,三重积分的计算,一、三重积分的概念,类似二重积分解决问题的思想, 采用,引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的,物质,求分布在 内的物质的,可得,“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”,解决方法:,质量 M .,密度函数为,定义. 设,存在,称为体积元素,若对 作任意分割:,任意取点,则称此极限为函数,在 上的三重积分.,在直角坐标系下常写作,三重积分的性质与二重积分相似.,性质:,例如,下列“乘,中值定理.,在有界闭域 上连续,则存在,使得,V 为 的,体积,积和式” 极限,偶倍奇零性质.,解,积分域关于三个坐标面都对称，,被积函数

2、是 的奇函数,利用直角坐标计算三重积分,a,b,c,d,z=g,z=e,N,M,P, =a ,b ; c ,d ; e ,g,I =,积分区域是长方体,.,.,D,同理，也有其它 积分顺序,二、三重积分的计算,z2(x,y),为图示曲顶柱体,I =,P,N,M,.,.,D,z1(x,y),利用直角坐标计算三重积分,积分区域是曲顶柱体,投影法 (“先一后二” ),：平面 x= 0, y = 0 , z = 0，x+2y+ z =1 所围成的区域,先画图,1,1,Dxy,Dxy:,x = 0, y = 0, x+2y =1 围成,z = 0,1,.,.,.,例1.计算三重积分,x + 2y + z

3、 =1,Dxy,I =,例2 ：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域,6,6,6,x+y+z=6,3x+y=6,2,.,6,6,6,x+y+z=6,3x+y=6,2,.,例2 ：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域,3x+y=6,3x+2y=12,x+y+z=6,.,6,6,6,4,2,例2 ：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域,3x+y=6,3x+2y=12,x+y+z=6,.,6,6,6,4,2,例2 ：平面y

4、=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域,4,2,x+y+z=6,.,6,6,6,例2 ：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域,4,2,.,6,6,6,.,D,6,2,4,D,.,例2 ：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域,y2=x,.,例3,y2=x,.,例3,。,。,y2=x,.,D,例3,1,x+ y=1,1,z=xy,.,例4.,1,x+ y=1,1,z=xy,.,例4.,1,1,x+ y=1,。,z=xy,.,例4

5、.,1,4,x+ y = 4,.,例5,1,4,x+ y = 4,1,.,取第一卦限部分,例5,4,x+ y = 4,.,D,.,.,o,1,例5,y,.,例6,2,4,.,y,例6,4,.,.,Dxy,.,y,例6,c1,c2,z,Dz,利用直角坐标计算三重积分,截面法,截面法 (“先二后一” ),c1,c2,.,利用直角坐标计算三重积分,截面法,截面法 (“先二后一” ),c1,c2,=,.,利用直角坐标计算三重积分,截面法,截面法 (“先二后一” ),b,c,例7 计算,a,D0,Dz,.,.,b,c,.,=,.,D0,a,.,z,例7 计算,M(r, z),z,N,x,y,z,(x,

6、y, z),(, , z),柱面坐标,z = z,.,.,利用柱面坐标计算三重积分,二、三重积分的计算,z,动点M(, , z),柱面S, =常数：,平面,z =常数：,M,r,S,z,柱面坐标的坐标面,半平面P, =常数:,平面,z,M,r,S,P,.,动点M(, , z),柱面S, =常数：,平面,z =常数：,柱面坐标的坐标面,dr,r,rd,d,z,元素区域由六个坐标面围成：,半平面及+d ; 半径为及 +d 的圆柱面； 平面 z及 z+dz；,柱面坐标下的体积元素,d ,d,d,z,底面积 ： d d,元素区域由六个坐标面围成：,半平面及+d ; 半径为及 +d 的圆柱面； 平面 z

7、及 z+dz；,dz,.,柱面坐标下的体积元素,d , d,d,z,底面积 ： d d,元素区域由六个坐标面围成：,半平面及+d ; 半径为及 +d 的圆柱面； 平面 z及 z+dz；,dz,dV =,.,.,dV,柱面坐标下的体积元素,1,Dxy,.,Dxy:,z = 1,锥面化为:, = z,1,.,用哪种坐标？,柱面坐标,例8.,.,.,M(r,),r,N,y,x,z,.,.,.,球面坐标,利用球面坐标计算三重积分,二、三重积分的计算,S,r,M,r =常数:, =常数:,球面S,动点M(r,),球面坐标的坐标面,C,r =常数:, =常数:,S,球面S,半平面P,动点M(r,),M,P, =常数:,锥面C,.,球面坐标的坐标面,r,dr,d,rsin,圆锥面,rd,球面r,圆锥面+d ,球面r+d r,元素区域由六个坐标面围成：,d,rsin d,球面坐标下的体积元素,半平面及 +d ； 半径为r及r+dr的球面； 圆锥面及 +d ,a,化为球系下的方程,.,M,.,r,例9.,a,b,例10.,b,a,问题：,2