状态转移矩阵计算

1、第3章线性系统的时域分析，目录(1/1)，线性时变连续系统的状态方程的3.1解概述3.3线性时变连续系统的状态方程的解3.4线性时不变连续系统的离散化3.5线性时不变离散系统的状态方程的解3.6 Matlab问题本章摘要，状态转移矩阵的计算(1/1)，3.2线性时不变连续系统中状态转移矩阵的计算，问题归结为矩阵指数函数的计算。在前一节中，介绍了基于拉普拉斯逆变换技术的矩阵指数函数eAt的计算方法，下面介绍计算矩阵指数函数的其他三种常用方法。级数求和法Jordan规格化了有限多项式矩阵函数法，其中eAt为A，主要推荐级数求和法(1/3)，3.2.1级数求和法从上一节矩阵指数函数的定义可知，矩阵指

2、数函数eAt的计算可直接由上述定义公式计算。由于上述定义是一个无穷级数，用这种方法计算eAt时，必须考虑级数的收敛条件和计算的收敛速度。类似于标量指数函数eat，对于所有有限常数矩阵A和有限时间T，矩阵指数函数eAt的无穷级数表示收敛。级数求和法(2/3)，显然，用这种方法计算的eAt不能写成一种封闭简洁的解析形式，而只能得到数值计算的近似结果。计算的准确性取决于矩阵级数的收敛性和计算中采用的项数。如果级数收敛速度慢，需要计算的级数项就很多，所以手工计算非常麻烦，一般只适合计算机计算。因此，该方法的缺点是计算量大、精度低，难以得到计算结果的简明解析表达式。级数求和法(3/3)-例3-4，例3-

3、4用直接计算法计算下一个矩阵的矩阵指数函数：根据矩阵指数函数：的展开式计算如下解。Jordan标准形法(1/8)，3.2.2 Jordan标准形法给出了三种特殊类型的对角矩阵，块对角矩阵和上半部分的Jordan块。由于任何矩阵都可以通过线性变换转化为对角矩阵或Jordan矩阵，因此可以通过线性变换将一般矩阵转化为对角矩阵或Jordan矩阵，然后利用上述特殊矩阵的矩阵指数函数来快速计算矩阵指数函数。这将在下面讨论。乔丹范式方法(2/8)。首先，讨论了矩阵指数函数的一个性质。用变换矩阵P对矩阵A进行线性变换后，矩阵指数函数有如下变换关系。乔丹范式方法(3/8)。根据上述性质，对于矩阵A，可以通过线

4、性变换方法得到对角矩阵或Jordan矩阵，然后利用这种特殊矩阵的矩阵指数。这个结论可以简单地证明如下：约旦范式法(4/8)-例3-5，例3-5试图找到下列系统矩阵的矩阵指数函数，解1。首先求出A的特征值。根据特征方程，特征值为1=-12=-23=-32，得到特征值对应的特征向量。对应于特征值1、2和3的特征向量可以通过P1=101 P2=124 P3=169，约旦标准形方法-例3-5来获得，因此用于将A变换成对角矩阵的变换矩阵P及其逆矩阵P-1是，3。系统矩阵与矩阵指数函数之间的变换关系分别为、根据特征方程，特征值可为1=22=3=-12。因为矩阵A是伴随矩阵，所以用于将矩阵A变换为Jorda

5、n矩阵的变换矩阵P及其逆矩阵P-1分别为3。根据系统矩阵与矩阵指数函数之间的变换关系，有Jordan标准型法(8/8)-例3-6，Sylvester插值法(。3.2.3西尔维斯特插值方法当讨论西尔维斯特插值方法计算矩阵指数函数eAt时，Cayle因此，首先给出了凯利-哈密尔顿定理和最小多项式的概念，然后讨论了塞尔维斯特插值方法。下面是对：凯利-哈密尔顿定理的介绍，该定理使用塞尔维斯特插值方法计算矩阵指数函数。凯利-哈密尔顿定理(1/4)，1。凯利-哈密尔顿定理是矩阵方程分析和求解中一个非常重要的定理，其表达式和证明如下。定理3-1 (Kelley-Hamiltonian定理)如果神经网络矩阵A

6、的特征多项式是f ()=| I-a |=n A1n-1 an-1an，那么矩阵A必须使矩阵多项式函数f (a)=n A1an-1 an-1aani=0由上述特征多项式确定，这也称为矩阵A的零特征多项式.，凯利-哈密尔顿定理(2/4)，它证明了因为I=(I-a)-1(I-a)=adj(I-a)/| I-a |(I-a)，| I-a | I=adj (I-a凯利-哈密尔顿定理(3/4)，因此，(n _ 1n-1.I=(n-1in-2b2.bn-10(-a)是从前面两个公式中挑选出来的.在上面的公式中，如果等号两边的相同幂项的系数相等，那么A1i-B2A=0A2I-B3AB2=0An-1i-BN A

7、BN-1=0AniABN=0。因此，上面的等式从上到下乘以An-1，A。最小多项式根据Kelley-Hamilton定理，任何nn维矩阵A都满足其自身的特征方程，即特征多项式是A的零化多项式。然而，特征多项式不一定是A的最小阶的零化多项式。矩阵A满足的最小阶的第一个零化多项式称为最小多项式，即nn维矩阵A的最小多项式定义为第一个多项式()=M1M-1.M-1AMI=0，最低阶Mn ()=M1M-1.最小多项式(2/3)，最小定理3-2给出了特征多项式和最小多项式之间的关系。定理3-2让第一个多项式d()是所有元素的最高约定，那么最小多项式是，和最小多项式(3/3)。证明了形容词的最高约定是d(

8、)，所以形容词(I-a)=As (I-a)形容词(I-a)=| I-a |我可以得到d () (I-a) b ()=| I-a | I，从上面的公式可以知道特征多项式| I-a |可以被d()整除。因此，将| I-a |除以d()得到的因子表示为()，这样就有| I-a |=d()，和最小的多项式(4/3)。因为第一个多项式d()的最高阶系数是1，所以()的最高阶系数也应该是1。因此，通过综合上述两个公式，我们可以得到(I-a) b ()=() I的调零多项式，所以(a)=0，也就是说，()也是A。设()是A的最小多项式，所以调零多项式()可以写成()=g () () e()，其中g()和e(

9、)是多项式()除以()的商和余数，并且e()的阶数低于()。最小多项式(5/3)，因为(A)=0和(a)=0，所以必须有e(A)=0。考虑到()是矩阵A的最小多项式，没有比()低的零化多项式，所以e()必须为零，也就是说，()=g()()并且因为(a)=0，()可以写成()1=(I-A)h()，h()。因此，()I=g () () I=g () (I-a) h()将上述公式与(I-a) b ()=() I进行比较，并且存在b ()=g () h()，最小多项式(6/3)，并且因为b(。根据| I-a |=d()()，证明了最小多项式()是、和最小多项式(7/3)。根据上述定理3-2，神经网络维

10、数矩阵A的最小多项式可以通过以下步骤得到。1)根据伴随矩阵adj (I-a)，写出adj (I-a)的每个元素为因式分解多项式；2)确定伴随矩阵adj (i-a)的每个元素的最高约定公式d()。选择d()的最高阶系数为1。如果没有常规公式，d()=1；3)最小多项式()可以通过将| i-a |除以d()得到。矩阵指数函数通过西尔维斯特插值(1/4)计算。3.基于最小多项式(或特征多项式)，Sylvester插值可以非常简洁快速地计算矩阵指数函数，其计算思想和过程可以描述如下。如果()=m1m-1 m-1m是矩阵A的最小多项式，则(a)=0具有Am=-1am-1-m-1a-mi，即，Am可以由有

11、限项am-1、A和I的线性组合来表示。矩阵指数函数(2/4)通过Sylvester插值方法来计算，并且上述公式的两侧乘以矩阵A，则Am 1可以由有限项am-1、A和I的线性组合来表示。 矩阵指数函数(3/4)是用西尔维斯特插值方法计算的，通过类比可知，Ai(im)可以用有限项AM-1，A和I的线性组合来表示。因此，我们得到，其中I (t) (I=0，1，M-1)是待确定的时间t的函数。 也就是说，矩阵指数函数eAt也可以由有限项am-1的线性函数组合来表示，a和I.矩阵指数函数(4/4)通过西尔维斯特插值计算。用上述公式计算矩阵指数函数的关键是如何计算待定函数I (t)。在以下两种情况下讨论了

12、如何计算I (t)和eAt有不同的特征值，A有多个特征值。a的特征值彼此不同(1/4)，并且(1)a的特征值不同。如果矩阵a的n个特征值是1，2，n，那么矩阵a的最小多项式等于特征多项式f ()=| I-a |=n a1n-1 an-1an。由于系统的所有特征值I都使特征多项式f (I)=0，所以它类似于以前的证明过程，而且我们也有它，其中待定函数I (t) (I=0，1，n-1)与矩阵指数函数eAt表达式中的I (t)是一致的。和a的特征值互不相同(2/4)。因此，下面待定函数I (t) (I=0，1，n-1)。在求解上述方程以获得函数I (t)之后，矩阵指数函数eAt可以通过公式(3-49

13、)来计算。A的特征值互不相同(3/4)-例3-7、例3-7试图找出下列系统矩阵的矩阵指数函数。因为矩阵A的三个特征值互不相同，分别为-1，-2和-3，所以，A的特征值互不相同(4/4) (2) A有多个特征值。因为矩阵A和它的Jordan矩阵具有相同的最小多项式()，所以从前面的推导过程可以看出Jordan矩阵也满足。如果A和的特征值I的代数重数为mi，则很容易证明I (t)满足、并求解上述方程，从而得到待定函数I (t)。a有多个特征值(2/4)。为了清楚地解释这个问题，让A和有以下六个特征值：1，1，1，2，2，3。那么，在相应的矩阵指数函数计算公式(3-49)中，待定函数的计算公式(I (t) (I=0，1，5)是，A具有多个特征值(3/4)例3-8。值得指出的是，上述西尔维斯特插值方法不仅对矩阵A的最小多项式有效，而且对矩阵A的所有零多项式也有效。因此，当很难求解最小多项式时，上述方法中的最小多项式可以用矩阵A的特征多项式代替，结果是一致的，只需稍多一点计算。例3-8试图找出下列系统矩阵的矩阵指数函数，A有多个特征值(4/4)例3-8，求解矩阵A的特征方程，得到特征值1，1和2。由于特征值2是一个双特征值，矩阵指数函数是根据基于最小多项式和特征多项式的两个多项式用Sylvester插值法计算的。A具有多个特征值(5/4)-示例3-8，(1)基于最