2017高三球的内接与外接课件

1、球与多面体的内切、外接,定义1：若一个多面体的各面都与一个球 的球面相切， 则称这个多面体是这个球的 外切多面体，这个球是这个多面体的内切球. 定义2：若一个多面体的各顶点都在一个球 的球面上，则称这个多面体是这个球的内接 多面体，这个球是这个多面体的外接球。,解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.,球的内接正（长）方体的对角线等于球直径。,一、直接法,A,B,C,D,D1,C1,A1,对角面,设棱长为1,变式1：一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方

2、体的表面积为24，则该球的体积为 .,例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 .,变式2：一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ，则此球的表面积为 .,变式3：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ） A. B. C. D.,C,球的外切正方体的棱长等于球直径。,正方形的对角线等于球的直径。,球的内接正方体的对角线等于球直径。,A,二、构造法,例1、（2012辽宁16）已知正三棱锥P-ABC，点P,A,B,C都在半径为 的球面上，若PA,PB,PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为 。,1、

3、构造正方体,变式题、已知球O的面上四点A、B、C、D， 则球O的体积为 。,构造边长为根号3 的正方体即可。,例5、 求棱长为 a 的正四面体 P ABC 的外接球的表面积。,变式题：一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积（ ） A. B. C. D.,A,2、构造长方体,思路分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联,2、构造长方体,思路分析：正四棱柱也是长方体.由长方体的体积16及高4可以求出长方体的 底面边长为2，可得长方体的长、宽、高分别为2，2，4，长方体内接于球，它的体

4、对角线正好为球的直径.,例（福建高考题） 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 ， 则其外接球的表面积是 .,思路分析： 此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球的半径. 而作为填空题，三条侧棱两两垂直，使我们很快联想到长方体的一个角，马上构造长方体，由侧棱长均相等，所以可构造正方体模型.,2、构造长方体,变式 点A、B、C、D在同一个球面上， ，则B、C两点间的球面距离是_,，,，,三、确定球心位置法,球与三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的

5、体积.,三、确定球心位置法,三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.,球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法等进行求解. 例如，四个面都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球心位置.,球与旋转体切接问题 画出球及其它旋转体的公共轴截面，然后寻找两几何体元素之间的关系 例 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比 思路分析：首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系,四、构造直角三角形,例、正四面体的棱长为a，则其内切球和外接球的半径是多少？,解：如图

6、1所示，设点o是内切球的球心，正四面体棱长为a由图形的对称性知，点o也是外接球的球心设内切球半径为r，外接球半径为R 正四面体的表面积 正四面体的体积 在 中， 即 ，得,五、寻求轴截面圆半径法,例1、正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为 ，点S,A,B,C,D都在同一球面上，则此球的体积为 .,解 设正四棱锥的底面中心为 ，外接球的球心为O，如图3所示.由球的截面的性质， 可得 又 ，球心O必在 所在的直线上. 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径. 在 中，由 是外接圆的半径，也是外接球的半径.故,解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决. 如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作； 把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题 解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径发挥空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解 如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确. 高考题往往与三视图相结合。,例 在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切 （1）求两球半径之和； （2）球的半径为