概率论与随机过程第1章4-5节

1、解: 设A：第一次取到次品； B：第二次取到次品。 第一次取走一只次品后， 盒中还剩下9只产品，其中 只有2个次品，故 又 ，且 故,从样本空间分析： 第一次抽取时的样本空间 当A发生后，S缩减为 由此可知：P(B/A)是在缩减样本空间 上计算的。 问题: 应该如何来定义和计算条件概率呢? 可想的方法: 由于事件的频率与概率有一定关系，所以是否 可从此着手研究该问题?,上海大学通信学院,事件A发生的条件下事件B发生的频率： 设事件A、B是古典概型的样本空间S中的两个事件，并设n次试验中，其中A，AB事件分别出现nA ，nAB次，故在“事件A发生的条件下事件B发生的频率”为:,条件概率定义: 设

2、A，B为随机试验E的二个事件，且P(A)0，则称 为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。 问题：条件概率是否满足概率定义的非负性、规范性、 可列可加性三条件? P(B|A)计算的两种方法: 1) 在样本空间S的缩减样本空间SA中直接计算B发生 的概率P(B/A)； 2) 在样本空间S中,分别计算P(AB)和P(A),再计算,上海大学通信学院,例1: 设在一只盒子中混有新旧2种乒乓球，在新乒乓球中有白色40只，红色30只；在旧乒乓球中有白色20只，红色10只。现任取一球，发现是新的，问这只球是白色的概率是多少? 解: 按题意,即求P(W/N)=? 1) 在缩减样本空间N中考虑计算:P(W/N

3、)=40/70=4/7。 2) 用公式求解:P(W/N)= P(WN)/ P(N)=,上海大学通信学院,有关条件概率的三定理,1. 概率的乘法定理: 设A、BS，P（A）0,则 P(AB)P(A)P(B|A)。 可推广到三个事件的情形： A、B、CS，P（AB）0，则有 P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般地，有下列公式：P(A1An1) 0 ，则有 P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1)。,上海大学通信学院,例2:袋中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从袋中连续取球4次,试求第1、

4、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。 解：设Ai为第i次取球时取到白球，则 ， ， ，,例3：一批灯泡共100只，次品率为 10，不放回地抽取三次，每次取一只，求第三次才取得合格品的概率。 解：设 =第i次取得合格品，i=1，2，3。显然， P第三次才取得合格品= 因为 故,例4(补充)：在空战训练中甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为0.2；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率为0.3；若甲机未被击落，则再进攻乙机，击落乙机的概率为0.4。求在这三个回合中：(1)甲机被击落的概率；(2)乙机被击落的概率。 解：设事件A=甲机被击落，事件B=乙机被击落， 事件A i=第i回合射击成功，

5、i=1,2,3。则由乘法定理可有: （1） （2）,2. 全概率公式,样本空间的划分定义: 设S为随机试验E的样本空间， B1，B2，Bn 为E的一组事件，若,则称B1，B2，Bn (n可为)为样本空间S的一个划分。,样本空间的划分可构造的条件: 一次试验E，事件B1，B2，Bn中必有一个且仅有一个事件发生。,全概率公式: 设试验E的样本空间为S，B1，B2， , Bn是S的一个划分，且P(Bi)0， (i1，n)，则对任何事件AS有 。 证： 且 由概率和与乘法定理可得： 。,例5: 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工

6、厂的次品率分别为 2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率。 解：设：B：买到一件次品; A1 :买到一件甲厂的产品; A2 :买到一件乙厂的产品; A3 :买到一件丙厂的产品。,3. 贝叶斯公式,定理：设试验E的样本空间为S，B1, B2 , , Bn是S的一个划分， 且P(Bi) 0, i1, 2, , n。对于任何事件AS，P(A)0，则有 贝叶斯公式： 证：由条件概率可得： 由全概率公式可得： 故有贝叶斯公式：,设试验只可能出现H1, H2, , Hn有穷或可列多个不同的情况，而事件A只能分别伴随这些情况之一发生。 试在A事件发生的条件下，求发生了Hk情况 的条件概率。,贝叶斯公式通常

7、用于下列问题的求解中:,例6: 设甲乙丙三个箱子中：甲箱内有a1个白球b1个黑球；乙箱内有a2个白球b2个黑球；箱内有a3个白球b3个黑球。现任取出一箱，从此箱中任取出一球，结果发现此球为白球。试在事件A此球为白球的条件下，求H1此球属于甲箱的条件概率P(H1/A)。 解: 设H1，H2，H3分别表示“此球属于甲乙丙箱”。 ，且 ， 由全概率公式可得： 由贝叶斯公式可得：,例7:有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个白球这六个球手感上不可区别今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？,解：设A1从甲袋放入乙袋的是白球； A2从甲袋放入

8、乙袋的是红球； B从乙袋中任取一球是红球；,甲,乙,例8(补充)：商店成箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱。问这一箱含有一个次品的概率是多少？ 解:设A:从一箱中任取4只检查，结果都是好的。 B0, B1, B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品。 已知: 由Bayes公式: ，,例9: 数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”

9、。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号。问发射端发的是0的概率是多少? 解：设 A-发射端发射“0”， B-接收端接收到一个“1”的信号。,例10(补充)：玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别是 0.8，0.1，0.1。一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时售货员任取一箱，而顾客开箱后随机地查看四只，若无残次品，则买下这箱玻璃杯，否则退回。试求：(1)顾客买下这箱玻璃杯的概率p； (2)在顾客买下的这箱中，确实没有残次品的概率q。 解：设B=顾客买下所查看的一箱玻璃杯， Ai =箱中恰好有i件残次

10、品，i=0，1，2，由题设知：,(1)由全概率公式 (2)由贝叶斯公式,例11(补充): 某制帽厂生产的帽子合格率为0.8。一盒中装有四顶帽子，一位采购员从每盒中随机地取出两顶帽子进行检验，如两顶帽子都合格，就买下这盒帽子。求：(1)每盒帽子被买下的概率p；(2)在采购员买下的一盒中都是合格品的概率q。 解：设B=一盒帽子被买下， =一盒帽子中有i顶合格， i=0,1,2,3,4，由题设知：,(1)由全概率公式 (2)由贝叶斯公式,5 事件的独立性,若A，B为试验E的二事件，且P(A)0，由条件概率可定义P(B/A)。 一般，A事件的发生对B事件发生的概率是有影响的，此时 P(B/A) P(B

11、)，只有在这种影响不存在时才会有P(B/A) = P(B)，同时也有P(AB)=P(A) P(B/A)= P(A) P(B)，这时称A，B二事件独立。 定义： 设A、B是两事件，若满足 P(AB)P(A)P(B) ，则称事件A与B相互独立，简称A，B独立。 注意：若P(A)0， P(B)0，则A，B相互独立与A，B互不相容不能同时成立。 定理一：设A、B是两事件，且P(A)0。若A，B相互独立，则P(B/A)= P(B)。反之亦然。,定理二：若事件A，B相互独立，则下列各对事件也相互独立 与 ， 与 ， 与 。,多个事件的独立性 若三个事件 A、B、C满足： (1) P(AB)=P(A)P(B

12、), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), 则称事件A、B、C两两相互独立； 若在此基础上还满足： (2) P(ABC)P(A)P(B)P(C), 则称事件A、B、C相互独立。 一般，设A1, A2, , An是n个事件，若对于其中任意2个，3个，n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率的积，则称事件A1，A2，An相互独立。,事件独立性的应用,1、加法公式的简化：若事件A1，A2，An相互独立, 则,2、在可靠性理论上的应用 例1：如图，1、2、3、4、5表示继电器触点，假设每个触点闭合的概率为p，且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是连通的概率。,解：设A表示

13、“L至R连通”，Ai-第i个继电器接通，i=1,2,5。,由全概率公式：,例2(补充)：设第一只盒子中装有3只蓝球，2只绿球，2只白球；第二只盒子中装有2只蓝球，3只绿球，4只白球。独立地分别在两只盒子中各取一球。 (1)求至少有一只蓝球的概率； (2)求有一只蓝球一只白球的概率； (3)已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白球的概率。 解：设 分别表示在第一只盒子中取到蓝球，绿球，白球； 分别表示在第二只盒子中取到蓝球，绿球，白球。,例3(补充)：甲、乙、丙三人进行投篮练习，每人一次，如果他们的命中率分别为0.8、0.7、0.6，求下列事件的概率：(1).只有一人投中；(2).最多有一人投中；(3)最少有一人投中